“变式”内化“消元”“四度”涵育“素养”

［摘 要］文章以人教版七年级下册“消元——解二元一次方程组：加减法”教学为例，探讨如何运用“四度六步”教学法[1-2]来打造初中数学高品质课堂。通过整合教材资源与优化教学环节，实现“学材再建构，于结构中教与学”[3]，凸显思维教学的重要性；以“四度”课堂价值为引领，遵循“学法三结合”的原则[4]，充分发挥教师的主导作用，凸显学生的主体地位，促进师生的共同发展[5]；围绕“六步”环节展开教学，层层递进，通过变式深入知识本质，实现“学程重生成，在知识联系中促进教与学”的目标[6]，涵育学生的核心素养。

［关键词］“四度六步”教学法；变式；消元；核心素养

［中图分类号］ " "G633.6 " " " " " " " "［文献标识码］ " "A " " " " " " " "［文章编号］ " "1674-6058（2024）29-0005-04

“消元——解二元一次方程组：加减法”一课依托“四度六步”教学法，围绕“消元”思想，设计具有梯度的数学问题来展开教学。通过这些问题，引导学生从“知识结构”、“知识联系”以及“学法”三个维度，逐步深化对“消元”思想的理解。教学从整体视角和本质层面切入，遵循数学知识的内在逻辑和学生的认知发展规律，自然推进学习，促使学生灵活运用知识，进而涵育学生的核心素养。

一、教学实践

（一）“温故”环节——复习提问，温故孕新

“温故”环节，旨在唤醒旧知，“孕育”新知。本节课伊始，教师首先让学生用代入法解熟悉且简单的二元一次方程组[x+y=10，2x+y=16，]以此复习旧知，同时提升学生的课堂参与度，激发学生的学习热情。在教师的点拨下，学生能够明确“消元”是解题的基本思路，为本节课探究并发现“加减消元法”奠定基础。其次，教师利用“变形”步骤，引导学生复习等式的性质，为后续的课堂做好知识铺垫。值得注意的是，由于方程组中两个方程[y]的系数恰好相等，这成为接下来发现并深入探究“加减消元法”的好学材，为“引新”环节埋下了伏笔。这一环节的设计体现了数学教学应有的“温度”和“梯度”。

【课堂实录】

师：上节课我们学习了用代入法解二元一次方程组，接下来我们将通过解答一道练习题来回顾这一内容。请大家在练习本上完成，同时请一名同学上黑板来解答。

（学生代表解答方程组，教师巡视课堂，检查其他学生的练习情况）

师：现在我们一起来看这位同学的解答过程。她的解答条理清晰，表述完整，尤为可贵的是字迹工整、漂亮，真是字如其人啊。在此，我想提醒各位同学，解方程组与解单个方程一样，得出答案后一定要代入原方程组进行检验，请大家自行检验。

师：请同学们回顾解方程组的过程，其中有一个“代入”步骤很关键，你们认为“代入”的主要目的是什么？

生：消元。

师：正确。二元一次方程组之所以能求解，是因为通过代入法（即等量代换）可以实现消元（将二元化为一元）。因此，解二元一次方程组的基本思路可以概括为：[二元消元代入一元]。

师：请大家再回顾一下解方程组的过程。为了“代入”，我们曾对其中一个方程进行“变形”，即用一个含有一个未知数的式子表示另一个未知数，这里“变形”的依据是什么？

（学生讨论交流）

师：这位同学不仅准确指出了方程“变形”的依据，还全面阐述了等式的两个基本性质。同学们一定要记住，为求解方程（组），对方程所做的任何“变形”都必须基于等式的基本性质，这在数学上被称为“同解变形”。

（二）“引新”环节——创设情境，引入课题

“引新”环节，旨在寻找新知的生长点，通过创设情境、类比旧知，实现新旧知识的自然衔接和课题的引入。在此环节中，教师巧妙利用“温故”环节提及的方程组，设计新颖的数学问题，引导学生观察与思考，使他们初步体会代入法与加减消元法的共同核心——消元。教师进一步引导学生探究这两种方法的内在联系，构建起“消元”思想的知识框架，进而实现以旧引新、建构新知，同时为“探究”环节继续完善新知结构埋下伏笔。这一环节的设计体现了数学教学应有的“梯度”和“宽度”。

【课堂实录】

师：通过复习，我们知道了解二元一次方程组的基本思路是消元，那请同学们思考这个问题：方程组[x+y=10，①2x+y=16 ②]的两个方程中，[y]的系数有何关系？利用这种关系，你能发现新的消元方法吗？

生1：两个方程中[y]的系数相等。通过用方程①的左边减去方程[②]的左边，等于方程[①]的右边减去方程[②]的右边，可以消去未知数[y]，化简得到[-x=-6]。

