着眼学生发展 落实核心素养

［摘 要］ 优秀的数学教学不仅应聚焦于知识的习得，还应重视能力的增强以及数学学科核心素养的培育. 文章以探索知识为明线，以渗透思想方法为暗线，精心设计问题，激发学生主动探究椭圆的几何性质，在培养学生逻辑思维能力以及提高学生数学学科核心素养方面，取得了显著成效，实现了真正意义上的有效教学与高效教学.

［关键词］ 数学学科核心素养；有效教学；高效教学

作者简介：王友福（1982—），中学一级教师，从事高中数学教育教学与研究工作.

随着课程改革的不断深入，数学学科核心素养的培养与研究越来越受到专家、学者和一线教师的关注. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称新课标）明确提出，高中数学教学要发展学生的数学学科核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. 一般认为，数学学科核心素养是在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性等特征. 它是一个长期积累的过程，需要落实到数学实践中［1］. 在实践教学中，教师应重视开展探究式教学模式，给予学生足够的时间和空间去操作、发现、思考、交流、归纳和反思. 通过这种方式，学生不仅能够掌握知识，还能学会学习方法，提高自身的综合素养. 这有助于学生的长期发展和终身学习，确保数学学科核心素养得以在心中扎根. 在教学“椭圆的几何性质”时，笔者通过设计问题来引导学生构建知识之间的内在联系，学会用代数方法研究几何问题，感悟解析几何的本质. 这种方法在增强学生的数学能力以及培养他们的数学学科核心素养方面取得了一定成效. 现在，笔者将这一教学设计过程整理成文，以供大家参考.

教学设计过程

1. 创设情境，引入新知

问题1 上节课我们主要学习了哪些知识内容？

追问：如果让你画椭圆，你会吗？

师生活动：教师预留时间先让学生回顾上节课所学的知识、思想和方法，然后引导各小组画椭圆，并展示学生的作品，从而为接下来学生自主研究椭圆的性质做准备. 学习椭圆的几何性质，需要学生在大脑中构建起椭圆的表象，作为思维加工的对象. 这里所说的椭圆不只是椭圆本身，还包括画椭圆的过程. 因为在画椭圆的过程中，学生通常会借助具体的体验来认识和理解椭圆的一些基本特征，例如椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值. 这些认识和理解，为深入探究椭圆的几何性质提供了坚实的基础.

问题2 请以小组为单位，观察并对比所画的椭圆，谈谈你们的发现.

师生活动：学生通过观察，发现不同椭圆的扁平程度不同；不同大小、不同形状的椭圆对折后，其上下、左右可以完全重合.

设计意图 教师引导学生回顾椭圆的定义、标准方程等基础知识，并创造机会让学生动手操作，以便他们通过直观观察来理解椭圆的几何特征，从而自然而然地引入新知. 同时，通过亲自动手实践，为新知的研究创造了一个平等和谐的交流氛围，有效激发了学生的探索欲望. 值得一提的是，学生在画椭圆的过程中所发现的“不同椭圆的扁平程度不同”，起初仅是他们的直观感知. 要将这种直观感知转化为数学表达，需要学生在画椭圆的过程中，利用形成的视觉表象，通过数学推理来导出结论. 这一过程是后续深入探究的关键基础.

2. 问题驱动，探索新知

问题3 我们是如何推导椭圆标准方程的？我们为什么要推导椭圆的标准方程？

师生活动：椭圆标准方程的推导是上节课的重点内容，大多数学生可以清晰、准确地给出相关步骤及两种形式的标准方程. 对于为什么推导，学生难以表达，此时教师需要提供启发和指导.

设计意图 在巩固知识、思想方法的基础上，让学生学会用代数方法研究几何问题，感悟解析几何的本质.

环节1 对称性.

问题4 通过画椭圆、观察椭圆，我们已经知晓椭圆是对称图形. 若从代数的角度来看，如何通过椭圆的标准方程来探究其对称性？

追问：如果是曲线方程呢？如何研究它的对称性？

师生活动：为了让学生更好地体会椭圆的对称性，教师启发学生在椭圆+=1（a>b>0）上任取一点P（x，y），分别求出点P关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标，最后判断这些对称点是否在椭圆上.

