少而重要、多维精构，促成学生的自主寻理

弗赖登塔尔认为：“学习数学唯一正确的方法是让学生本人去发现或创造出要学的东西，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作。”[1]课堂40分钟，如何撑起学生“再创造”式的探究学习？怀特海提出：“让引入儿童教育的主要观念少而重要，并使它们建立所有可能的联系。”[2]是不是能以“少而重要”撑起学生“再创造”的时空，以“建立所有可能的联系”、在多维精构中促成学生“再创造”的深度？

苏教版教材三年级上册“分数的初步认识”的知识技能目标是：知道把一个物体或一个图形平均分成若干份，其中的一份可以用分数表示；知道分数各部分的名称；能够正确读、写分数，能借助直观比较两个几分之一的大小。其“少而重要”的应是分数意义的理解，而其他皆可看作分数意义的外显。据此，笔者做了如下的教学实践。

一、写法是意义的外显——寻法、明理、知意

1.尝试书写，相异中引冲突。

师：你们会写二分之一吗？（生：会）把你们心目中的二分之一写在练习本上。

教师巡视，然后请两个学生板演：

。

师：他们写的相同吗？

生：他们写的里面都有1和2。

师：是的，他们不约而同地想到——用“1”和“2”的组合来创造二分之一。这和我国古人当初创造新数时的想法一致！为他们精准的数学直觉鼓掌。

师：他俩写的不同在哪儿呢？

生1：2和1的位置不同。

生2：他们书写的顺序不同。一个是从上往下写的，一个是从下往上写的。

师：是的，2和1的位置、书写的顺序都不同。其他小朋友有没有这样的疑问？（学生纷纷点头）看，这两个小朋友把大家心中想问而没有问出来的问题提出来了。

“只有注意到，才能学到……只有真正注意到，才能将信息传递到前额叶皮层，激发神经冲动，改变大脑的突触。”[3]关于二分之一，学生前期对它就有些模糊的认识，只是不精准。只有把这种内在认知转化为可触摸、观察、评论的“作品”，才能有效地引起学生的注意，使他们的前概念得以证实、修正和发展。写出来，看见不同，才能引发注意，激发冲突，进入学习状态。

2.连接过程，动作表征里明意义。

师：其实，古人创造分数的时候，写法也是五花八门的。后来人们仔细研究了二分之一产生的过程，研究了“2”和“1”的意思，逐步统一了写法。具体怎么写呢？让我们看[12]是怎么产生的。

（动画显示：一个蛋糕，平均分，分成2份，其中的1份）

师：1个蛋糕，我们记作“1”，平均分——（板书：lt;E：＼小教数学＼24年10月小教数学＼202410-28-003.jpggt;）分的时候，我们是先用刀在正中间一划，这个动作可以记作“——”；分成了2份，记作“2”；取出其中的1份，记作“1”。（分步板书组合成：[12]）给小女孩这1份就是这个蛋糕的[12]。这个符号里的“2”和“1”，分别表示什么意思？

生：2份和1份。

分数产生的历史初期，写法是各式各样的，学生创作的丰富性也在情理之中。本环节，借数学史，共情学生创作的多样性。把二分之一的写法与真实情境中分蛋糕的过程相结合，既让学生清晰地看见从自然数1平均分出[12]的过程，避免对“1”认知的分歧；又让学生在动作表征的辅助下，经历了二分之一符号的创写过程，初步感悟[12]的整体意义。

3.言说写法，有需求时认识各部分名称。

（学生在练习本上，一边说平均分的过程，一边写[12]）

师：会写了吗？说一说，先写什么？（生：一短横）这一短横是分数独有的线，叫作——

生：分数线。

师：懂得真多！（板书：分数线）再写什么呢？（生：2）这是平均分出的份数，它的名字叫作分母。（板书：分母）取出的这1份，叫——

生：（小声地）分子。

师：是的，从分的总份数中取出的部分，就是分子。（板书：分子）

把[12]的写法说出来，既是对写法的巩固，又产生对[12]各部分名称表达的需求。华应龙老师说：“教，是为了需要教。”有需求时的教，才会有真实的学习。各部分名称的学习，促进了对符号意义的进一步理解。

