关注过程，发展理性思维

［摘 要］ 关注过程，对培养学生的数学理性思维具有重要意义. 文章以“椭圆及其标准方程”为例，具体从“鉴赏椭圆之美，激发探究兴趣”“亲历操作过程，感知椭圆形成”“关注发展过程，渗透数学文化”“注重方程推导过程，活化思维”“加强实际应用，巩固椭圆方程”“总结归纳提升，完善认知结构”六个方面展开教学，并从教学过程、数学文化与问题引领三个维度谈一些思考.

［关键词］ 教学过程；理性思维；椭圆

作者简介：胡玲玲（1983—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.

数学是一门思维含量极高的学科. 学生在探索与思考问题时，理性思维会处于活跃状态，这对发展数学学科核心素养具有推动作用. 作为教师，应不断革新教育教学理念，关注教学过程的调整与创新，使学生的理性思维在课堂中落地生根，为学生长期可持续发展奠定基础.

教学过程设计

1. 鉴赏椭圆之美，激发探究兴趣

课堂伊始，在回顾直线与圆的位置关系的研究方法后，教师利用PPT呈现与椭圆相关的几个问题，以此激发学生的探究兴趣.

问题1 古希腊大数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius？摇of？摇Perga）发现，用一个与圆锥的轴垂直的平面来截圆锥，其截口为圆. 若用一个与圆锥的轴不垂直的平面来截圆锥，其截口会是什么形状呢？

师生活动：教师借助信息技术进行演示，帮助学生直观理解问题中的截口是抛物线、椭圆与双曲线. 鉴于这些曲线都源于圆锥与其截面，故统称为圆锥曲线. 之后，教师将讨论延伸至探照灯和行星轨迹等实际应用，以拓宽学生的认识.

设计意图 信息技术的应用使圆锥曲线之美直观地呈现在学生眼前. 学生能够从认知经验出发，结合日常生活实例，感悟数学与生活的紧密联系，理解圆锥曲线的起源，从而激发对后续课程内容的探究兴趣.

问题2 直线与圆的位置关系可用坐标法来探索，那么圆锥曲线可用什么方法来研究呢？

师生活动：教师引导学生根据直线与圆的位置关系的探索经验，初步猜想圆锥曲线的研究方法. 学生独立思考后合作交流，初步形成研究思路为：背景→曲线的几何特征→方程→性质→应用.

设计意图 新旧知识的类比与勾连，可让学生借鉴已有的研究方法形成先行组织者，为接下来的操作与探究做铺垫.

2. 亲历操作过程，感知椭圆形成

课前准备好以下作图工具：铅笔、细绳、小木板等. 先让学生以小组合作的方式绘制椭圆图形，随后邀请一位学生上台展示其绘图步骤.

问题3 在绘制椭圆的过程中，笔尖移动时，图中的变量与不变量分别是什么？

生1：变量为笔尖的位置，不变量为笔尖到两个定点的距离之和（绳子长度）.

设计意图 开展绘图活动不仅揭示椭圆的形成过程，而且使学生在动手、动脑、动眼的实践中深刻理解椭圆的本质属性，从而为构建椭圆的定义打下坚实的基础. 此外，学生在绘图过程中的动手实践，也是锻炼手脑协调能力的过程，这对于培养理性思维具有显著的重要性.

问题4 与圆的定义进行类比，如何利用好“变化中的不变以及存在的规律”抽象出椭圆的定义？

生2：基于绘图实操可知，平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆.

师：归纳得不错. 谁来说说要确定一个椭圆，哪些条件不可或缺？

生3：首先要确定在同一个平面内，其次是与两个定点的距离之和等于常数.

师：可否根据你们所提出的定义画椭圆？

学生根据自主归纳的椭圆定义进行实践操作，发现当绳子的长度大于FF时，能顺利画出椭圆；当绳子的长度与FF相等时，只能画出线段；当绳子的长度小于FF时，无法画出轨迹图. 基于此，师生一起完善了椭圆的定义.

设计意图 数学是一门严谨的学科，它追求的是一种理性精神. 对于通过猜想提出的定义，必须经过反复的验证才能确立其可靠性. 这正是数学学科的魅力所在，其学科精神值得每位学生去追求.

3. 关注发展过程，渗透数学文化

师：如图1所示，这是数学家研究椭圆的路径. 现在，让我们共同探讨19世纪数学家旦德林的实验.

多媒体演示实验过程：如图2所示，在圆锥截面的两边分别放一个球，使得两球与截面呈相切状态，点F，F为切点，这两个球同时与圆锥侧面相切，球体与侧面公共点分别构成圆O，O. 倘若点M为平面和圆锥侧面截线上的任意点，过点M作圆锥的一条母线，使得这条线分别和两个球体在点P，Q处相切，PQ运动所形成的截口曲线为椭圆［1］.

问题5 探索MF与MP，MF与MQ之间的位置关系，思考FM+FM是否为定值.

设计意图 数学文化渗透对理性思维的发展有直接影响. 通过时间线索揭示椭圆研究历史，引导学生体验概念演变，为培养科学严谨的数学思维打基础. 多媒体的直观展示，帮助学生理解概念间的联系，为后续教学活动奠定思维基础.

4. 注重方程推导过程，活化思维

问题6 从解析几何探索几何图形的常规思维出发，当抽象出椭圆的定义后，就要探索椭圆的方程了. 基于过往的学习经验，你们认为构建椭圆的方程大致需要经历哪些步骤？

生4：首先需建系，而后设点、列式、化简并证明.

