聚焦“三个理解” 优化课堂教学

［摘 要］ 章建跃老师所提出的“三个理解”教学理念，为新课改背景下的数学教学带来了生机. 文章以“基本不等式”的教学为例，从“基于整体视域理解数学”“基于思维水平理解学生”“基于知识体系理解教学”三个维度展开研究，并具体谈一谈如何基于这些维度对数学、学生与教学形成客观的理解，以从真正意义上优化课堂教学.

［关键词］ 三个理解；课堂教学；基本不等式

作者简介：夏华（1984—），中小学高级教师，南通市学科带头人，曾荣获江苏省基础教育青年教师教学基本功大赛（高中数学）一等奖，从事高中数学教学工作.

“三个理解”即理解数学、理解学生、理解教学，该理念由章建跃老师提出. 经过长期实践，笔者发现，该理念是促进教师专业发展的基础，也是让课堂教学在课改浪潮中砥砺前行的保障. “基本不等式”是高中阶段重要的基础知识之一，聚焦于“三个理解”，为其设计教学方案，能让学生更好地理解基本不等式的本质，灵活应用基本不等式解决实际问题.

基于整体视域理解数学

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将不等式内容分为三个模块：①学会描述不等关系，了解不等式的基本性质，建立基本不等式、一元二次不等式、二元一次不等式（组），并考虑它们的简单应用（如线性规划问题）［1］；②将导数作为探索不等式性质的工具，同时借助不等式探索函数的性质；③关注不等式的证明过程，能用归纳法求证不等式.

在以培养学生数学学科核心素养为导向的课堂教学中，教师需关注学生各项素养的发展情况. 本节课主要涉及数学运算素养、直观想象素养与逻辑推理素养. 数学运算是解决数学问题的基本手段；直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段；逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式［2］. 在探索基本不等式的相关知识时，教师应引导学生自主运算与证明，以提升学生的数学运算素养与逻辑推理素养；基本不等式具有几何背景，教师可带领学生基于图形的视角揭露基本不等式的本质，以提升学生的直观想象素养.

通过深入分析基本不等式可以发现，基本不等式通常涉及两个正实数，在运算时揭示了它们不同平均值之间的关系，从而彰显了数学运算的强大力量. 若从不同维度来探索基本不等式的背景，还有许多发现. 在教学中，教师应有意识地强化知识间的内在联系，引导学生通过学习，领悟基本不等式所蕴含的数学思想和方法，从而为提升学生的学习能力打下坚实的基础.

在探讨基本不等式时，首先解析“基本”一词，它所指的运算包括加法、减法、乘法以及开方这些基础操作；其次根据不同的背景利用不同的方式证明基本不等式的多样性；最后将基本不等式作为出发点，推导出其他不等式，展现不等式的多样性.

综上分析，在基本不等式的第一课时中，学生所探索的内容相对有限，具体体现在以下两个方面：①运算能力是本章节的核心，然而，单靠一节课的时间难以提高学生的运算水平. 因此，教师应将数学运算融入到教学的各个环节中，使学生在不知不觉中强化运算技能. ②证明基本不等式需要一定的知识储备，而第一课时所能涵盖的基础知识是有限的. 因此，本节课教学应当从宏观角度出发，精心安排单元起始课程，使学生对单元知识结构和所涉及的思想方法有一个初步的认识，从而为深入学习打下坚实的基础.

基于思维水平理解学生

理解学生首先需了解学情，对学生的思维水平有一个明确的认识. 基本不等式的定义、性质及证明背景和几何意义是教学重点. 本节课以学生感兴趣的赵爽弦图作为情境素材，引导学生通过观察与分析赵爽弦图，抽象出a2+b2≥2ab（a，b∈R），并在替换中建构基本不等式. 从发展心理学的视角来看，学生思维的现有领域与可能达到的领域之间存在着一个最近发展区. 在初中阶段，学生已经学习了如何使用赵爽弦图来证明勾股定理，这代表了他们思维的现有领域. 基于此，提出适当的问题可以激发学生运用数形结合思想，从而加深他们对不等式概念的理解.

