导数在圆锥曲线问题中的应用探究指导

［摘 要］ 开展导数在圆锥曲线问题中的应用教学至关重要，教师应注重针对不同问题类型进行思路分析，并构建相应的解题策略，同时结合具体实例进行深入强化. 研究者围绕圆锥曲线的三大问题，开展导数应用教学，并提出相应的教学建议.

［关键词］ 导数；圆锥曲线；应用；最值；切线

作者简介：周佳琳（1996—），硕士研究生，中小学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.

导数是高中数学的核心知识点，常作为数学工具用于探究解析函数的极值、最值等问题，以及圆锥曲线问题.

应用探究

探究导数在圆锥曲线中的应用，具体步骤是：先构建函数模型，再利用导数来研究函数的性质，最后完成求解.

1. 最值与取值范围问题

在探讨圆锥曲线中的最值与取值范围问题时，如果学生构建的数学模型过于复杂，以至于难以应用不等式法或函数法求解，那么可以考虑采用导数分析法. 即关注模型中的数式，以此为基础构建函数，并引入导数知识来研究其性质，进而求解最值或取值范围.

例1 设椭圆T：+=1（a>b>0），直线l（不与x轴重合）过椭圆的左焦点F，并与椭圆相交于P，Q两点，左准线与x轴相交于点K，KF=2. 当l与x轴垂直时，PQ=.

（1）求椭圆T的方程；

（2）直线l绕着F旋转，与圆O：x2+y2=5相交于A，B两点，若AB∈［4，］，求△FPQ的面积S的取值范围（F为椭圆T的右焦点）.

分析指导 本题以椭圆与直线相交为背景，构建了圆、三角形等特殊几何图形，并融入了旋转相关知识，整体综合性较强. 本题第（1）问求的是椭圆T的方程，较为简单. 第（2）问探究的是三角形面积的取值范围，需要构建一个面积模型，有一定难度. 在分析面积模型时，建议通过构建函数并运用导数来研究其性质，从而确定面积的取值范围.

过程指导 （1）（简答）椭圆T的方程为+=1.

（2）总体思路：先联立方程，再构建面积模型，最后利用函数与导数知识完成求解.

第一步，联立方程.

设直线l：x－my+1=0，圆心O到l的距离d=. 根据圆的性质可得AB=2=2. 又AB∈［4，］，故m2∈［0，3］. 联立直线l与椭圆的方程，得x=my－1，+=1，整理得（2m2+3）y2－4my－4=0. 由韦达定理得y+y=，yy=.

第二步，构建面积模型.

设直线与椭圆的交点为P（x，y），Q（x，y），构建△FPQ的面积模型，得S=FF·y－y=y－y==.令t=m2+1∈［1，4］，则S=.

第三步，构建函数，导数解析.

针对上述面积模型，可以构建一个函数来表示其中的分母部分. 即设f（t）=4t+，t∈［1，4］，其对应的导函数f′（t）=4－=>0（t∈［1，4］）恒成立，所以函数f（t）=4t+在区间［1，4］上单调递增. 所以，f（t）=4t+∈5，. 所以，S∈，.

评析与反思 上述展示的是运用导数求解圆锥曲线中的取值范围问题的“三步法”. 在这一过程中，函数和导数的应用主要集中在最后一步. 具体来说，先通过建立面积模型来构造局部函数，然后利用导数分析该函数的性质，最后确定取值范围.

对于学生而言，需要关注两点：一是函数的构建——可整体构建，也可局部构建；二是函数的性质——应用分类讨论思想，明确函数的性质.

2. 切线问题

圆锥曲线中的切线问题十分常见，传统方法为解析法，即设定切点，求出切线斜率后构建方程，但该过程较为复杂. 实际上，可以利用导数知识直接求出切线方程. 教师可以抛物线的切线方程为例，指导学生掌握以下求解思路.

求过抛物线E：x2=2py（p>0）上一点P（x，y）的切线方程，可以将抛物线方程视为关于x的二次函数，对其进行求导后，再代入切点坐标推得切线的斜率，最后利用点斜式构建切线方程.

例2 若点Q是直线y=x－4上任意一点，过点Q作抛物线C：x2=4y的两切线QA，QB，其中A，B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标.

分析指导 本题证明直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标，关键是求出切线QA，QB的方程. 可以利用导数的相关知识，直接构建切线方程.

过程指导 先求切线方程，再分析定点.

第一步，推导切线方程.

对函数y=x2求导，得y′=x. 设切点为（x，y），则过该切点的切线的斜率为x，所以切线方程为y－y=x（x－x）=xx－x=xx－2y，即xx－2y－2y=0. 设点Q（t，t－4），由于切线经过点Q，所以tx－2y－2（t－4）=0.

设A（x，y），B（x，y），则两切线的方程分别为tx－2y－2（t－4）=0，tx－2y－2（t－4）=0，

第二步，分析定点.

根据两切线方程可知，过A，B两点的直线方程是tx－2y－2（t－4）=0，即t（x－2）+8－2y=0. 分析该式可知，当x=2，y=4时，方程恒成立，从而确定对任意实数t，直线AB恒过定点（2，4）.