4.不同记录方式的比较，明晰分数各部分的意义。

师：分蛋糕的过程，用数学符号记录就是这样的（指板书的[12]），如果用文字来记录，又会怎样呢？

（众生笑着开始念念有词：把一个蛋糕平均分成2份……）

（课件随机出示：把一个蛋糕平均分成2份，每份是它的[二分之一]）

师：你们是喜欢数学符号的记录方式，还是喜欢文字记录的方式？

生：（不约而同地）数学符号！

师：（笑）为什么呢？

生1：数学符号简洁。

生2：文字记录要写很多字。

师：谁都喜欢简洁，但，只有真正理解的人才能用好简洁的符号。你们真正理解这个符号的意思吗？（生自信地说：理解）文字中的“平均分”在这个符号中表现在哪里呢？

生：（齐）一短横。

生：一短横也是对的，但我们现在已经知道了一短横的名称，所以，说分数线更准确一些。

师：真棒，学了就要用起来！平均分成2份呢？（生：分母）每份呢？（生：分子）这里的“它的”是指谁的啊？（生：一个蛋糕）

围绕写法，多维精构。写出来，让隐性的认知盲点外露，看见问题，激发学习需求；把符号的书写转变成对平均分过程的记录，让学生“够得着”符号的创生；言说写法，引出各部分的名称；对比文字记录，感知数学符号简约美的同时，强化符号与意义的关联，训练学生“会用数学语言表达”。明看是写法，实质处处指向意义。

二、图象是意义的表征——辨识、迁移、深入

1.辨识[12]，迁移几分之一。

（学生创作长方形纸上的[12]，展示对比：lt;E：＼小教数学＼24年10月小教数学＼202410-28-005.jpggt;）

师：为什么折法不同，涂色的形状也不同，却都是长方形的[12]呢？

生：因为它们都平均分成了2份，其中的1份就是这个长方形的[12]。

师：哦，原来只要是平均分成2份，其中1份就一定是这个整体的[12]，是吗？张老师带来了几幅图，大家能不能帮我判断一下涂色部分是不是它们的[12]呢？

（课件出示：lt;E：＼小教数学＼24年10月小教数学＼202410-28-004.jpggt;，学生判断）

师：图②为什么不能表示[12]呢？

生：因为它没有平均分。

师：图④不是平均分了吗，它为什么也不是呢？

生：它平均分成了3份。

师：继续说下去。

生：所以它是[13]。

师：噢，“平均分”不变（板书：["""""""]），但分出的份数变了，所以分母就变成了——（板书：3）分子还是——（板书：1）也就是说，把1平均分，除了能分出[12]，还可能有几分之一？还可能有——（板书：[13]、[14、1（""""）]）

康德提出过著名的认识公式：“概念无经验则空，经验无概念则盲。”有了概念即开始创作、辨析，从长方形纸上不同形状的[12]到图形上的[12]、变式与反例混合，让学生在辨析中理解通透[12]的内涵与外延，主动迁移至[13]，拓展出[1（""""）]的认知。“概念与经验的结合即理解或知性的发生”[2]，知识+实践，让学生在学习中创造，在创造中学习。

2.创造几分之一，看见分数的大小。

师：老师今天还带了一张图——钟面图，上面有12个点，把圆面平均分成了12大格。如果借这张图，分一分、涂一涂，你能创作出几分之一呢？

（学生创作，然后教师分别让学生说说做出的分数、说做法猜分数、提问题猜分数，逐一揭示图1、图2、图3）

师：你们3人，能不能把自己的作品排排队？（学生排队）看着他们排的队伍，你们能想到什么顺序？

生：他们是从大往小排的。

师：好，让我记录下你们的思考过程。（板书：[14]＞[16]＞[112]）还有小朋友做出和他们不一样的几分之一吗？是多少？

生：我做出的是[18]。

师：（展示图4）让我们数一数，真的是平均分成了8份呢！（全班鼓掌）想一想，如果它也来排队，应该排在哪儿？为什么？

生：应该排在[16]的后面，因为它比[16]小，但比[112]大。

（创作出[18]的学生手持作品排队，全班鼓掌确认）

师：张老师也做出了一个几分之一，我要排在最前面。猜，我做出的是——

生：[12]。（师：大了）[13]。

师：你确定？

生：确定。

（教师展示图5，排入队伍中）

师：看，我们做出的分数[12]、[13]、[14]、[16]、[18]、[112]，平均分的份数越来越多，分母就——（生：越来越大）其中的1份也就——（生：越来越小）因为——

