倾斜方腔内混合纳米流体自然对流问题

摘 要：【目的】研究方腔倾斜角度和Ra数对混合纳米流体流动与传热的影响机理。【方法】首先时间上采用Adams-Bashforth和向后差分结合的二阶半隐格式进行离散，其次采用改进的投影算法对速度和压力进行耦合处理，最后采用配置点谱方法求解所有的无量纲控制方程。【结果】经数值验证之后，通过改变方腔倾斜角度（0≤θ≤π/4）和Ra数（104≤Ra≤106），来分析对流场、温度场和Nu数的影响。发现随着方腔倾斜角度的增大，Nu数先增大后变小；随着Ra数的增大，流动与传热都增大。【结论】方腔倾斜角度为π/6和Ra数为106时，传热效果最佳。

关键词：配置点谱方法；倾斜方腔；混合纳米流体

中图分类号：TK124" " "文献标志码：A" " "文章编号：1003-5168（2024）09-0017-07

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.09.004

Natural Convection of Hybrid Nanofluids in an Inclined Square Cavity

LUO Xiaohong SUN Zhiming

（School of Mechanical and Electrical Engineering， Jilin Institute of Chemical Technology， Jilin 132022，China）

Abstract： [Purposes] The influence mechanisms of the tilt angle of a square cavity and Ra number on hybrid nanoflow and heat transfer are studied. [Methods] Firstly，the combination of Adams-Bashforth and backward differentiation formula schemes， which is second-order-accurate and semi-implicit， is adopted to treat the temporal discretization. Secondly，the coupling of the velocity and the pressure is treated by using the improved projection scheme.Finally，all the governing equations are solved by using the collocation spectral method. [Findings] After the validation of numerical results， streamlines， isotherms， and Nusselt number are analyzed for the effect of various parameters， for example， the inclination angle of the cavity （0≤θ≤π/4）， and Rayleigh number （104≤Ra≤106）. With the increasing of the inclination angle of the cavity， Nusselt number first increases and then drops. The fluid flow and heat transfer increases with the increasing of Rayleigh number. [Conclusions] The heat transfer is best when the inclination angle of the cavity is equal to π/6， and Rayleigh number is equal to 106.

Keywords： collocation spectral method; the inclined square cavity; hybrid nanofluids

0 引言

2007年，Jana等［1］首次制备出了混合纳米流体，在基液（比如水、乙二醇和煤油）中添加混合纳米颗粒（不同成分的单颗纳米颗粒混合或者含有多颗不同类型的纳米颗粒）形成的纳米流体称为混合纳米流体。与普通纳米流体相比，混合纳米流体能极大提高介质的换热和传热能力［2］，被广泛地应用在换热器、汽车、采油及航空航天等领域［3］，受到了广大学者的关注和研究。

Armaghani等［4］在外加倾斜磁场作用下，对L型方腔内混合纳米流体的混合对流进行了数值研究；Korei等［5］研究了有外加磁场情况下，底部两边具有圆角的顶盖驱动方腔内混合纳米流体流动与传热问题，发现当纳米颗粒Al2O3和Cu的配比为3∶1时，传热效果最好；Hirpho等［6］研究了底部局部高温的梯形方腔内混合纳米流体对流传热问题，发现随着混合纳米颗粒体积份额的增大，流函数反而减小，流动减弱；Hidki等［7］研究了两个大小相同、高度一致、产生热量相同的方块方腔内混合纳米流体自然对流问题；Akhter等［8］研究了在外加磁场作用下，混合纳米流体在含有导热圆柱多孔介质且局部受热的方腔内在浮力驱动下流体的流动、传热及熵的产生。以上的研究均是水基为Al2O3/Cu混合纳米流体。

Thirumalaisamy等［9］研究了矩形多孔方腔内，以Fe3O4、磁化多壁碳纳米管及Cu为颗粒，水为基液的混合纳米磁流体流动与传热；Acharya［10］重点研究了外圆高温位置不同对流动与传热的影响，揭示了以磁化多壁碳纳米管和Fe3O4为纳米颗粒，以水为基液的混合纳米流体流经圆环形腔室，且内圆装有四个T形的高温翅片，外圆高温位置发生变化时的环形区域内流动与传热现象；Farooq等［11］探讨了存在非线性热辐射和外加磁场的情况下，旋转圆盘上Ag-MgZnFe2O4/煤油混合纳米流体的流动和传热，研究Ha数、吸收参数及纳米颗粒体积份额对流动与传热的影响。

