基于总体最小二乘法改进GM（1，1）模型的矿区沉降预测

摘 要：【目的】针对煤矿区地表沉降受各种因素影响难以精确预测的问题，本研究提出采用总体最小二乘法（TLS）融入GM（1，1）模型进行试验研究。【方法】基于某矿区2011—2017年的沉降监测数据，分别采用基于总体最小二乘法（TLS）与最小二乘法（LS）的GM（1，1）模型进行预测试验。【结果】试验结果表明，基于GM（1，1）预测模型，采用TLS方法对2018年矿区沉降预测的精度较LS方法提高了0.49 mm；对2019年矿区沉降预测的精度较LS方法提高了0.55 mm。【结论】本研究验证了采用TLS方法的GM（1，1）模型相较于LS方法的GM（1，1）模型在矿区地面沉降预测中具有更高的精度和更好的效果。

关键词：矿区沉降；总体最小二乘法；GM（1，1）模型；预测精度

中图分类号：TD327" " "文献标志码：A" " "文章编号：1003-5168（2024）09-0044-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.09.009

Mining Subsidence Prediction Based on Improved GM （ 1，1 ） Model by Total Least Squares Method

SHANG Wenlong1 MA Kaifeng1 HAO Mengshu1 XUE Yaoxiang2

（1.North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou 450046，China;

2.Fengtu Technology （Shenzhen） Co.， Ltd. Wuhan Branch，Wuhan 430200，China）

Abstract： [Purposes] This study proposes the use of Total Least Squares （TLS） in combination with the GM（1，1） model to conduct experimental research on the difficult-to-predict surface subsidence in coal mining areas affected by various factors.[Methods] Specifically， this study is based on the subsidence monitoring data from a certain mining area between 2011 and 2017. The GM（1，1） model is used in conjunction with both the Total Least Squares （TLS） and the Ordinary Least Squares （LS） methods for predictive experiments .[Findings] The experimental results indicate that， based on the GM（1，1） prediction model， the use of the TLS method improves the accuracy of subsidence monitoring predictions in the mining area by 0.49 mm for the year 2018 and by 0.55 mm for the year 2019 compared to the LS method .[Conclusions] Therefore， this study confirms that the GM（1，1） model using the TLS method provides higher accuracy and better performance in predicting ground subsidence in mining areas compared to the GM（1，1） model using the LS method.

Keywords： subsidence in mining areas; Total Least Squares method; GM（1，1） model; prediction accuracy

0 引言

我国拥有较丰富的煤炭资源，煤炭供应在国民经济发展中发挥着重要作用［1］。然而，随着矿区开采深度的加深和规模的扩大，矿山周边环境发生了明显变化，由矿区开采引起的地表沉降问题对安全生产构成了一定的威胁［2］。长期沉降和不均匀沉降现象会进一步增加了矿区的安全风险，甚至引发结构变形和安全性问题［3］。在采矿工程和岩土工程领域，研究和预测地下开采引起的地表沉降一直是一个重要的课题，且建立数学或数值模型则是研究的主要方法之一［4］。因此，科学预测和预防矿区地表沉降变化具有重要意义。

已有学者使用各种方法对地表沉降问题进行预测研究。例如，曾凯等［5］基于灰色GM（1，1）模型和等维新息模型，对某矿工业广场的沉降趋势进行了预测研究，并通过残差序列修正提高了预测精度。陈洋等［6］提出了一种将非等间距观测数据应用于GM（1，1）模型的等距化处理方法，以提高路基沉降的预测精度。李斌等［7］利用灰色系统理论的非等间隔模型GM（1，1），对建筑物及地表沉降观测数据进行了建模、分析和预测，并验证了灰色模型在建筑物及地表沉降变形分析中的实用性和正确性。张凯月［8］通过建立GM（1，1）模型和灰色Verhulst模型，利用等时间序列沉降数据进行数据拟合和预测，以解决煤矿过度开采引起的沉降问题。这些研究表明，灰色GM（1，1）模型在地表沉降预测中得到了广泛应用。

传统的灰色GM（1，1）模型和其他灰色模型通常采用经典的最小二乘法进行参数估计。然而，由于灰色模型中的系数矩阵是基于观测数据构建的，不可避免地存在误差。因此，在采用经典的最小二乘法进行解算时，由于无法准确考虑系数矩阵中的误差［9-10］，所得结果并非最优。为了改进灰色模型的解算方法，本研究提出了一种采用总体最小二乘法来求解灰色GM（1，1）模型中的灰参数的方法，以提高矿区沉降预测的精度。

本研究以某矿区沉降监测数据为例，分别采用经典最小二乘法和总体最小二乘法对灰色GM（1，1）模型的灰参数进行求解，并进行沉降建模预测分析。研究结果表明，总体最小二乘法能够更准确地估计灰色GM（1，1）模型中的灰参数，从而提高了沉降预测的精度和可靠性。

