关注深度学习 优化数学思维 发展核心素养

［摘 要］ 优化数学思维是发展数学学科核心素养的重要途径，而深度学习又是优化数学思维的重要通道. 在“概率的基本性质”教学中，研究者从四个角度（导入教学主题、类比分析概率性质、巩固概率性质、建构知识体系）探讨如何基于深度学习理念优化学生的数学思维，发展学生的数学学科核心素养.

［关键词］ 深度学习；数学思维；核心素养

作者简介：马少山（1978—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学工作.

深度学习属于高效学习的范畴，是指在学生主动参与学习的基础上，以揭露知识本质，掌握知识内涵，发展数学思维为任务的一种学习方式. 它是一种针对学生这个特殊群体而提出的教学理念，既属于学习习惯，又属于学习状态［1］. 事实证明，教师对深度学习理念的理解与落实情况，决定了学生在课堂中的学习状态. 深度学习的实施情况，由教师的教学水平与教学理念而决定.

教学流程设计

“概率的基本性质”虽然在高考题中出现的比重不高，但对推进数学学科核心素养的发展具有重要价值与意义. 本节课教学可从表1所示的几个层面展开，一方面强调深度学习对提升学生的数学思维的优势，另一方面为培养学生的数学学科核心素养奠定基础.

教学实践与探索

1. 回顾旧知，导入教学主题

问题1 根据以往研究数学的经验，当明确了一个探索对象后，一般需要研究它的什么呢？

师生活动：通过回顾函数概念的探索方法，以明确探索一个数学概念的基本步骤.

设计意图 回顾旧知，一方面，帮助学生进一步巩固函数知识，起到一定的复习作用；另一方面，通过类比函数概念的探索方法，获得一般性的探索步骤，为本节课探索概率的性质奠定方法基础.

问题2 大家对概率并不陌生，还记得它的定义是什么吗？

在教师的点拨下，学生回顾概率的定义，并感知概率的基本意义.

设计意图 课堂导入环节，将函数与概率的定义摆上台面，意在引导学生应用类比思想来观察对象，为接下来探索概率的性质做好铺垫. 通过回顾两个定义，学生对课堂探索思路有了初步了解，并在类比分析中发现了概率的本质.

2. 类比分析概率性质

问题3 可从哪些角度来探寻古典概型问题？

教师借助多媒体展示古典概型问题，引导学生自主讨论此问，加强巡视的同时适当点拨. 类比函数的探索过程，学生分别从单调性、样本空间、特殊事件的概率、概率取值范围等角度展开分析，分别提出如下猜想：①任意事件A，恒存在P（A）≥0的情况. ②如果一个事件是必然发生的，那么它的概率是1；相应地，如果一个事件是不可能事件，那么它的概率是0. 用数学符号描述为P（Ω）=1，P（）=0. ③若A？哿B，则P（A）≤P（B）.

设计意图 通过对比函数研究，提出与学生实际情况相适应的问题，使学生只需“稍微努力”便能顺利解答，从而提升思维能力，为深入学习打下坚实基础.

问题4 尝试证明猜想③是否准确.

在教师的点拨下，学生分析如下：古典概型内，关于事件A，B，若A？哿B，则n（A）≤n（B），≤，即P（A）≤P（B），所以猜想③是准确的.

设计意图 在教学中，只有经过严格论证的猜想才是可信的，这是培养严谨思维的关键. 以古典概型为基础，验证猜想③的准确性，有助于学生深入理解概率的本质.

问题5 探索互斥事件的概率时，该怎么操作？先请大家分析以下“摸球”事件的概率.

若一个不透明的箱子内，放有手感完全一样的4个球，其中有2个红球（标号为①和②），2个绿球（标号为③和④），从箱内随机取出2个球，不放回去. 假设事件R=“两次均取出红球”，R=“第一次取出红球”，R=“第二次取出红球”，G=“两次均取出绿球”，M=“取出的两个球颜色相同”，N=“取出的两个球颜色不同”.

师生活动：通过思考与分析，学生获得了上述几个事件的概率，并明确P（R∪G）=P（R）+P（G）. 由此，问题迎刃而解.

设计意图 抽象问题常让学生难以应对，但将其置于具体情境中，数学就变得生动. 数学源于生活，应用于生活，能激发学生的探究兴趣，并简化复杂问题. 通过情境教学，学生能理解互斥事件. 为了拓展学生的思维，可在原问题的基础上追问.

师：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）=P（A）+P（B）是否成立？

生1：如图1所示，若事件A与事件B互斥，则它们的样本点就不一样，因此n（A∪B）=n（A）+n（B），所以P（A∪B）=P（A）+P（B）成立.

此为从特殊到一般思想的应用，即将由特殊案例所形成的结论推广至一般情况的范畴. 学生经过自主探索，成功获得了互斥事件概率的加法公式，即性质3.

师：若存在多个互斥事件，该结论是否依然成立呢？

师生积极互动，将该结论进一步拓展到更多互斥事件的概率分析中，从而初步形成以下结论：若事件A，A，…，A之间两两相斥，则P（A∪A∪…∪A）=P（A）+P（A）+…+P（A）.