综合上述研究发现，研究区域从边界层问题过渡到有限腔体内流动与传热问题。但上述研究中没有倾斜方腔的研究。同时发现研究混合纳米流体流动与传热问题的数值方法包括：有限容积法［5，7］、有限元法［6，8，10］、有限差分法［4］及打靶法［11］等。而采用配置点谱方法求解混合纳米流体流动与传热问题的还未见报道。因此，本研究采用配置点谱方法研究方腔倾斜角度和Ra数对方腔内混合纳米流体流动和传热的影响。

1 数值模拟及方法

1.1 物理模型

本研究所采用的物理模型如图1所示。边长为L的二维倾斜方腔，腔体与水平方向的夹角为[θ]。方腔的左右壁面为恒温壁面，温度分别为Th和Tc，上下壁面为绝热壁面。方腔内充满黏性、不可压缩的Al2O3/Cu-H2O混合纳米流体，基液和纳米颗粒的物理性质参数见表1。假设方腔所有的壁面都为绝缘壁面，并对流体施加一个平行于X轴的稳恒磁场B0。

1.2 数学模型

本研究中假设混合纳米流体为各向同性且做层流运动的不可压缩流体；纳米颗粒大小均匀，且相互之间及和基液之间无相对滑移运动，并与基液处于热平衡状态；浮升力引起的密度变化采用Boussinesq假设；黏性耗散、Hall效应和热辐射忽略不计。混合纳米流体热物理属性所应用公式见表2，并应用下列的无量纲方程中。

连续性方程，见式（1）。

[∂U∂X+∂V∂Y=0]" " （1）

X方向的动量方程，见式（2）。

[∂U∂τ+U∂U∂X+V∂U∂Y=-∂P∂X+μhnfρhnfαhnf]

[∂2U∂X2+∂2U∂Y2][+ρβhnfρhnfβbfαbfαhnf2RaPrΘsinθ]" " （2）

Y方向的动量方程，见式（3）。

[U∂V∂X+V∂V∂Y=-∂P∂Y+μhnfρhnfαhnf∂2V∂X2+∂2V∂Y2+ρβhnfρhnfβbfαbfαhnf2RaPrΘcosθ-Ha2PrσhnfσbfαbfαhnfρbfρhnfV] （3）

能量方程，见式（4）。

[U∂Θ∂X+V∂Θ∂Y=∂2Θ∂X2+∂2Θ∂Y2]" （4）

式中：[Pr=υbfαbf]；[Ha=B0Lσhbfρhbfυbf]；[Ra=gβbfTh-TcL3υbfαbf]。

利用下列变量，对上述式（1）至式（4）进行无量纲化。

[X=xL]，[Y=yL]，[U=uLαhnf]， [V=vLαhnf]， [P=pL2ρhnfαhnf]， [Θ=T-TcTh-Tc]。

上述公式中：下标bf和hnf分别表示基液和混合纳米流体。

对应的无量纲边界条件如下。

所有壁面都满足无滑移的速度边界条件，则[U=0][，V=0]。方腔四个壁面的温度条件为：左壁面：[X=0]， [Θ=0.5]；右壁面：[X=1]， [Θ=-0.5]；上下壁面：[Y=0]、1， [∂Θ∂Y=0]；恒温壁面上的局部Nu数，见式（5）。

[Nu=-khnfkbf∂Θ∂XW] （5）

对应的恒温壁面上平均Nu数，见式（6）。

[Nu=01NudY]" （6）

无量纲流函数定义，见式（7）。

[ψ=01UdY] （7）

2 数值模拟

2.1 数值方法

为了延展到非稳态问题上，本研究在式（2）至式（4）中加入非稳态项，采用非稳态问题求解稳态问题。在加入时间导数项后，先采用基于Adams-Bashforth和向后差分结合的二阶半隐格式对时间进行离散；再采用改进的投影算法［12］对压力和速度进行耦合处理；最后采用配置点谱方法对控制方程进行空间上的离散，并写成矩阵相乘的形式，详细过程见罗小红［13］的论文。引入相应的边界条件之后，采用MATLAB软件进行编程求解。以方程（2）为例，加入非稳态项后的结果，见式（8）。

