基于数形结合思想方法的数学教学设计与研究

［摘 要］ 数形结合是一种广泛运用的数学思想方法，它致力于将问题中的数量关系转化为直观图形，或者将直观图形转化为数量关系，以便于深入探索. 文章以“椭圆的标准方程”的推导教学为例，从以下几个方面展开教学设计与思考：观察“形”发现“数”；量化“形”转化“数”；根据“形”探寻“式”；利用“式”构造“形”；拓展延伸，联结“数”“形”.

［关键词］ 数形结合；数学思想方法；椭圆

作者简介：李由（1991—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作，曾获得苏州市教师学科专业素养竞赛一等奖，吴中区中学数学骨干教师.

众所周知，数形结合是一种广泛运用的数学思想方法，它致力于将问题中的数量关系转化为直观图形，或者将直观图形转化为数量关系，以便于深入探索. “数”与“形”的灵活转换，实现了“以形助数”和“以数解形”的显著成效. 实践证明，准确掌握数学对象的“数”与“形”的特征，并将它们有机地融合与互相转换，有助于降低问题的复杂性，提高解决问题的效率. 本文以“椭圆的标准方程”的推导教学为例，探讨如何培养学生的数形结合思想方法.

教学分析

椭圆的标准方程的推导教学在椭圆定义建构后进行，有些教师认为这就是一个简单的代数运算，不需要耗费太多时间与精力在标准方程的推导上. 殊不知，正是这种想法导致学生失去了提炼数形结合思想的机会. 想要让学生掌握知识本质，就要用虔诚的态度去对待每一节课的每一个教学环节. 如椭圆的标准方程的推导过程就涉及丰富的数形结合思想、转化思想等，如“数→形”“形→数”就能揭露每一个等式背后的数量关系与几何意义.

教学实践

1. 观察“形”发现“数”

课本中关于椭圆的定义以几何的形式呈现，学生在获得椭圆的定义后，可结合定义自主画椭圆. 在课堂中，教师可带领学生利用细线根据椭圆的定义画图，从中抽象椭圆的封闭性、光滑性、对称性等几何特性，并在操作中深刻体会细线的长短与两定点距离的远近均能影响椭圆的形状（扁平程度）. 在实操的基础上，教师可提出以下问题，精炼学生的思维.

问题1 椭圆所具备的几何特性有哪些？其扁平程度受什么因素的影响？

设计意图 若观察一个椭圆，大部分人只会体会到椭圆的“形”，殊不知，椭圆本身除了具备“形”的特征外还蕴含了丰富的“数”，显然，椭圆的“数”隐藏在其“形”的背后. 在课堂中，教师可带领学生利用细线来画各种各样的椭圆，一方面揭露椭圆的几何特性及其背后的数量关系，深化学生对椭圆性质的理解；另一方面让学生通过对“形→数”的转化提升思维能力. 如此设计，为椭圆的标准方程的推导以及图形间关系的揭露做铺垫.

2. 量化“形”转化“数”

当一个问题得不到解决时，人们会千方百计地创设出新的方法来应对它. 因此，一种新的解题方法与难以解决的问题是相伴相生的关系，源于解题的实际需要. 探索椭圆的方程，主要从椭圆的基本性质出发，包括其封闭性、对称性、扁平程度以及顶点等特征进行研究. 实践证明，椭圆的性质在画椭圆的过程中就有所体现，并不是非要应用标准方程去探索. 那么，课堂教学究竟该怎么处理该环节的内容呢？

问题2 如图1所示，此为生活中的一个图形，你能确定这个图形为椭圆吗？若确定该图形为椭圆，那么该椭圆上的哪一点与点A的距离最大？

问题3 如图2所示，此为一个图形的一部分，我们称他为残缺的曲线. 若想确定这段曲线属于椭圆的一部分，该怎么办？若借助直接测量法来确定，是否精确？有没有更好的确定方法？

设计意图 实际需求往往是萌生思维的催化剂，当学生对一个事物充满疑虑时，则会形成认知冲突. 想要从真正意义上答疑解惑，最好的办法就是从发现问题开始不断尝试探索新的解决方法，在创新中求突破. 因此，具有探索价值的问题可有效激活学生的思维. 上述两个问题的提出，让学生进一步感悟对椭圆必须有精确化的理解，而量化椭圆的“形”，转化为精确的“数”是研究椭圆精确性的主要渠道.

