数学建模试题创编之初探

［摘 要］ 文章尝试通过深入剖析数学建模的各个环节，探索高中数学建模试题的创编路径. 该过程紧密依托教材内容，贴近生活实际，严格遵循数学教模的命题原则与评价机制. 同时，文章创新性地引入了多样化的题型设计，包括填空题、选择题与简答题，旨在全面而深入地考查学生的数学建模素养.

［关键词］ 数学建模；试题创编；命题

作者简介：陈骏 （1982—） ，本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作.

引言

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称新课标）将数学建模活动及数学探究活动设置为一条独立且显著的主线，充分体现了对数学建模的重视程度.沪教版新教材将数学建模内容独立编纂成册——必修第四册［1］与选择性必修第三册［2］，两册教材一共收录了20个建模案例. 包罗万象的主题，教师和学生能够根据自己的兴趣与专长进行选择. 独立编纂成册的数学建模教材，凭借它的相对系统性和完整性，可以帮助教师理解数学建模的意义和特点，逐步体会并形成数学建模的教学规范，从而更好地引导学生参与相应的数学建模活动，体验数学建模的全过程，领悟数学建模的真谛［3］.

如何考查学生的数学建模素养呢？在2022年上海市高三数学适应性测试中，出现了一道别具一格的试题——“探讨房屋出租方案的优化决策”. 在给定问题的情况下，要求学生分析相关因素、提出合理假设，并用数学语言给出理由. 本试题分别从数学建模的不同环节过程和不同能力水平，全面考查学生的核心素养. 同时，本试题是数学建模领域的一个里程碑，激发了广大同仁对建模试题创编的热情. 笔者将尽力以教材中的案例为蓝本，初步探讨数学建模试题的创编路径和形式，旨在激发更多思考与讨论，起到抛砖引玉的作用.

考查建模活动中的各个环节

新课标给出了数学建模活动的基本过程，并指出“教学活动包括，对于给出的问题情境，经历发现数学关联、提出数学问题、构建数学模型、完善数学模型、得到数学结论、说明结论意义的全过程”［4］. 有学者将此过程分为上游、中游、下游三个阶段［5］，笔者将两者结合，得到如图1所示的对应关系.

1. 提出问题环节

上游源于“在实际情境中从数学角度发现问题、提出问题”.试题中的问题，通常源于命题人的精心构思. 若鼓励学生自主提出问题，不仅能够深刻检验学生的分析与理解能力，更能反映学生的逻辑推理素养. 由于上游不涉及模型求解，复杂问题也能在此初步分析，故上游可考查的范围较广. 在此环节中，建议采用简答题的形式来呈现所创编的试题.

例1 同学们如果时常阅读报纸或浏览新闻网站，可能看到过关于大型车辆右转时引发交通事故的报道.有时事故严重，危及了人的生命. 为什么大型车辆转弯时容易引发事故？细读一些报道和查阅相关资料后发现，这些事故中很大一部分与“内轮差”有关. 根据上述情境，请提出一个有意义的问题.（本题改编自必修第四册《车辆转弯时的安全隐患》）

参考答案 ①为什么“内轮差”会造成伤害事故？②产生“内轮差”的原因是什么？③“内轮差”的大小与哪些因素有关？

例2 同学们会利用假期游览祖国大好河山，亲身感受祖国在社会、经济、文化等方面的发展.如果你有计划去世界文化与自然双重遗产之称的黄山旅游，那么请你先制作一份游览规划吧！根据上述情境，请提出一个有意义的问题.（本题改编自必修第四册《登山行程设计》）

参考答案 ①如何设计登山行程可以兼顾省时、省力、省钱的需求？②如何设计登山路线可以提高游玩的效率？

评析 上述两题源于新教材中的案例，与日常生活息息相关，要求学生先用数学眼光观察世界，理解事物的关联，再用数学思维思考世界，提出明确的问题. 所谓“有意义的问题”是指值得去研究的问题，可以是现实问题，最好是数学化的问题. 提出一个有意义的问题是本环节的教学难点. 评价此类题目时，可按满意原则打分.

2. 建立模型环节

中游的主要任务是建立、求解和检验模型，是数学建模的核心环节.学生需要注重知识储备、经验积累，更需要勇于探索的精神和攻坚克难的毅力，还需要一定的洞察力和想象力. 中游问题可以培养学生的创新精神，磨砺他们的意志，并充分反映他们的数学抽象、数学运算、数据分析等素养.

建立模型环节考查学生能否将现实模型转化成数学模型，并提出合理的假设来简化模型. 例如，《红绿灯管理》案例中可以通过假设车流量均匀，忽略行人来简化模型；《削菠萝》案例中将菠萝眼视作矩形内整齐排列的点阵. 事实上，基于不同的假设有可能得到不同的模型，假设的数量决定着后期求解模型的难易度. 在此环节中，建议采用简答题或选择题的形式呈现所创编的试题.

例3 在《雨中行》案例中，为使模型不至于太复杂，请你提出一个有效的假设.

参考答案 ①假设降雨强度保持不变；②将人体视为一个长方体；③假设行人的上半身保持固定的行走姿势；④假设无风或者风向保持不变.

