一道新教材习题的解法研究及思考

摘 要：在新教材背景下，以一道课后题为例，透过多重解法引发用向量研究平面几何问题的基本思想方法，体会向量的工具性作用，体会其思想在变式中思维的扩展及高考为最终目标的核心指向.

关键词：新教材；求角；向量

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0002-04

《普通高中数学课程标准（2017年版）》[1]指出，在必修课程与选择性必修课程中，要突出几何直观与代数运算之间的融合.通过“形”与“数”结合，聚焦于学生数学学科核心素养养成.向量成为重要的核心内容，向量几何思想方法成为研究几何问题的基本思想方法.向量集“数”与“形”于一身，培养用向量研究平面几何问题的思想非常重要，下面我们以一道新教材课后题为例进行研究.

1 题目呈现

题目 （新人教A版必修二第53页课后习题12题）如图1，在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求∠MPN的余弦值[2].

本题选自人教A版必修二第六章6.4节课本53页课后习题第12题.这道题蕴含的数学思想方法有数形结合思想、化归与转化思想、向量几何思想等，同时体现了数学运算、直观想象、逻辑推理的数学核心素养.

解答此题时，首先教会学生分析题目，找到“着手点”，即已知量表示未知量，具体可以从以下三方面分析设问，引发学生思考：（1）题目的已知条件有哪些？引导学生一一列出；（2）所求角的余弦值与已知条件的关系是什么？（学会转化）；（3）求角的方法有哪些？启发学生从向量数量积定义运算、构造余弦定理.通过以上的连续发问、层层递进形式，提炼出本题的核心思想：平面几何求角的通性通法即向量代数化，或者构造三角形.

2 解答题目

分析1 等价转化为向量夹角∠MPN→〈AM，BN〉.

解法1 （通性通法）如图2，设AB=c，AC=b，则b与c的夹角为60°.

又设AΜ，BΝ分别是BC，AC边上中线，

所以AM=12（b+c），BN=AN-AB=12b-c=12（b-2c）.

于是|AM|2=［12（b+c）］2=14（b2+c2+2b·c）=394.

所以|AM|=392.

同理|BN|=212.

又AM·BN=12（b+c）·12（b-2c）=3，

所以cos∠MPN=AM·BN|AM||BN|=49191.

评析 学生只能从所求∠MPN本身出发，试寻求〈PM，PN〉的值，这与已知AB，AC的关系不直接，即要利用平面向量基本定理，运用已知量表示的基底AB，AC来表示PM，PN，但弊端是比较麻烦且难度系数较大.另外，学生可能会注意到向量共线条件∠MPN→〈PM，PN〉→〈AM，BN〉，这种解法对向量代数运算能力要求较高，运算易出错.所以在教学中需注意重通法，即要注重学生理解概念、基本定理本质，强化重视数学运算、直观想象、逻辑推理素养的培养与加强转化思想的培养.

分析2 运用坐标法，直接求出对应向量坐标——几何问题代数化.

解法2 以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，垂直AC的直线为y轴，建立直角坐标系，如图3.因为∠BAC=60°，AB=2，AC=5，

所以B（1，3），C（5，0）.图3 坐标法示意图

又因为点M，N分别为边BC，AC中点，

由中点坐标公式得N（52，0），M（3，32）.

设P（x，y），因为点A，P，M和点B，P，N三点共线，

所以设AP=λAM，NP=μNB，

解得P（2，33）.

所以cos∠MPN=AM·BN|AM||BN|=49191.

评析 一般采用坐标法比较简单，求出点的坐标，只需套用数量积求夹角公式即可，但此题未出现“直角”不易想到建坐标系.点A，B，C及M，N坐标易求出，点P坐标是困难点.在教学中可以引导学生建系基本原则：尽量将三角形的边、点放在坐标轴，有特殊角30°，45°，60°的三角形也可建系.求点P坐标时注重通性通法（三点共线向量求解），如遇特殊线交点（如中线、垂线等）可利用自身性质特征或公式求解，注意基本公式要熟练，数学运算能力要过关.

分析3" 构造三角形， 运用初中所学平面几何知识构造相似，利用余弦定理求夹角余弦值.

解法3 连接MN，如图4.

因为∠BAC=60°，AB=2，AC=5，

在ΔABC中，由余弦定理，得

BC=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=19.

又因为M，N分别为BC，AC中点，

故ΔMPN∽ΔAPB.

所以MPPA=NPPB=12.