在探索过程中，有这样一个环节：探索a2+b2≥2ab时，应用，（a＞0，b＞0）来替代不等式中的a，b，得到a+b≥2. 这一步骤常常让很多学生感到困惑，然而它却恰恰深刻地体现了基本不等式的本质：两个正数和与积的不等关系. 要真正理解这一本质，并非仅凭本节课就能实现的目标，而应在本节课的基础上，通过多节课的深入学习和积累才能达成. 鉴于此，揭露知识本质是本节课需要突破的教学难点. 教师可以引导学生从不等式的代数结构入手，探讨“两个正数之和”的表达方式，从而提升学生的数学思维能力. 具体的教学步骤如下：

师：在赵爽弦图的基础上，我们通过探索抽象出了不等式a2+b2≥2ab，（a，b∈R），现在请一位同学用文字语言来描述该不等式所传递的信息.

生1：根据以往的学习经验，可确定任意两个实数的平方和必然比它们乘积的两倍要大.

师：确实，这是对原句的直接翻译.

生2：就式子本身来看，式子的左边就是两个正数的和，但右边不知道怎么描述更合理.

师：关于式子的右边，你是怎么想的？

生2：式子的右边需要分别描述a，b的正负两种情况，然而这种描述方式略显烦琐.

师：理解得不错，看来同学们对这个不等式已经有了自己的想法，关于不太好直接描述的部分，咱们先把问题放在一边，后续再回来分析. 现在请大家思考：当a＞0，b＞0时，可用替换的方式获得不等式a+b≥2，如何用数学语言来描述该不等式呢？

生3：可以描述为“两个正数之和必然不会小于它们各自平方根乘积的两倍”.

生4：是不是应该描述为“算术平方根的乘积”？

师：你们觉得哪种描述更合理？

生5：我认为应该描述为“算术平方根的乘积”. 虽然生3的描述不够严谨，但他的描述也给我们带来了一些启示.

师：非常好！数学无疑是一门追求卓越的学科，同学们在探索过程中能够不断完善自己的认知体系，值得赞扬.

接下来，在教师的引导下，学生对不等式a+b≥2进行了变形处理，进入探索≤的环节.

证明基本不等式，需要学生自主将不同的知识相互关联起来，这是提升学生学力的好时机. 在课堂上，教师带领学生从构造函数、向量、几何图形或应用作差法等方面着手分析，通过“由形至数”的视角深入剖析，阐释不等式的几何含义，推动深度学习实质性的发生，进而激发学生提炼数学思想，提升数学思维能力.

从某种意义上来讲，借助赵爽弦图来解释a+b≥2并不难，但将边长设定为，，则让学生感到别扭. 同时，教材所提出的“圆内双垂直结构”，给学生的思维带来了困惑. 教师若直接将证明过程呈现给学生，必然失去一个上好的探究机会. 因此，在此环节，教师应通过适当引导，启迪学生的思维，让学生进入自主探索的状态.

师：大家通过探索，已经能根据赵爽弦图获得a+b≥2这个不等式，此为重要不等式，赵爽弦图就是它的几何背景. 现在，大家一起深入探究这个不等式背后的几何意义，并从几何视角对其进行分析.

提出这个问题后，学生展现出了浓厚的兴趣，课堂气氛随之达到了一个小高潮.

生6：当我看到时，映入脑海的首先是之前所学的“射影定理”，即直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项. 根据这个特点，可构造图1来理解.

生7：接着这位同学的思路，可知线段AB=a+b，斜边中线EA=. 至此，就能给不等式≤做如下解释：如图2所示，直角三角形斜边上的高，必然不会比斜边中线的长度长.

师：分析得很好，那么等号成立需满足什么条件呢？

生8：当a=b，即点D，E重合时等号成立.