[3Un+1-4Un+Un-12Δτ+2U∂U∂X+V∂U∂Yn-U∂U∂X+V∂U∂Yn-1=-∂Pn+1∂X+μhnfρhnfαhnf∂2Un+1∂X2+∂2Un+1∂Y2+ρβhnfρhnfβbfαbfαhnf2RaPrΘn+1sinθ]" " " "（8）

式中：τ和n分别代表时间和时层。

式（3）和式（4）加入非稳态项的离散方式同式（2）一样。

2.2 网格无关解

寻找网格无关解是数值计算的基本前提。在网格测试过程中，无量纲参数取值分别为：Pr=6.2、体积份额ɸ=0.03（纳米颗粒Al2O3和Cu，各占50%）、方腔倾斜角度为π/4、Ra=105和106。热壁面上的平均Nu数作为网格无关解测试的参量。由于本次研究的方腔物理模型在X方向和Y方向选取了相同的网格节点，于是测试结果见表3。由表3可知，当网格上升到[33×33]时，热壁面上的平均Nu数变化不再明显。为了之后计算更多的算例，本研究选取了[37×37]网格节点数。

2.3 代码验证

首先，不考虑磁场的影响。为了验证当前数值方法对方腔内纳米流体自然对流计算的有效性。与Ho等［14］和Saghir等［15］对比了壁面上的平均Nu数，对比结果见表4。由表4可知，最大误差为4.72%，没有超过5%，结果吻合较好。说明当前代码对方腔内纳米流体自然对流问题是有效的。

其次，考虑磁场的影响。采用了与Ghasemi等［16］相同的物理模型和数学模型及无量纲参数，对比了不同Ra数和Ha数下，壁面上的平均Nu数，对比结果如图2所示。由图2可知，所得结果吻合较好。综上所述，当前方法对方腔内纳米磁流体自然对流是有效的。

3 结果及讨论

本研究采用配置点谱方法求解倾斜方腔内混合纳米流体的流动和传热问题。方腔内充满了黏性、不可压缩的水基Al2O3/Cu的混合纳米流体。方腔的腔体与水平方向的夹角为[θ]，方腔的左右壁面为恒温壁面，上下壁面为绝热壁面。该文研究了方腔倾斜角度和Ra数对混合纳米流体流动与传热的影响，所采用的无量纲参数Ha=30、[Pr=6.2]、及[ϕ=0.03]保持不变。

不同方腔倾斜角度下，方腔内混合纳米流体流场和温度场如图3所示。左侧为温度场、右侧为流场。由图3可知，当方腔倾斜角度从[θ=0]变化到π/6时，流场中心的水平漩涡变成有一定倾斜角度的竖直漩涡，温度场变化也非常明显；当方腔倾斜角度从π/6变化到π/4时，流场中心出现了两个小漩涡，温度场变化不明显。流函数的绝对值随着方腔倾斜角度的增大而增大。结果表明，方腔倾斜角度的增大加快了流动。

热壁面平均Nu数随方腔倾斜角度θ的变化见表5。由表5可知，平均Nu数随着方腔倾斜角度先增大后变小，整体来看是增大。结果表明，方腔倾斜角度的增大加快了传热。

不同Ra数下，方腔内纳米混合流体流动与传热的变化，如图4所示。左侧为温度场、右侧为流场。由图4可知，随着Ra数的增大，流场和温度场都发生了明显变化，等温线由与竖直壁面平行逐渐变成与竖直壁面倾斜一定的角度，流函数的绝对值也逐渐增大。结果表明，随着Ra的增大，加快了传热及流动。

当Ra数为104、105和106，对应的热壁面上的平均Nu数分别为1.203 4、3.590 7和8.327 8，更进一步说明Ra数的增大，加快了传热速率。

4 结论

本研究主要对倾斜方腔内混合纳米流体的流动和传热问题进行了研究。通过采用配置点谱方法求解了所有的控制方程，并在纳米颗粒体积份额ϕ=0.03和Ha=30时，研究了方腔倾斜角度θ和Ra数对流动和传热的影响，得到的结果如下。

①随着方腔倾斜角度的增大，流场变化较为明显，温度场在倾斜角度从0变化到π/6时，变化较为明显；Nu数先变大后变小。

②随着Ra数的增大，流场和温度场都有显著变化；Nu数增大。综上，说明流动和传热都加快了。

通过研究发现，方腔倾斜角度为π/6、Ra数为106时，传热效果最好。

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