则BM=MC=12BC=192，

AN=NC=12AC=52.

由余弦定理，得

BN=AB2+AN2-2AB·ANcos∠BAN=212.

因为AB∥MN，

所以∠ANM=120°.

从而AM=AN2+MN2-2AN·MNcos∠ANM=392，

BP=23BN=213，

AP=23AM=393，

cos∠MPN=cos∠BPA=AP2+BP2-AB22AP·BP=49191.

评析 学生在已有初中几何知识的基础上，易想到连辅助线构三角形中位线，要解ΔMPN，必须求出三边证相似.从而先利用已知条件解决边BC，思路清晰，容易下手.但在两次使用余弦定理中数值较大，运算易出错.所以在日常教学中要注重基础知识、基本技能，凸显运算能力，注意书写表达过程.

3 拓展延伸

3.1 改变边上点的位置

变式1 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上点M，N满足BM=2MC，AN=2NC，且AM，BN交于点P，求∠MPN的余弦值.

变式2 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上点M，N满足BM=λMC，

AN=λNC，且AM，BN交于点P，求∠MPN的余弦值.

变式3 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上的高线AM，BN交于点P，求∠MPN的余弦值.

变式4 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC边上的中线AM和AC边上的高线交于点P，求∠MPN的余弦值.

3.2 改变角

变式5 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=45°，BC，AC边上两条中线AM，BN相交于点P，求∠MPN的余弦值.

变式6 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=θ，BC，AC边上两条中线AM，BN相交于点P，求∠MPN的余弦值的取值范围.

变式7 在ΔABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=θ，BC，AC边上点M，N满足BM=2MC，AN=2NC，且AM，BN交于点P，求∠MPN的余弦值的取值范围.3.3 条件结论交换位置

变式8 在ΔABC中，已知AB=2，AC=4，BC，AC边上两条中线AM，BN相交于点P，cos∠MPN=77，求∠BAC的余弦值.

以上通过对数据的分析处理——变条件中边角、位置以及深度思维考虑条件结论互换（逆命题角度），利用化归转化的数学思想很好地巩固加强基本方法、基本概念、通性通法，强化学生逻辑推理能力、数学运算能力，形成体系学习的学习理念.

4 链接高考

题1 （2018年天津卷第8题）在如图5的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM=2MA，CN=2NA，则BC·OM的值为（" ）.

A.-15" B.-9" C.-6" D.0

题2 （2017年新课程全国Ⅱ卷第12题） 已知ΔABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则PA·（PB+PC）的最小值是（" ）.

A.-2" B.-32" C.-43" D.-1

题3 （2020年新高考Ⅰ卷第7题） 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内一点，则AP·AB的取值范围是（" ）.

A.（-2，6）""" B.（-6，2）

C.（-2，4）D.（-4，6）

题4 （2018年江苏卷第12题）如图6，在ΔABC中，D是BC中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O，若AB·AC=6AO·EC，则ABAC的值是.

通过对以上高考题的研究分析，揭示了书本习题与高考的关联.在研究课本习题及拓展高考题过程中，平面向量的问题中都蕴含化归转化的数学思想及解决问题的基本方法、基本概念，强调通性通法，均需强化学生的逻辑推理能力、数学运算能力，形成目标体系性学习的学习理念.

5 结束语

本题具有很好的研究价值，考查平面几何向量法、“代数化”的通性通法，也很好地考查了学生的能力.新教材加大了平面向量的内容，以教材习题为导向研究高考.而“一题一课”对母题进行了适当变式拓展，形成微专题形式引导学生深度思维.所以在平面向量学习过程中，要特别关注学生能否形成由具体到抽象的思维品质，让学生注重对数学本质的理解和思想方法的把握；要特别关注

能否提升学生的数学运算的核心素养；要特别关注转化与化归思想的渗透，学生能否选择合适的基底表示其他向量或将研究的向量用基底表示，从而将问题简化或者将向量坐标化，体会向量运用中不同数学对象的相互转化关系.引导学生借助向量表征相关几何元素，从而转化成向量运算解决问题，让学生体会用向量方法解决几何问题的基本思路.把几何问题转化成运算问题，确定运算对象和运算方法，从而实现几何问题转化成代数问题，通过向量运算解决问题，深化了对向量运算的认识，发展了学生的数学运算素养，促进了数学思维发展，形成规范化思考问题品质.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书（A）版：数学（必修第二册）[M].北京：人民教育出版社，2019.

［责任编辑：李 璟］