关于圆锥曲线探究性问题破解的教学指导

［摘 要］ 对于圆锥曲线探究性问题的教学，研究者建议从构建问题的形式和知识内容的角度入手，引导学生整合解题策略. 在实例指导环节中，关注学生的思维活动，引导学生依照解题策略逐步构建思路，并总结方法经验. 文章按照“问题探索—策略解读—实例指导”的流程开展教学探究.

［关键词］ 圆锥曲线；探究性；模型；教学指导

作者简介：余建平（1970—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获杭州市教坛新秀、淳安县数学名师等荣誉.

问题探索

圆锥曲线中的探究性问题较为常见，从主体内容来看，主要有两类：一是探索证明直线与曲线的数量关系，如相等或不相等；二是探索证明点、直线、曲线等几何元素的位置关系，如直线与曲线相切，直线过定点等.

探究性问题的解析突破，核心方法是根据直线与曲线的性质、位置关系等先探索分析，再通过代数计算来确定结论. 圆锥曲线探究性问题的解析过程充分体现了转化与化归思想，即先对已知条件进行转化与化归，构建条件与结论之间的联系，再确定后续的解析思路.

对于圆锥曲线探究性问题的教学，建议设置探究专题，探索解题模型，生成相应的解题模板，并结合实例进行解题指导. 在解题指导过程中，建议根据不同题型，引导学生的思维发展，总结解题经验.

策略解读

对于圆锥曲线探究性问题，常设定问题条件，探索结论是否成立，对于该类问题可以采用一定的方法策略，根据题设条件来构建思路，下面针对常见的情形总结方法.

1. 注意事项

对于圆锥曲线探索性问题，建议采用“先假设，再验证”的解析思路，即先假设结论成立或存在，再推导满足条件的结论. 若最终推导正确，则假设成立；若推导出现互斥或相悖，则假设不成立. 需要注意以下三点：

（1）当条件与结论不唯一时，注意分类讨论；

（2）若给出了结论，需要推导其存在的条件，则可先假设结论成立，再推导条件；

（3）若探究性问题的结论与条件均未知，此情形难以用常规方法求解，则需要开放思维，使用特殊方法，如特殊值法求解.

2. 解题步骤

对于圆锥曲线探索性问题，常规的破解思路为“肯定顺推”，即需要将不确定的问题明确化，通常分为三个步骤.

第一步，假设存在满足条件的元素，如常数、点、直线或曲线，再引入参变量；

第二步，整合题设条件，列出关于参变量的方程或不等式；

第三步，解析方程或不等式，若满足条件，则结论成立；若不满足条件或无解，则结论不成立.

实例指导

开展圆锥曲线探究性问题破解指导，需要根据问题类型来确定具体思路. 整个过程按照上述总结的解题策略，分步构建，逐步探究.

1. 探究点的存在

例1 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左顶点为A，右焦点为F（2，0），点B（2，－）在椭圆C上，试回答下列问题.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如果直线y＝kx（k≠0）与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴相交于点M，N. 探究：在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

思路指导 本题第（2）问是一个与点的位置相关的探究性问题，其背景是椭圆与直线相交，旨在探索是否存在点P使得∠MPN始终为直角. 根据上述总结的解题策略，建议指导学生按照“肯定顺推”的思路去破解.

对于问题所提的核心要求——∠MPN始终为直角，可以从向量的角度进行构建，即∠MPN=90°？圯·=0，从而将几何问题转换为代数问题，再判断实数k对结论是否有影响.

过程构建 （1）椭圆C的方程为+=1.

（2）根据上述思路分析可知，整个过程分为三个步骤.

第一步，假设存在满足条件的点P，设点P（x，0），E（x，y），x＞0，则F（－x，－y）.

第二步，若∠MPN为直角，则·=0. 联立直线EF与椭圆的方程，得+=1，y=kx.除去y，并整理得（1+2k2）·x2－8=0，解得x=，则y=. 又点A（－2，0），所以直线AE的方程为y=（x+2）. 所以点M0，. 同理可得点N0，. 所以，=－x，，=－x，. 因为·=0，所以－x，·－x，=0，整理得x－4=0.

第三步，解方程x－4=0，得x=2或x=－2. 分析其满足条件，所以存在点P使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角，点P的坐标为（2， 0），（-2，0）.