师：数学中，把刚才的步骤用①-②来表示，这个步骤的依据是什么？

生2：等式的性质1。

师：除了①-②，还有其他更简便的方法吗？

生3：可以②-①，这样直接得到[x=6]。

师：你的观察力很强，还学会了举一反三。那么，将两个方程相减的目的是什么？

生3：消元。

师：正确。通过相减可以实现消元，将二元转化为一元，从而解方程组。接下来，请同学们将解方程组的剩余步骤补充完整。

师：这种新方法与代入法相比，哪种更简便？

生4：新方法更简便。

师：很好。接下来，我们将深入学习这种方法。大家能给它起一个合适的名字吗？

生5：加减消元法。

（教师板书课题）

（三）“探究”环节——合作探究，活动领悟

“探究”环节重在经历与感悟，让学生通过精确掌握知识细节深入领悟原理。教学中，教师依据学生的认知基础和最近发展区，调整方程组中同一未知数的系数由相等变为互为相反数，这一变化仅涉及方程“形”的调整，而“质”保持不变。通过实施“学法三结合”，有效促进学生在解决问题的过程中实现知识的顺向迁移，进而建立新旧知识的内在联系，完善知识结构，发展数学思维。此环节着重强调方程组解法的内在统一性——消元思想，并明确指出解方程组的核心在于消元。通过探究，学生能够在知识结构上统一代入法与加减消元法，从整体上理解方程组的解法。这不仅涵育了学生的核心素养，还体现了数学教学的“梯度”、“深度”和“宽度”。

【课堂实录】

师：同学们，通过刚才的题目，我们知道了当方程组中同一未知数的系数相等时，可直接相减消元，将二元化为一元求解。那么，还有没有类似这样能直接消元的情况呢？接下来，我们探讨下一个问题。

问题：联系上面的解法，想一想怎样解方程组[3x+10y=2.8，①15x-10y=8。②]

生1：方程组中，[y]的系数一个是10，另一个是-10，它们刚好互为相反数，所以①+②可消去[y]，将二元化为一元求解。

师：你的回答简洁明了，既指出了方程组的结构特征，又分享了简便解法。

师：那么，将两个方程相加的目的是什么呢？

生1：消元。

师：对。目的就是为了消元。

师：请同学们将解方程组的剩余步骤补充完整。

师：最后求得这个方程组的解是什么？

生2：[x=0.6，][y=0.1。]

师：从这道题中，我们了解到当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，可以直接将两个方程相加消去该未知数，将二元化为一元求解。

师：学到这里，请同学们归纳一下我们刚才探讨的解二元一次方程组的新方法。当方程组具备何种特征时，我们可以直接通过方程相加或相减来实现消元求解？

生3：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，可直接将这两个方程相加或相减消去该未知数，得到一个一元一次方程，从而解方程组。

师：这位同学将运用这种方法的条件及思路概括得十分到位。我们把这种方法叫作加减消元法，简称加减法。

（四）“变式”环节——师生互动，变式深化

“变式”环节强调同化与顺应，要求“变式”贴合教学实际，合理设计梯度，指向知识的本质。在“探究”环节后，学生对加减法有了深入理解，思维水平也有所提升。基于此，教师在“变式”环节中改变方程组中未知数的系数（即调整方程组的“形”），使方程组无法直接运用加减法求解，从而引发学生的思维矛盾，促使他们主动探寻新旧知识的联系，建立知识桥梁，实现知识的同化与顺应。此环节采用“学法三结合”的教学策略，有助于学生高效实现学习迁移，发展高阶思维，确保深度学习真正发生。通过“变式”训练，学生能深刻领悟解方程组的关键在于消元，从整体上把握方程组解法的本质——消元。这个环节的设计充分体现了数学教学的“深度”和“宽度”。

【课堂实录】

师：同学们，回顾已学的二元一次方程组，是否存在这样的方程组，其中两个方程里同一未知数的系数既不互为相反数，也不相等？接下来，我们来观察这个方程组，并思考问题。

问题：用加减法解方程组[3x+4y=16，①5x-6y=33。②]

思考：（1）这两个方程直接相加或相减能消去未知数吗？为什么？（2）用加减法消去[x]，应如何操作？（3）用加减法消去[y]，应如何操作？

（学生先独立思考，再与同桌讨论交流，最后全班交流分享。教师首先以消去[y]为例，带领学生规范解答，之后让学生独立尝试用消去[x]的方法解方程组；其次利用希沃白板的“拍照上传”功能，投影展示部分学生的解答过程，供全班同学分享学习；最后引导学生对比消去[x]和消去[y]这两种方法，并进行归纳总结）

师：通过解答这道题，你对加减法解二元一次方程组有什么新认识？

生：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数既不互为相反数也不相等时，不能直接通过相加减消去未知数，但可以根据等式的性质2，在方程的两边同时乘以一个适当的数，使得两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等，然后再利用加减法消元。

师：用加减法解二元一次方程组的基本思路仍然是消元。

（五）“尝试”环节——尝试练习，巩固提高

在“尝试”环节，教师应放手让学生自主练习，以巩固知识、提升学习效果。为此，教师设计了四道由易到难、类型经典的题目，旨在通过讲练结合的方式，锻炼学生的思维能力与运算能力，确保每一个学生在数学课堂上都能获得相应的发展。这一环节的设计贴合学生的认知层次，不仅有效巩固了新知，还提高了学习效果，并及时反馈了练习情况，充分体现了数学教学的“温度”和“梯度”。