1 模型构建

1.1 灰色GM（1，1）模型

本研究对原始数据进行累加处理，得到一个新的平稳增长序列[x（1）（k）]，累加的目的是消除原始数据中的随机波动部分，突出其整体趋势，计算方法见式（1）。

[x（1）（k）=i=1kx（0）（t）]" " " " " （1）

式中：[k=1，2，3，…，n]。

本研究采用微分方程近似描述新数列的变化趋势，对新的累加序列[x（1）]对时间[t]进行一次偏导数运算，得到的微分方程见式（2）。

[dx（1）dt+ax（1）=u]" " " " " "（2）

式中：[a]和[u]是待求的灰参数。这个方程描述了[x（1）]在单位时间内的变化率与当前值之间的关系，以及外部环境对其的影响。

通过最小二乘法求得灰参数[a]和[u]，可以获取相关矩阵。最小二乘法的目标是通过最小化实际观测值[Yn]与模型预测值之间的误差平方和，以估计灰参数[a]和[u]的值，具体见式（3）。

[au=（BTB）-1BTYn]" " " " "（3）

式中，[Yn]是列向量，[B]是构造的系数矩阵。根据[x（1）]的特点，构造系数矩阵[B]和观测向量[Yn]。系数矩阵[B]的每一行都是通过[x（1）]中两个相邻值进行平均得到的，观测向量[Yn]是[x（0）]中从第二个值开始的一列数据。这样构造的[B]和[Yn]反映了[x（1）]的变化趋势和规律，具体见式（4）、式（5）。

[B=-0.5（x（1）（1）+x（1）（2））1-0.5（x（1）（2）+x（1）（3））1⋮⋮-0.5（x（1）（n-1）+x（1）（n））1]" " （4）

[Yn=x（0）（2）x（0）（3）⋮x（0）（n）]" " " " " " （5）

最后根据灰参数[a]和[u]构建预测模型，见式（6）。

[x（1）（t+1）=[x（0）（1）-ua]e-at+ua]" " （6）

1.2 基于TLS的灰色GM（1，1）模型

由灰色GM（1，1）模型的系数矩阵结构可知，其第一列是观测数据的累加值，由于观测量中不可避免地存在误差，因此系数矩阵中必然含有误差。忽略系数矩阵中的误差会导致结果不合理且理论上不完善。为了解决这个问题，采用总体最小二乘法来求解待估参数。

假设[a]为待估参数，[Yn]为观测向量，[B]为系数矩阵，[EB]为系数矩阵[B]中的误差矩阵，[ey]是观测向量中的误差向量，则可以得到式（7）。

[Y+ey=（B+EB）α]" " " " " （7）

将增广矩阵进行奇异值分解，见式（8）。

[BY=U1m+1U2n-（m+1）⋅∑0⋅VT=U1⋅∑⋅VT]" （8）

通过求解增广矩阵右奇异向量的最后一列，可以得到总体最小二乘解，即参数[a]的估值，见式（9）。

[α=-V12V-122] （9）

求得参数[a]的值后，将其代回式中，即可进行预测。

2 试验与结果

2.1 算例分析

在矿区沉降预测模型方面，灰色理论模型是一种被广泛运用的方法。该模型建立在对时间序列数学平稳性假设的基础上，可以根据时间序列数据建立相应的模型，以求得更准确的预测结果［11-12］。其中，灰色GM（1，1）模型是一种基于一阶指数累加滑动平均法的灰色预测模型，其建模和预测方式简单易行，准确性较高。为比较LS和TLS在灰色GM（1，1）模型中求解矿区沉降模型预测的效果，本研究参照刘建明等［13］的研究中2011—2017年的沉降数据进行计算分析，监测数据经过预处理符合试验数据要求，详细数据如图1所示。由图1可知，本研究选取了该矿区沉降特征点（编号为1～6）的长期监测数据，且观察到该矿区地表整体呈现逐年下沉趋势。

为了验证GM（1，1）模型中的LS和TLS在矿区地面沉降监测预测中的可靠性和准确性，本研究将2011-2017年长期观测数据作为已知值，对该矿区2018年和2019年的地面数据进行预测，并以实际测量的长期监测数据作为参考值进行精度评估，同时将误差值和中误差值作为精度指标。预测结果和误差结果分别记录在表1和表2中。

2.2 结果讨论

由表1可知，对于2018年的沉降值预测，最小二乘（LS）值和总体最小二乘（TLS）值相比，真值存在一定的偏差，但是TLS值的偏差较小，整体来看TLS值更接近真值。在序号为4和6的监测点上，TLS值的预测结果与真值非常接近，表明总体最小二乘法在灰色GM（1，1）模型中对矿区地面沉降的预测具有更高的精度。针对2019年的沉降值预测，同样可以观察到TLS值相较于LS值更接近真值。在序号为1、2和5的监测点上，TLS值的预测结果与真值非常接近，而LS值在序号为2和5的监测点上存在较大偏差。这也表明采用总体最小二乘法处理灰色GM（1，1）模型对于矿区地表沉降的预测表现出更高的可靠性和准确性。