解后思考 上述过程探究的是点的存在性，采用的是“肯定顺推”的思路，即先假设其存在，然后进行推导和验证. 整个过程分为三个步骤，核心步骤为几何条件的向量化，具体来说，即∠MPN=90°？圯·=0. 在教学过程中，教师应注重引导学生归纳总结几何条件的向量化或代数化的表达方式.

2. 探究参数取值

例2 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点为F，F，离心率为，又知抛物线x2=4y在点P（2，1）处的切线恰好经过椭圆C的一个焦点，试回答下列问题.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M（－4，0），斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，直线AF，BF的斜率分别为k，k. 探索：是否存在常数λ，使得kk＋kk＝λkk？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

思路指导 本题第（2）问是与斜率相关的参数探究性问题，探索是否存在常数λ，使得kk＋kk＝λkk. 问题的背景是椭圆与直线相交，关键在于斜率的计算与构建. 突破思路为“肯定顺推”.

过程构建 （1）先求出抛物线在点P处的切线方程为y=x-1，显然经过x轴上的点（1，0），所以椭圆C的一个焦点为（1，0），可得c=1；再结合椭圆的离心率求得a=，b=1. 所以，椭圆C的方程为+y2=1.

（2）根据上述思路分析可知，整个过程分为三个步骤.

第一步，假设存在满足条件的常数λ，设A（x，y），B（x，y），直线l的方程为y=k（x+4）.

第二步，联立直线l与椭圆的方程，得y=k（x+4），+y2=1.除去y，并整理得（1+2k2）x2+16k2x+32k2－2=0. 根据题设条件可得Δ>0，x+x=－，xx=.又F（-1，0），k=，k=，所以+=·+.

第三步，整体代换变形，即+==，所以kk＋kk＝kk. 所以，存在满足条件的常数λ=.

解后思考 上述求解核心在于整体代换变形. 在处理斜率问题时，必须掌握用直线与曲线的交点坐标来构建斜率的方法和技巧. 这类问题对学生的计算能力提出了较高的要求，同时也使得在代数式的变形过程中，合理运用整体代换和参数引入等方法和技巧变得至关重要.

教学建议

圆锥曲线探究性问题的教学指导应当注重问题的特点，从综合知识的角度深入分析，合理分类，并引导学生总结解题策略，形成解题模板. 针对整个教学过程，笔者提出以下几点建议.

1. 确定常见类型，解读问题特点

圆锥曲线探究性问题十分常见，建议在教学指导时对问题进行分类，并灵活调整分类标准. 例如，直线与曲线结合的背景，结论的类型和核心条件的类型等. 在此基础上，深入解读问题，引导学生关注探索性问题的破解思路，即构建直线与曲线的位置关系，确定需要探索的条件，如点存在、参数存在，以及线段之间的关系等. 在教学中，需要引导学生关注两点：一是探究性问题的构建形式；二探究性问题的核心知识点.

2. 明晰解题思路，生成解题模板

解题教学的核心任务为：引导学生洞察问题本质，明确解题的策略与方法，构建解题步骤. 因此，在教学中，应当致力于探索解题模型的思路，引导学生深入分析问题的特征，细致拆解问题的结构. 这样，学生就能清晰地理解“肯定顺推”的基本思路，并能从设定条件、转化构建方程、推导结论这三个核心层面来建立解题思路. 同时，还需要深入解读这三个核心层面，包括注意事项、转化策略和分析流程.

3. 解题思路引导，整体素养提升

圆锥曲线探究性问题对学生的整体能力提出了较高的要求，教学中必须培养学生的解题思维，包括分析过程、选择方法、运算转换、判断结论等. 以上述探究过程为例，解题分三步完成：第一步，读题审题，把握位置关系；第二步，根据问题条件，选择解题方法；第三步，提炼核心条件，并转化构建. 实际上，解题过程也是整合思想方法的过程，涉及数形结合、转化与化归、分类讨论、数学运算、逻辑推理等. 因此，在解题指导中，教师要注重数学思想方法的融入，引导学生通过领悟和体会，提升综合素质.

写在最后

在圆锥曲线探究性问题的教学中，引导学生深入解读问题的特点，探索其基本的构建形式，从而生成对应的解题策略. 在解题指导环节中，针对具体问题，引导学生分步探究，并适时总结和思考，从而培养他们的解题思维.