设计意图 在此过程中，教师引导学生从已有的知识和经验出发，从数的角度分析椭圆的对称性，以此加深学生对椭圆对称性的理解，提高学生的分析和推理能力，提升学生的数学素养. 其中，问题4至关重要，因为它引导学生的思维从“形”转向“数”，这表明学生在大脑中构建的椭圆表象，需要在更深层次的抽象和推理过程中，利用精确的数学语言来阐述其特征. 因此，从问题4出发，后续的逻辑推理正是通过运用“对称性”原理来完成的. 在教学中，教师应充分运用“对称性”这一特征，引导学生的思维发展. 此外，这种思维方式的构建，对于深入探究椭圆等几何图形的其他性质，同样具有积极的促进作用.

环节2 顶点.

问题5 以椭圆+=1（a>b>0）为例，坐标轴除了是椭圆的对称轴外，其与椭圆还有其他关系吗？椭圆与坐标轴有交点吗？如果有，你能求出交点的坐标吗？

师生活动：学生运用他们所掌握的知识和经验，成功解决了上述问题. 在此基础上，教师引入椭圆顶点、长轴、短轴等概念，并详细阐述椭圆标准方程中参数a和b的几何意义.

设计意图 教师引导学生在分析和解决问题的过程中构建椭圆顶点的概念，掌握求椭圆顶点的方法，从而提高学生运用代数方法研究几何问题的能力. 这个过程体现了数形结合思想，与新课标对数学学科核心素养的定义相呼应，涵盖了数学抽象和数学建模等过程. 这里需要指出的是，椭圆顶点概念的构建，本质上是通过椭圆的标准方程在平面直角坐标系中展示顶点的位置特征，这是椭圆的几何性质的一个重要体现. 在探索过程中，学生常常会形成一些虽然简单但相对准确的理解. 例如，有学生提出：“椭圆的顶点决定了椭圆的位置和尺寸. ”可以认为，当学生在探究过程中形成这样的理解时，便意味着他们能够依靠自己的探究经历来促进数学学科核心素养的发展. 另外，在此过程中，教师指导学生关注椭圆标准方程中参数a和b的几何意义，可帮助学生更形象、直观地掌握椭圆的标准方程，从而为后续的应用奠定坚实的基础.

环节3 范围.

问题6 对于椭圆+=1（a>b>0），这里的x，y有何限制？

师生活动：教师引导学生从“形”的角度进行分析，通过图形及作图经验发现x≤a，y≤b. 在此基础上，引导学生从“数”的角度进行验证，得≤1，≤1，即x≤a，y≤b.

设计意图 教师引导学生先从“形”的角度出发，观察并确定椭圆的范围，然后从“数”的角度进行验证. 通过这种多角度的思考与探索，一方面可以加深学生对椭圆性质的认识和理解，另一方面可以培养学生的数形结合意识，掌握研究曲线方程的方法.

问题7 通过对比观察发现，不同椭圆的扁平程度不同，那么，是什么决定了椭圆的扁平程度呢？

师生活动：教师让每个小组画两个扁平程度不同的椭圆，并思考为什么有的椭圆“扁”，有的椭圆“圆”，从而自然而然地引出椭圆离心率的定义. 引出离心率的定义后，教师让学生思考离心率的范围，并回答这样一个问题：e越接近1，椭圆越圆，还是越扁？

设计意图 让学生动手做、用眼看、用心想，通过具身体验感受椭圆的离心率与a，c两个量密切相关，由此顺利得到离心率的定义［2］. 学生对椭圆形状的“圆”与“扁”的理解十分直观，这反映他们将生活语言直接应用于几何概念. 此时，生活语言向数学语言过渡，需要借助数学工具来完成，对应着数学学科核心素养中的逻辑推理与数学建模. 离心率这一陌生概念，可以在学生提出问题和解决问题的过程中，变得相对熟悉，并能够体现学生大脑中关于椭圆形状是“圆”还是“扁”的认知. 学生这样的认知发展过oHxbPT9LfMcDJuJFdTB9HQ==程也表明，通过由具体到抽象，由形式到本质的逐层探究，不仅有利于知识的理解和接受，而且能有效淡化数学的抽象感，提升学习积极性，提高直观想象、数学抽象等素养.