由表2可知，观察2018年的预测误差，可以看到对于LS方法和TLS方法在不同监测点上的预测误差存在一定的差异。但在选取的6个监测点上，TLS方法的预测误差普遍小于LS方法。这表明TLS方法相较于LS方法在2018年的预测中表现更加稳定和准确。针对2019年的预测误差，可以看到TLS方法相比LS方法在序号为1、5和6的监测点上的预测误差要更小。总体来看，TLS方法在不同监测点上的预测误差波动较小，表现出更加稳定的特点。

最后可以通过计算灰色GM（1，1）模型的中误差进行分析，具体如下。

LS中误差：[m18=±ΔΔn-1=±1.11 mm] ，[m19=±ΔΔn-1=±1.22 mm]。TLS中误差：[mT18=±ΔΔn-1=±0.62 mm]，[mT19=±ΔΔn-1=±0.67 mm]。

根据计算，2018年和2019年的最小二乘在GM（1，1）模型预测结果的中误差分别为1.11 mm和1.22 mm，而总体最小二乘方法在2018年和2019年的中误差分别为0.62 mm和0.67 mm。观察误差数值可以发现，使用总体最小二乘方法得到的中误差明显小于一般最小二乘方法。这表明在灰色GM（1，1）模型中采用总体最小二乘法对矿区地表沉降进行预测具有更高的准确性和可靠性。

3 结论

本研究针对煤矿区地表沉降问题，提出采用总体最小二乘法处理灰色GM（1，1）模型，并进行了试验与结果分析。通过对比最小二乘法（LS）和总体最小二乘法（TLS）在灰色GM（1，1）模型中求解矿区沉降模型预测的效果，得出以下结论。

①通过试验研究发现，采用TLS方法融入GM（1，1）模型的矿区地面沉降预测方法相较于LS方法更准确。在预测2018年和2019年矿区沉降数据时，基于TLS方法的GM（1，1）模型相较于LS方法的GM（1，1）模型有较高的精度提升，分别提高了0.49 mm和0.55 mm。

②基于试验结果，可以得出基于TLS方法的GM（1，1）模型比LS方法的GM（1，1）模型在矿区地面沉降监测预测中表现更好，具有更高的准确性和可靠性。研究成果对于煤矿工程和岩土工程领域的相关研究具有重要的意义。

参考文献：

［1］ 王诺，张进，吴迪，等.世界煤炭资源流动的时空格局及成因分析［J］.自然资源学报，2019，34（3）：487-500.

［2］王建，祁鑫博，王丽华，等.SBAS-InSAR技术在矿区地表沉降监测中的应用［J］.北京测绘，2021，35（4）：548-552.

［3］廖海山，李盈洲.自动变形监测系统在运营地铁隧道监测中的应用［J］.测绘与空间地理信息，2021，44（2）：193-195，198.

［4］张立亚，张宏梅，祝传广，等.地铁盾构隧道下穿运营线路的形变分析［J］.测绘通报，2016（11）：85-88.

［5］曾凯，李亚东.基于GM（1，1）等维新息模型的矿山沉降预测［J］.北京测绘，2013（2）：31-33.

［6］陈洋，文鸿雁，覃辉，等.非等间距GM（1，1）抗差估计及其在路基沉降预测中的应用［J］.公路工程，2017，42（6）：64-68，74.

［7］李斌，朱健.非等间隔灰色GM（1，1）模型在沉降数据分析中的应用［J］.测绘科学，2007（4）：52-55，194.

［8］张凯月.基于灰色模型的矿区地表沉降预测研究［J］.河南科技，2022，41（15）：51-54.

［9］孔建，姚宜斌，吴寒.整体最小二乘的迭代解法［J］.武汉大学学报（信息科学版），2010，35（6）：711-714.

［10］龚循强，刘国祥，李志林，等.总体最小二乘拟合问题求解方法的比较研究［J］.测绘科学，2014，39（9）：29-33.

［11］陆立，胡晓丽，王春华.用时间序列分析法进行建筑物沉降观测数据处理的研究［J］.测绘科学，2004（6）：76-78，6.

［12］伍锡锈.利用二次移动平均法的GM（1，1）模型和Kalman滤波在沉降监测应用中的比较分析［J］.测绘与空间地理信息，2018，41（7）：212-214.

［13］刘建明，宁卫远，王乾，等.一种改进灰色GM（1，1）模型在矿区沉降预报中的应用［J］.能源与环保，2023，45（5）：117-120，126.