师：结合直角三角形的性质，大家探索出了基本不等式所具备的几何特征. 综上分析，先将直角三角形斜边上的高构造出来，再令DA=a，DB=b，由此获得解释. 若将正数a，b作为给定条件，该怎样构造三角形呢？

生9：如图3所示，通过作圆来构造线段AB. 令AB=a+b，在线段AB上取点D，令DA=a，BD=b，以AB为直径作圆O，再作AB的垂线，垂足为D，且与圆O相交于点C，此时所获得的直角三角形ABC就是满足条件的三角形.

师：不错，如此就形成了一个双垂直的结构，可否用圆的元素来揭示基本不等式呢？

关于此问，学生对于用来表示半径毫无异议，但对于刻画感觉比较棘手. 为了提升学生的自主探索能力，教师鼓励学生大胆表达自己的观点.

生10：过点D的垂线与圆O有两个交点，设这两个交点分别为C，E，则CE就是圆O的一根弦，可确定CE的一半与CD相等，描述为一个圆内的弦长的一半不会比该圆的半径长. 但我不确定这种说法是否合理.

生11：我认为是合理的，根据垂径定理可证实.

师：你们的思维很活跃，这两位同学合力为我们提供了一种新的基本不等式的几何表述法，即圆内弦长的一半必然比该圆的半径短. 同学们能否说一说什么情况下它们是相等的呢？

生12：当弦为直径时，它们就相等了.

综上分析，理解学生的核心在于洞察其思维状态，引导他们运用数学的视角和语言来观察并表述数学问题. 通过亲身体验从感性认识到理性认识的转变过程，学生能够不断提炼知识的精髓，从而实现对数学的深刻理解.

基于知识体系理解教学

本节课的教学主题为“基本不等式”，学生只有深入学习，才能从真正意义上掌握“基本”一词. 基于单元整体来设计教学活动，能够助力学生逐步深入理解知识的核心本质. 作为起始课程，本节课旨在引导学生从推导、证明以及几何理解的角度出发，进行深入的探讨和思考，这是构建知识体系的基石.

在设计教学方案时，教师不能只考虑本节课的教学内容，而应基于整体视域综合考虑所有课时的教学U0Z6plgCVBBztLpM9kk2aL+uH570A2Bpyol1N4/gjFE=内容. 通过循序渐进的教学方法，逐步加深学生对新概念的理解和应用能力. 在合作交流和实践活动中，学生能够不断巩固和加强他们的认知，激发思维活力，从而提高学习能力.

从章节起始课的角度来看，若要实现教学的系统化和整体化，特别需要重视知识之间的内在联系. 例如，在教学基本不等式时，通过各种变形技巧来锻炼学生的思维灵活性，并强调“基本”一词的含义，即基本不等式不仅具有多种变形的可能性，还具备丰富的证明方法. 鼓励学生用几何图形来解释基本不等式，可进一步帮助他们提炼数形结合思想，让他们在“形”与“数”的互换中发展辩证思维，在探索基本不等式的方法上获得一致性的认识.

从发展心理学的角度来看，思维的发展需经历一个由浅入深的过程. 为了提升学生的思维能力，教师鼓励学生尝试从数学的角度出发，思考和分析问题，取得了显著的成效. 较为典型的例子是证明基本不等式，学生从代数的角度分析为何使用，（a＞0，b＞0）替代a，b，获得不等式a+b≥2；探索基本不等式的几何解释，从数形结合的角度出发，构建数与三角形之间的关系，并与圆联系起来，从而深刻揭示了知识之间的内在联系.

随着探索的深入，学生不仅对本节课所涉及的知识点有了清晰的理解，还掌握了从宏观视角分析章节学习的方法，领悟了数学知识之间的内在联系，深刻体会到了数学思想方法的重要性，为今后发现、分析、理解和解决更复杂的问题打下了坚实的基础.

综上所述，在“理解数学、理解学生、理解教学”的基础上实施教学，不仅能让学生从整体视域发现教学内容的特性，还能在思考与辩论中掌握知识的核心，提炼数学思想方法，从而培养终身可持续发展的学习能力.

参考文献：

［1］ 陈义明. 在教学中践行“三个理解”：以《基本不等式（第1课时）》的教学为例［J］. 数学通报，2017，56（12）：33-36.

［2］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.