评析与反思 上述展示的是运用导数求解切线方程的过程. 具体而言，先将曲线方程视为关于x的函数，然后对其求导以确定切线的斜率，最后据此确定切线的方程.

教师可以引导学生总结常见的圆锥曲线的切线方程，例如过双曲线-=1（a＞0，b＞0）上一点P（x，y）的切线方程为－=1，过椭圆+=1（a＞0，b＞0）上一点P（x，y）的切线方程为+=1. 学生可以直接利用上述结论来解题，从而提高解题效率.

3. 极点与极线问题

极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征. 学生先要明晰概念，再总结用导数破解极点与极线问题的思路.

对于圆x2+y2=r2，与点（x，y）对应的极线方程为xx+yy=r2. 若点（x，y）在圆上，则极线方程就是切线方程；若点（x，y）在圆外，则极线方程就是切点弦方程.

利用导数的几何意义可以探求与极点和极线相关的定值问题. 这种方法适用于A是圆锥曲线C上的定点，E，F是圆锥曲线C上的两个动点的情形.

例3 如图1所示，已知E，F是椭圆+=1上的两个动点，A1，是椭圆上的定点，如果直线AE与AF关于直线x=1对称，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

分析指导 本题为与椭圆和直线相关的斜率定值探究题，解决此类问题有两种方法：一是传统的解析法；二是特殊的导数法. 解析法先联立方程，然后根据斜率定义进行推导；导数法则利用导数知识直接推导. 在教学中，教师可将这两种方法都展示出来，指导学生进行分析与对比.

解析法 因为直线AE与AF关于直线x=1对称，所以直线AE与AF的斜率互为相反数. 设直线AE的方程为y=k（x－1）+，则直线AF的方程为y=－k（x－1）+. 联立直线AE与椭圆的方程，整理可得（3+4k2）x2+4k（3－2k）x+4－k－12=0.

设E（x，y），F（x，y），注意x=1是上述方程的一个根，结合韦达定理可得x=. 同理可得x=. 所以，k==. 将x和x的值代入上式，可得k=.

导数法 分析可知，当直线AE与AF的倾斜角均趋近于90°时，则直线EF的斜率就趋近于过A′1，－的切线的斜率. 对椭圆+=1中的x求导，得+=0. 将A′1，－代入上式，可得+=0，解得y′=，从而可直接确定所求的定值为.

评析与反思 上述展示的是用解析法与导数法探究直线过定点的过程. 显然，传统的解析法更复杂，涉及大量的运算，而导数法则直接触及核心，简洁明了. 在教学中，教师需要指导学生关注两点：一是探讨导数法在解题过程中的构建方式及其本质含义；二是通过对比解析法与导数法，直观揭示两种方法在思路方面的差异.

教学建议

上文概述了导数在圆锥曲线三大问题中的应用，并展示了探究方法的参考价值. 接下来，笔者提出一些教学建议.

建议1：挖掘知识本质

导数作为数学分析的重要工具，在解决圆锥曲线问题时展现了其两大关键特性：一是能够通过研究导数来深入探讨函数曲线的变化特性；二是利用导数的几何意义能够建立斜率与切线之间的联系. 教师应当指导学生深入探究这些知识的内在本质，并从本质上理解其应用的根源. 在学习过程中，学生需要关注教材的基础内容，从基本定理和定义出发进行深入探讨.

建议2：解读应用思路

上述内容概括了三大题型中导数研究的方法和思路，整体上遵循“思路解读→实例指导→评价反思”的流程展开. 其中，“思路解读”应作为教学的重点，即在探究过程中，学生应聚焦问题的特性，梳理导数的应用技巧，并构建相应的解题策略. 在构建解题策略时，需要注意两个关键点：一是解读导数应用的知识基础；二是深入分析问题，揭示其核心本质.

建议3：过程分步构建

指导实例时，教师应采取分步构建的策略，引导学生深入解读问题，并明确每一步解析的关键点. 以例1的探究为例，探究过程可以分为三个阶段：首先，联立方程并进行整理；其次，构建面积模型；最后，研究导数的性质. 分步构建策略并非仅仅是对过程的简单拆解，教师应引导学生深入分析问题，理解不同条件之间的内在联系.

建议4：深度总结思考

研究案例时，教师需精心挑选具有代表性的题目，确保这些题目能够清晰地展示解题方法的应用. 一旦构建了完整的过程，教师应进一步引导学生进行反思和总结，深入探讨解决问题的细节，并归纳总结解题策略和经验，以便更深刻地理解方法的应用过程. 在必要时，教师可以引导学生进行多种解法的探究，比较解析法与导数法的思路差异，直观地感受导数法的优势. 此外，教师应适时总结构建过程和解题技巧，以助于学生更好地应用和巩固所学知识.

写在最后

综上所述，导数作为一种解题工具，对处理圆锥曲线问题具有重要作用. 在教学中，教师应注重问题的梳理和思路方法的总结，并通过具体实例来提供指导. 在探索解题方法时，建议教师以引导学生思考为主，确保学生能够深入理解并掌握运用导数解决问题的基本策略. 此外，教师还应适时地融入数学思想，以此来培养学生的解题思维能力，并提高他们的数学素养.