例4 在《雨中行》案例中，你认为下列哪些因素会对行人淋雨量的大小产生影响？（ ）

A. 风速？摇？摇 B. 风向？摇？摇

C. 降雨强度？摇？摇 D. 室外温度

E. 行走速度

参考答案 ABCE

评析 上述两题中，首先，学生要明确该案例的任务——减少在雨中行走时的淋雨量，即回溯上游；其次，考虑与该问题有关的因素和可以简化模型的假设. 本环节的教学难点在于引导学生辨别各种因素的影响程度，既考验学生对生活常识的积累，又考查学生的逻辑推理和数学抽象素养.

3. 求解模型环节

求解模型环节考查学生运用所学知识解决数学问题的能力. 学生需要根据具体情况综合、灵活地运用几何、代数、三角、统计等数学知识求解数学模型，需要平时的不断积累和强化训练. 此环节是现今数学建模过程中考查得最多的环节，即传统的应用题，建议采用简答题的形式呈现所创编的试题.例如，2017年高考上海卷第19题——共享单车保有量问题，2018年高考上海卷第19题——人均通勤时间问题，2021年上海卷第19题——企业营业额问题，等等，都以数学建模为载体，数学抽象在先，数学运算在中，逻辑推理在后，直观想象在暗，综合考查学生的数学学科核心素养.

4. 检验模型环节

检验模型环节考查学生能否将数学结果解释为实际问题的结果或方案，并用实际的现象或数据加以验证，通过反思模型的不足之处改进模型，从而培养学生的批判性思维. 在本环节中，建议采用填空题或简答题的形式呈现所创编的试题.

例5 在《水葫芦的生长》案例中，水葫芦的生长规律需要按季节分成三段函数来拟合，因此二次函数模型并不能有效地刻画水葫芦的生长规律，则可采用______模型.

参考答案 逻辑斯蒂函数.

例6 小明将沙发通过转角处的移动视为矩形在平面上的平移与旋转运动，随后建立相应的三角函数模型，最后算得矩形的较长边大于转角处的最大幅度，所以他判断沙发无法通过该转角. 而生活实际中，经验丰富的搬运工却能巧妙地通过. 你认为小明的建模方法不合理在哪里？应当如何改进？（本题改编自必修第四册《家具搬运》）

参考答案 在家具搬运过程中，二维平面比三维空间的局限性大，可以考虑添加第三个维度或将沙发的最长边竖起来搬运.

评析 本环节通过实际结果与模型结论的对比，让学生找出模型不合理的原因，发现是由于因素考虑不全面，模型假设不合理，导致结论错误. 正确合理的数学模型通常不是一蹴而就就能建立的，对模型的检验和验证必不可少，甚至需要多次反思和改进，最终达到理论与实践的统一. 本环节对学生的观察力和逻辑推理能力有较高要求，需要学生在日常生活中保持深入观察和理性思考.

5. 反馈模型环节

下游的特点在于模型构建完成，主要考查模型的实际应用，既可以解释模型，又可以阐释结论. 例如，通过《“诱人”的优惠劵》案例可知，并不是物品买得越多，优惠率越高，所以提倡理性消费，制定一个合理的购物方案；通过《刹车距离》案例可知，反应时间是影响刹车距离的重要因素，因此驾车时须集中注意力，杜绝酒驾、疲劳驾驶，严格遵守交通规则. 即便是尚未学习过的复杂模型，也可以让学生应用该模型解释或解决实际问题，体现数学的应用价值和育人价值. 在本环节中，建议采用填空题或选择题的形式呈现所创编的试题.

例7 （北京海淀区2021～2022学年高三上学期期中试题）某生物种群数量Q与时间t的关系近似地符合Q（t）=，给出下列四个结论：

①该生物种群的数量不会超过10；

②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；

③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；

④该生物种群数量的增长速度最大的时间t∈（2，3）.

依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是________.

评析 本题中的关系式源于著名的逻辑斯蒂函数，该函数是描述在资源有限的条件下种群连续增长的一个最佳数学模型，称为逻辑斯蒂增长. 这是在生物学中应用数学的经典范例，展现了数学的广泛应用性. 高考数学中曾多次出现以该模型为背景的题目.即便学生没有学过逻辑斯蒂函数，但依然可以利用该函数的运算结果，推理出各种结论. 本题主要考查学生的逻辑推理和数学运算素养.

结语

数学建模的试题创编可以针对建模过程中的各个环节，也可以针对数学建模的不同素养水平. 知识立足课本，内容贴近生活. 依据试题类型与评价形式的多样性及灵活性进行编制，以更加契合数学教模的命题原则与评价机制. 上述内容是笔者对数学建模试题编制之若干见解的阐述. 数学建模试题编制工作尚处初探阶段，诸多方面亟需深入探索与实践，这需要广大数学教育工作者夜以继日地努力，共同推动试题质量与规模实现质的飞跃.

参考文献：

［1］ 上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会.普通高中数学必修第四册［M］. 上海：上海教育出版社，2021.

［2］ 上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会. 普通高中数学选择性必修第三册［M］. 上海：上海教育出版社，2021.

［3］ 上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会. 普通高中数学教学参考资料必修第一册［M］. 上海：上海教育出版社，2020.

［4］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［5］ 倪黎，茹凯，颜宝平. “数学建模”核心素养试题分析与命题探索［J］. 数学教育学报，2022，31（2）：69-76.