生：平均分的份数越多，其中的1份就越小。

张华教授说：“人只有在表现理解里才能发展理解。”[2]独创性的“钟面图”，扶助学生更便利、多元地创作，在创作中表现理解；再在“说一说、猜一猜、问一问、排排队”等活动中发展学生的理解；最后，在几分之一的具体直观里，体悟几分之一大小比较的方法，深化意义的理解。

3.再辨几分之一，通透分数的内涵。

（课件再次出示

）

师：原来我们说它不能用[12]表示。现在回头再看——

生1：它是[14]。

师：（吃惊地）[14]？你们同意她的观点吗？（学生有的点头，有的犹豫）有问题，问她啊！

生2：哪儿能看见4份呢？

（生1到课件前画线表示：lt;E：＼小教数学＼24年10月小教数学＼202410-28-008.jpggt;。全班鼓掌）

师：哇，平均分，有时候藏得很深，我们需要想办法添上线，才能看出来呢！

师：（课件出示lt;E：＼小教数学＼24年10月小教数学＼202410-28-007.jpggt;）这是我们熟悉的[12]，如果我们在空白的这一半里，再添一根线，（课件出示

）这时，涂色部分还是整个圆的[12]吗？

（众生迟疑）

生：（小声地）是[24]。

生：还是[12]。就像蛋糕，分出一半，就是它的[12]。至于另一半，再分多少块，都和原来的一半无关。

生：还是[12]。这根线是混淆我们的感觉的，我们可以擦去它，这样就可以清楚地看到，涂色部分还是一个圆平均分成2份后的1份。

对有限的素材进行反复探究，以至达到足够的认知深度。“对我们的大脑而言，发现之前不知道的信息，本身就是一种奖励，它会促使我们分泌多巴胺，感到快乐。”[3]让学生在回望里看见自己认知的进阶，收获意外的惊喜。

三、结构是意义生长的阶梯——回望、关联、拓展

师：今天这节课，你们有收获吗？

生：我认识了一种新的数，它叫分数。

生：分数是由1平均分得到的。平均分有时藏得很深，需要添上线、去掉线才能发现。（全班鼓掌）

生：把1平均分成2份，其中的1份就是[12]；平均分成3份，其中的1份就是[13]；平均分成几份，其中的1份，就是几分之一。

师：是啊，分数分数，就是把1平均分，而后得到的那种数。

生：那有没有几分之几呢？

师：问得好！有了几分之一，有没有几分之几呢？刚才有同学提到了[24]，可以用[24]表示吗？

……

课尾又一次回望，学生通过自主检索回忆，去粗取精、查漏补缺、关联建构。关联自然数1，再认起点，明晰新数的分化点；由[12]到几分之一，再到几分之几，建构新数的生长态。

少而重要，多维精构。少而重要，抓住最核心、最基本、最有力量的概念，删繁就简，保护学生的注意力，保证他们思考的时空，让他们得以深入地探究、深度地实践、实践中理解；多维精构，多重联系，让教师的主导隐于学生主体“寻理”之后，让学生在回望里不断相遇认知的反转，自动迁移，多维解读，理解中创造，创造中理解，在理解的进阶里收获发现的惊喜。

参考文献：

[1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.

[2]张华.让学生创造着长大[M].北京：教育科学出版社，2022.

[3]斯坦尼斯拉斯·迪昂.精准学习[M].杭州：浙江教育出版社，2023.

（作者单位：江苏南通市通州区教师发展中心）J