比例法巧解机械波和机械振动的综合图像问题

摘" 要：近年来，高中物理的机械波和机械振动是高考中的高频考点.常规解法通常需要运用三角函数知识和波动方程来解答问题.然而，如果题目中的波形图像或振动图像不是关于原点对称或关于y轴对称的正余弦函数图像，使用常规数学方法解题会增加解题的难度，并且在授课过程和高考复习中，学生很难掌握.为了解决这个问题，本文结合了三角函数和力学知识，创造出了一种新的解题方法——比例法.

关键词：高中物理；波动图像；振动图像；比例法

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0108-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：董康（1991.1—），男，云南省陇川人，硕士，中学一级教师，从事高中物理教学研究.

高中物理中关于机械波和机械振动的知识，涉及力学中的波动方程和三角函数［1］.我们发现，

一些题目中的波形图像或振动图像，并非都是关于原点对称或关于y轴对称的正余弦函数图像.我们必须首先推导出波动方程，并结合已知条件来解题.

这样的解题方式会增加学生解题步骤和时间，同时降低解题的准确性.

本文以学生已学习的三角函数为基础，结合大学物理力学中的波动方程，提出了一种新的解题方法——比例法.此方法不仅适用于解决常规的机械波和机械振动问题，还能够应用于解决非对称波动图像或振动图像问题，其计算步骤简洁，耗时短.

1" 比例法建立和应用

比例法的主要思想是通过运用角度，来实现质点偏离平衡位置的位移与波传播的时间和两质点距离之间的相互转换.我们可以通过波形图像来理解这种转换方法，如图1所示.在波的传播过程中，P、Q、M和N是波在传播过程中的四个图1" 波形图像和振动图像的转化原理图质点，该时刻四个质点偏离平衡位置的位移分别为：A2，22A，32A和A.通过运用y=Asin2πλx+φ计算，我们得到四个质点与坐标原点O的相位差分别为：30°，45°，60°和90°.假设ON距离为λ4，我们可以建立ON的距离与角度建立关系式，从而得到OP=13ON，OQ=12ON，OM=23ON.同样的方法也可以应用于振动图像的转换，如图1所示.综合考虑波形图像和振动图像的转换方法，我们可以得到表1.

表1" 将长度和时间间隔转化为角度的关系

OPOQOMON

角度30°45°60°90°

距离13·λ4

12·λ4

23·λ4

λ4

时间间隔13·T4

12·T4

23·T4

T4

接下来给出运用比例法解题的例题.

例1" 如图2甲所示，为一列简谐横波在t=0时刻的波形，其中质点P坐标为（0，0.2 m），质点Q坐标为（10 m，-0.2 m），图2乙为质点Q的振动图像，图中M点坐标为（0.5 s，0），则关于波的传播和质点的振动，下列判断正确的是（" ）.

A.该简谐横波的传播方向沿x轴负方向

B.由波动图像可得该简谐横波的波长为λ=12 m

C.结合波动图像和振动图像可得该简谐横波的传播速度为v=2 m/s

D.结合波动图像和振图像可得点P的振动方程为y=0.4sinπ3t-π6m

图2" 例1波形图（甲）和振动图（乙）

解析" 根据质点Q的振动图像可知，在t=0时刻Q向上振动，根据同侧法可知该简谐波沿x轴负方向传播，故A正确；在波形图像t=0时刻，质点P的位移yP=0.2 m，对应的角度为30°，说明质点P距离最近波峰的距离为23·λ4，同理可得质点Q距离最近波谷的距离为23·λ4且xPQ=10 m，得2×23·λ4+λ2=10 m，λ=12 m，故B正确；在振动图像t=0时刻，Q点的yQ=-0.2 m，说明质点Q从t=0时刻位置到达平衡位置的时间间隔为13·T4，得13·T4=0.5 s，T=6 s，v=λT=12 m6 s=2 m/s，故C正确；在波形图像t=0时刻，质点P的振动方程与y=0.4sinπ3t相比，相位超前了π6，故yP=0.4sinπ3t+π6，故D错.

2" 运用比例法巧解高考题

2.1" 对称波动图像或振动图像

例2" （2021·山东）一列简谐横波沿x轴传播，如图3所示，实线为t1=2 s时的波形图，虚线为t2=5 s时的波形图.在图4中，关于平衡位置在O处质点的振动图像，可能正确的是（" ）.

图3" 例2波形图（a）

图4" 例2波形图（b）

解析" 机械波的传播方向不确定，所以需要考虑机械波传播方向的多解性.在x=3 m处的质点，对应实线波的位置处于波峰.若机械波沿x轴正方向传播，在x轴正方向距离最近的虚线波峰为x=6 m处的质点，得Δx=3 m，Δx=34λ，Δt=3 s，故Δt=34T+nTn=0，1，2…，当n=0时，T=4 s.在t1=2 s时，O处质点位于平衡位置且向y轴正方向振动，故A选项正确；若机械波沿x轴负方向传播，在x轴负方向距离最近的虚线波峰为x=2 m处的质点，得Δx=1 m，Δx=14λ，Δt=3 s，故Δt=14T+nTn=0，1，2…，当n=0时，T=12 s.在t1=2 s时，O处质点位于平衡位置且向y轴负方向振动，故C选项正确.

2.2" 非对称波动图像或振动图像

例3" （2022年全国甲卷）一平面简谐横波以速度v=2 m/s沿x轴正方向传播，t=0时刻的波形图像如图5所示，介质中平衡位置在坐标原点的质点A在t=0时刻的位移y=2 cm，该波的波长为m，频率为

Hz，t=2 s时刻，质点A（填“向上运动”“速度为零”“向下运动”）.

图5" 例3波形图

解析" 在波形图像t=0时刻，质点A的位移yA=2cm=2A2，对应的角度为45°，说明质点A距离最近波峰的距离为12·λ4且12·λ4+λ4=1.5 m，得λ=4 m，T=λv=2 s，f=1T=0.5 Hz.由于题图为t=0时刻的波形图像，则t=2 s时刻振动形式和零时刻相同，根据同侧法可知质点A向下运动.

例4" （2022年山东）一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图6所示.当t=7 s时，在图7中简谐波的波动图像可能正确的是（" ）.

图6" 例4振动图

图7" 例4选项波形图

解析" 由振动图像可知t=0时刻，O点的偏离平衡位置的位移y=10 cm=A2，对应的角度为30°，说明质点O运动到最近的位移最大处所用时间为23·T4且23·T4+T4=5 s，得T=12 s.在振动图像t=7 s时刻，质点O沿y轴负向向下振动且质点O运动到最近的位移最大处所用时间为1 s，说明质点O从平衡位置运动到t=7 s时刻的位置所用时间为2 s，23·T4=2 s，此时质点O偏离平衡位置的位移y=-3A2，并结合“同侧法”可判断，若波沿x轴正向传播，选C；若波沿x轴负向传播，选A.

3" 结束语

随着新教材和新高考改革的推进，学生所面临的要求也日益提升［2］.因此，教师有必要持续不断地革新自身的教学方式.相比于常规的方法，比例法避开了复杂的波动方程和多解性问题，减少了计算过程的复杂性，提高了解题的速度和准确性.为了验证比例法的有效性，在同等层次的不同班级进行了对比实验.实验表明，通过引入相位差的概念来帮助学生理解和掌握比例法的班级，学生能够快速解答常规题型和非对称题型，班级的解题得分率最高.

参考文献：［1］

漆安慎，杜蝉英.普通物理学教程：力学［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［2］ 教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［责任编辑：李" 璟］