师：很好！经过对椭圆的深入理解，你们认为椭圆是一种对称图形吗？它的方程可能是什么样的呢？

生5：从直观的角度来看，椭圆有对称性. 如图3所示，将椭圆置于平面直角坐标系内，基本能猜想出椭圆方程是二元二次方程.

师：假设2c为椭圆的焦距，点F，F的坐标分别为（－c，0），（c，0），点M（x，y）是椭圆上的任意点，满足FM+FM=2a. 若代数化这些条件，有什么收获？

生6：+=2a①.

师：此为椭圆的方程，但它比较复杂，如何将这个式子化简得更简单一些呢？

为学生提供充足的时间进行探索和交流，必要时给予适当的指导. 有学生提出了以下化简方法：先对①式进行移项处理，然后对两边同时进行两次平方运算，整理后得到新等式a2y2+（a2－c2）x2=a2（a2－c2）②.

师：②式似乎仍然有些复杂，请大家仔细观察图4，尝试从图中找出与a，c，相关的线段，以使②式变得更加简洁.

生7：根据已知条件，可知FB=a，FO=c，BO=，显然b具有几何意义. 令b2=a2－c2，整理②式，有a2y2+b2x2=a2b2③. 将③式的两边同时除以a2b2，可得+=1（a＞b＞0），此为焦点位于x轴上的椭圆的标准方程.

设计意图 引导学生依据椭圆的几何特性建立坐标系，不仅凸显了从推理几何到解析几何的演变过程，揭示“数”与“形”的本质统一的特性，还让学生亲自参与运算，领略数学的简洁之美，从而提升学生的数学理性思维.

问题7 以上探索的是焦点位于x轴上的椭圆的方程，若焦点位于y轴上，椭圆的方程会是怎样的呢？能否快速获得结论？

引导学生通过观察和类比焦点位于x轴上的椭圆的方程，快速获得焦点位于y轴上的椭圆的方程为+=1（a＞b＞0）.

设计意图 类比思想是一种重要的数学思想方法，通过引导学生对椭圆的焦点位置的观察、类比与分析，避免了重复运算的复杂过程，充分体现了数学理性思维的重要性.

问题8 若将③式变形成·=－的形式，该怎样用准确的数学语言刻画该式所具备的几何意义呢？

设计意图 学生通过分析几何意义下的式子变形，深入理解数形结合思想. 主动思考帮助学生清晰地理解曲线特性，并提炼出多种解题方法，为解决更复杂的圆锥曲线问题打下基础.

5. 加强实际应用，巩固椭圆方程

例1 已知某椭圆过点，－，且F（－2，0），F（2，0）为它的两个焦点，那么该椭圆的标准方程是什么？

生9：可从椭圆的定义出发，先将2a算出来，而后获得该椭圆的标准方程.

生10：还可以先设椭圆的方程，而后建立方程组求解.

例2 如图5所示，在圆x2+y2=r2上任意取点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足. 已知点M为线段DP上的一点，满足DM=λDP（λ≠0，1），当点P在圆上运动时，动点M会呈现出怎样的活动轨迹？

生11：设点P（x，y），M（x，y），则点D的坐标为（x，0）. 根据题意可知，x=x，y=. 由于点P位于圆上，因此x+y=r2. 将x=x，y=代入x+y=r2中，得+=1，由此可确定点M的活动轨迹为椭圆.

设计意图 例1要求学生根据条件选择合适的椭圆方程形式，题目难度适中，旨在培养学生的解题思维和习惯；例2不仅加强了求轨迹方程的基本技能，还加深了对圆和椭圆关系的理解，为培养理性思维打基础.

6. 总结归纳提升，完善认知结构

要求学生从以下几方面进行梳理与总结：椭圆定义的形成是一个怎样的过程？推导椭圆方程的过程给你们带来了什么启示？椭圆的标准方程的研究通常遵循怎样的过程？根据你们的学习经验，接下来应探索哪些与椭圆相关的知识？

设计意图 回顾和总结教学流程、思维过程及学习方法，有助于加深学生对椭圆的理解，并为深入学习打下坚实基础. 此外，良好的反思习惯有助于学生构建完整的认知结构，促进数学理性思维的发展.

教学思考

1. 关注过程是概念自然生成的基础

关注知识的形成过程，有助于学生理解知识本质，缩短与教学内容的距离. 将新知与旧知联系起来，能提升学生的认知能力，促进概念自然生成. 本节课，教师引导学生通过类比圆的方程来探索椭圆的标准方程，并利用多媒体展示动态图和旦德林实验，使学生自主抽象出椭圆的定义和推导方法. 这显示了关注过程是知识自然生成和数学思维发展的关键.

2. 数学文化是理性思维的催化剂

椭圆的发现与发展是科学家长期努力的结果，它展现了数学之美. 将椭圆的发现与发展历史融入教学，能激发学生的兴趣，拓宽他们的视野. 数学家面对挑战从不放弃，这种精神和数学文化是培养理性思维的重要因素.

3. 问题引领可催生理性思维

数学是思维的体操，问题又是数学的心脏. 在数学教学中，高质量问题能激发课堂活力，促进学生思维，深化学生对知识的理解，为学生的认知体系的构建打基础. 本节课包含8个问题和2个例题，其作用是逐步引导学生思考，提炼数学思想，培养理性思维.

总之，关住过程是新课标要求，也是发展数学理性思维的基础. 了解学情和教情后，渗透数学思想和文化，能激活学生的思维，构建完整的认知结构，使理性思维得以扎根.

参考文献：

［1］ 梁俊峰. “椭圆及其标准方程”的教学设计与反思［J］. 中小学数学（高中版），2023（Z1）：37-40.