问题8 结合前面的探究过程，请说一说椭圆+=1（a>b>0）具有怎样的几何性质.

师生活动：教师放手让学生自主探究，并鼓励学生进行组内交流；教师投影展示学生的探究结果，并将这些结果整理填入表格中，以便学生进行对比和观察.

设计意图 在教学中，教师特意安排时间，让学生利用研究椭圆的经验去深入探索椭圆的几何性质. 这一做法不仅能够加深学生对相关知识、概念和方法的理解，而且还能培养学生运用数形结合思想方法来解决问题的能力. 同时，在此过程中，教师引导学生通过归纳总结，能有效沟通知识间的内在联系，不断优化个体知识结构，从而提升数学学科核心素养.

3. 应用练习，加深理解

例 试求椭圆16x2+25y2=400的离心率、顶点、长轴长和短轴长，并尝试利用描点法绘制该椭圆.

变式：方程4x2+y2=16表示的是什么图形？说一说它具有怎样的几何性质.

师生活动：上述两题难度不大，学生利用研究椭圆几何性质的经验，顺利地解决了问题.

设计意图 通过基础练习，检测学生对基础知识的掌握程度，并以此来巩固和加强他们的理解. 此外，这些练习旨在让学生学会如何利用椭圆方程来研究椭圆的几何性质.

4. 回顾反思，总结提升

问题9 请围绕知识、思想、方法等谈一谈自己的心得体会.

师生活动：学生以小组为单位进行互动交流，随后集体展示他们的体会.

设计意图 教师指导学生从多个方面进行反思和回顾，旨在深化他们对相关知识和思想方法的理解，优化他们的知识结构，培养他们良好的反思和归纳习惯. 此外，这种做法还能提高学生的归纳总结能力以及数学表达能力，从而增强他们的综合能力和素养.

教学反思

众所周知，在数学教学中，若想让学生真正地理解抽象的数学知识，并能灵活应用数学知识解决问题，仅凭教师单方面的“灌输”是很难达成的. 在实际教学中，教师应创造机会让学生主动参与知识的构建，让学生理解知识的同时，掌握数学研究方法，提升学生可持续学习的能力和品质. 这是“在游泳中学会游泳”的道理迁移，同时也是数学教学中发展学生核心素养的重要思路.

在本节课教学中，教师以学生已有的知识和经验为出发点，精心创设“问题串”，指导学生在问题的驱动下主动发现和探索椭圆的几何性质，构建对几何性质的理解，学会用代数方法研究几何问题，感悟解析几何的本质，为后续学习打下坚实的基础. 另外，在本节课教学中，教师创造机会让学生思考与探究，可以很好地调动学生参与课堂的积极性，有助于激活学生的数学思维，提高学生的自主探究能力，以及理性思考能力和数学学科核心素养.

总之，在高中数学教学中，教师应该认真研究学生、研究数学、研究教材，以学生认知为基础，以问题驱动为策略，以培养学生数学学科核心素养为目标，精心创设教学活动，引导学生亲历知识生成过程，有效激发学生的潜能，促进学生的长效发展和终身发展，切实提高教学有效性.

参考文献：

［1］ 倪树平. 数学核心素养视角下课堂教学设计之思考：以“椭圆及其标准方程”教学设计为例［J］. 数学通讯，2018（8）：23-27.

［2］ 李刚，朱晓祥. 基于核心素养背景的深度教学例析：以“椭圆的几何性质”教学片断为例［J］. 数学教学研究，2021，40（1）：23-27.