师：非常好！如果事件A与事件B对立，那么它们的概率之间存在什么关系呢？

生2：如图2所示，如果事件A与事件B对立，那么P（A∪B）=P（A）+P（B）=1.

设计意图 几个问题的探索，让学生对互斥事件与对立事件有了更进一步的了解，其中对立事件属于互斥事件的特殊情况，将特殊且具有代表性的情况拎出来单独探索，可深化学生的认知结构.

问题6 在“摸球”事件中，R∪R=“两个球内有红色的球”，P（R∪R）与P（R）+P（R）是否具有相等的关系？说明理由，并探索P（R∪R）的计算方法.

学生探索获得P（R∪R）＜P（R）+P（R）.

师：谁来具体说一说P（R∪R）＜P（R）+P（R）的理由？

生3：将事件R，R与事件R，G进行类比分析，可得事件R与事件R并非互斥：如图3所示，根据n（R∪R）=n（R）－n（R∩R）+n（R），得P（R∪R）==－+=P（R）－P（R∩R）+P（R）.

设计意图 通过问题激发学生的认知冲突，引领学生观察与分析事件之间的关系. 问题6引导学生自主发现两个非互斥事件的概率之间的关系，由此提炼出概率的性质6.

3. 应用新知，巩固概率性质

例1 有一副不含大小王的扑克牌，共52张. 若从这52张牌中随机抽取一张牌，设事件A=“抽到的牌是红桃”，事件B=“抽到的牌是方片”，且P（A）=P（B）=.

（1）设事件C=“抽到的牌是红花”，则P（C）的值是多少？

（2）设事件D=“抽到的牌是黑花”，则P（D）的值是多少？

显然，本例中的事件A与事件B互斥，关于事件C的判定，仅需了解事件C与事件A，B存在什么联系. 由于C=A∪B，通过概率加法可获得事件C的概率. 由于事件C与事件D对立，因此可通过性质4得到事件D的概率.

师生活动：学生主动探索与分析，获得问题的结论，教师则在学生描述过程中加以适当的引导与补充，以不断完善学生的思维.

设计意图 让学生领悟复杂事件的概率运算，可借助概率的性质来简化.

例2 夏季即将结束，厂家为了将饮料快速销售出去，采取了有奖促销活动，即每箱6瓶饮料中有2瓶可中奖，分析随机从一箱内取2瓶饮料的中奖概率.

本例中的“中奖”事件属于一个偏复杂的事件，存在的情况较多. 可设事件A=“中奖”，事件A=“第一瓶中奖”，事件A=“第二瓶中奖”，则A=AA∪A∪A. 鉴于“中奖”事件与“不中奖”事件互斥，因此P（A）=P（AA）+P（A）+P（A）. 在探索过程中，教师高度关注学生的思维状态，适时加以引导，让学生尽可能想办法将复杂的问题简单化. “中奖”事件的复杂程度高，除了上述探索方法外，还可以从对立事件着手进行分析，借助概率的性质4来探索. 本题的重点在于计数，关于多样本点的问题，需做到不重复、不遗漏，此为解题的关键.

师生活动：学生在独立思考的基础上相互交流，探索解题办法. 教师给予指导，尤其引导学生关注“中奖”事件的复杂性，做到不重不漏地探寻样本点. 关于样本点的探索，学生主要有三种方法.

第一种：将有奖的两瓶饮料分别设为a，b，无奖的四瓶饮料则分别设为c，d，e，f，用列表的方式将所有的样本点展示出来，以便于分析与探索.

第二种：以同样的方法假设箱内的饮料，借助树状图将所有的样本点展示出来，以便于分析与探索.

第三种：如图4所示，以取出的饮料作为事件来探索，借助导图将事件间的关系展示出来.

设计意图 借助概率的性质来分析问题，可将原本复杂的问题简单化，尤其是表格、树状图和导图等工具的应用，增加了探索的直观性，起到了化繁为简，促进学生深度学习，发展学生直观想象素养的作用.

4. 提炼总结，建构知识体系

问题7 在本节课的探索中，应用到了哪些数学思想方法？你们有哪些感悟与体验？

设计意图 学生经过思考与整理，将本节课主要的教学内容与探索方法罗列在一起，梳理成结构清晰的知识结构（与表1类似）. 凸显了深度学习理念，同时也进一步深化了学生对知识的理解.

教学思考

与几何或函数相比，概率的研究具有随机性，因情况复杂而容易出现失误. 为此，在探索概率的性质时，可从运算或事件关系着手进行分析，以发展学生思维的深刻性与严谨性. 问题是数学的心脏，概率性质的教学同样需要恰当的问题加以引导，让学生的思维有明确的方向，此为提升“四能”的根本［2］.

总之，教无定法，贵在得法. 核心素养视域下的数学教学应关注学生在课堂中的一举一动，针对学生的实际认知水平设计教学活动，促使学生深度学习的发生，也能从真正意义上提升学生的关键品格与能力.

参考文献：

［1］ 章建跃，程海奎. 高中必修课程中概率的教材设计和教学思考：兼谈“数学核心素养如何落地”［J］. 课程·教材·教法，2017，37（5）：27-33.

［2］ 张格波. 数学学习就是一场深度对话［J］. 数学通报，2017，56（3）：18-21+26.