【课堂实录】

师：下面，我们尝试利用加减法解二元一次方程组。

1.用加减法解下列方程组：

（1）[x+2y=9，3x-2y=-1；] " " " " " " （2）[5x+2y=25，3x+4y=15；]

（3）[2x+5y=8，3x+2y=5；] " " " " " " " （4）[2x+3y=6，3x-2y=-2。]

（学生独立练习，教师巡视课堂，了解学生的练习情况，并进行个别指导，特别关注并帮助学困生）

（六）“提升”环节——适时小结，兴趣延伸

“提升”环节的关键在于时机恰当、重点突出、方法恰当。在此环节中，教师首先设计两个核心问题，引导学生深入思考与总结，以加深他们对方程组解法本质——消元思想的理解。通过将代入法与加减法有机联系，与消元思想相对应，教师帮助学生构建方程组解法的知识与方法体系，使他们从整体上把握方程组的解法，进行培养学生的核心素养。随后，教师布置一道拓展题作为课后作业，以有效延伸学生的学习兴趣，并锻炼他们的思维能力与运算能力。在作业布置上，教师采用分层策略：必做题面向全体学生，使基础薄弱的学生也能通过运用所学知识解决问题，获得成就感，从而激发他们学习数学的兴趣；选做题则为能力较强的学生提供课外探索的空间，鼓励他们积极、乐于探索。这个环节的设计充分体现了数学教学的“温度”“梯度”“深度”和“宽度”。

【课堂实录】

师：同学们，学到这里，我们通过两个问题来回顾本节课的内容。

1.小结：（1）用加减法解二元一次方程组的基本思路是什么？（2）加减法与代入法有什么共同点？

2.拓展：用加减法解方程组[2x-5y=-12，3x-2y=-7。]（留作课外探索）

3.布置作业：

必做：（1）课本P98第3题第（1）（2）小题；（2）给同桌出一道解二元一次方程组的题目，并用自己喜欢的方法求解。

选做：课本P98第3题第（3）（4）小题。

二、教学反思

本节课的核心是引导学生运用加减法解二元一次方程组，旨在探索更为高效和便捷的方程组解法。本节课的教学思路具有两大特点：

一是“变式”内化“消元”。教师采用“四度六步”教学法，以“变”与“不变”为明暗线索，构建了从渗透“消元”思想到明确其概念，再到实践应用的渐进式教学框架，旨在优化课堂教学，提高教学效率，打造高品质课堂。具体而言，“温故”环节复习代入法解二元一次方程组的基本思路及等式的性质，在巩固旧知的同时为新知探究埋下伏笔；“引新”环节，提出新问题，自然导入新课，为深入探究做铺垫；“探究”环节顺应知识逻辑，贴合学生最近发展区，完善加减法教学，彰显其在解方程组中的重要作用；“变式”环节深化学生对加减法的理解，锻炼学生的思维能力与运算能力；“尝试”环节给学生提供个性化学习空间，通过同桌讨论、全班分享丰富学习方式，反馈练习效果；“提升”环节总结归纳代入法与加减法的本质，实现二者的内在统一，为方程组的解法提供宏观视角，深化学生的学习感悟。这“六步”设计使课堂教学结构严谨、层次分明、螺旋上升，精准聚焦知识本质，突出重难点，有效实现了“变式”内化“消元”的教学目标，促进了学生思维的有效发展。

二是“四度”涵育“素养”。本节课，教师采取两大策略：（1）面向全体，尊重个体差异，围绕二元一次方程组的基本范式及“变式”求解，实施分层教学与分类指导，并追求多维评价，体现了数学教学的“温度”和“梯度”。（2）深入挖掘教材，聚焦知识本质，重视思维训练，促进深度学习，这体现了数学教学的“深度”和“宽度”。

在“四度”课堂价值的引领下，本节课在巩固学生“四基”和发展学生“四能”的过程中有效涵育了学生的核心素养。尽管在现场授课时，教师在即时评价和精准追问等方面仍有优化空间，但本节课无疑是基于“四度六步”教学法理念打造的一节精彩数学课。

［ " 参 " 考 " 文 " 献 " ］

[1] "戴启猛.基于初中数学“四度六步”教学法的理论基础与实践架构[J].中小学课堂教学研究，2020（3）：22-26，39.

[2] "戴启猛.创造更加精彩的课堂：初中数学“四度六步”教学法的20年实践与探索[J].广西教育，2020（5）：15-19.

[3] "李庾南，冯卫东.学材再建构 " 在结构中教与学[J].数学通报，2018（8）：17-22，30.

[4] "李庾南，祁国斌.自学·议论·引导：涵育学生核心素养的重要范式[J].课程·教材·教法，2017（9）：4-11.

[5] "王枬.创造师生共同发展的精彩课堂：对戴启猛初中数学“四度六步教学法”的评析[J].广西教育，2020（5）：28-30.

[6] "陈育彬，李庾南.学程重生成 " 在联系中教与学[J].中小学教材教学，2019（10）：33-37.

（责任编辑 " "黄春香）