3. 根据“形”探寻“式”

基于椭圆的几何特性，可以将椭圆的“中心”设为平面直角坐标系的原点，进而结合条件获得式子+=2a①.

通过观察①式，可知用－x替代x或用－y替代y，式子均不会发生改变，同时两个根式的和恒为定值. 因此，根据①式可以发现椭圆的结构具备和谐的对称美. 如果将①式的两边同时平方，随后逐步推导，那么计算就会变得异常复杂，难以感受到它的数学之美.

化简①式的目的是什么？经过化简，能够获得比该式更简捷的等式吗？化简①式的终极目标是探索椭圆的性质吗？针对这三个问题，许多学生感到困惑. 为了确保学生不仅知其然，而且知其所以然，此时应当搁置化简步骤，转而引导学生深入探索椭圆的方程.

问题4 建立平面直角坐标系后，你们觉得椭圆的方程是怎样的？

设计意图 结合学生现有的认知结构和学习经验，引导学生自主推导椭圆的方程——大多数学生认为椭圆的标准方程形式为Ax2+By2=C2. 该方程为简化等式指明了方向，并激发了学生克服运算困难的希望. 若忽略椭圆方程的猜想，则对等式进行变形将变得较为困难，更不用说进行优化和简化了. 随着猜想的介入，学生的思维在深度思考与探索中不断发展与完善，充分凸显了数形结合的优势. 因此，此环节对培养与发展学生的批判性思维以及创新意识具有举足轻重的价值与意义.

4. 利用“式”构造“形”

问题5 在解方程时，为什么先要移项，然后再平方？如此操作的好处是什么？我们在化简时，各个等式所代表的图形均具有一致性特征，即为一个椭圆，那么谁知道每个式子分别代表了什么几何意义呢？

许多学生受到思维定式的影响，认为只要将等式两边同时平方，等式中的根号就会消失，但会产生“四次项”，这无疑增加了运算的难度. 然而，实际情况果真如此吗？

将=2a－②的两边同时平方并化简，得a2－cx=a③；将③式的两边同时平方并化简，得a2y2+（a2－c2）x2=a2（a2－c2）④，即+=1⑤.

从运算这个角度来看，上述运算过程并不占优势，但上述运算过程是否有意义呢？

分别分析上述几个式子的几何意义：

②式的几何意义在于，“一动点与F（c，0）之间的距离”等于“常数2a”减去“该动点与F（－c，0）之间的距离”. 根据这一关系，可以明确椭圆的定义.

③式虽然变得复杂且缺乏明显的几何意义，那么是否可以找到方法来揭示其背后的几何含义呢？鉴于-cx与a的系数均非1，直接构造图形变得较为困难. 那么，是否存在某种方法可以将其系数转化为1呢？经尝试，得到=⑥.

关于⑥式，其几何意义主要体现在椭圆上的点到定点F（c，0）的距离与到直线x=的距离之比为（常数）. 反观④式，虽然看起来非常简单，但它所蕴含的几何意义同样简单吗？如果令x′=x，y′=ay，可将④式转化成x′2+y′2=a2（a2－c2），这是通过调整圆方程上点的横、纵坐标得到的一个新方程，从而确定椭圆是由圆经过拉伸或压缩变换而来的.

关于④式，是否存在其他的转化方法？可以通过仔细观察④式中的每一项来探讨这个问题：④式中的每一项都是平方数，意味着它们与平方差公式存在某种联系.

将③式进行转化，可得（a2－c2）x2－a2（a2－c2）=－a2y2，即·=－⑦. ⑦式的几何意义在于，椭圆上的点与点A（a，0），B（－a，0）的连线的斜率之积为－（常数）.

设计意图 通过对等式的转化，可以得到多种多样的椭圆的表达形式，而每一种表达形式都蕴含着独特的内涵，说明它们所代表的几何意义也存在着显著差异. 值得注意的是，不论它们的内涵和几何意义的差异有多大，其均表示“椭圆”这个图形. 在这一探索过程中，学生不仅掌握了椭圆的方程，还对描述椭圆的不同方法有了深入的认识. 这种认识的拓展间接地加深了学生对设定椭圆标准方程的实际意义的理解.

经过上述探索，学生深刻认识到椭圆的标准方程并非随意设定或创造的，而是在严谨的“数”与直观的“形”的基础上推导得到的. 同时，椭圆的标准方程以其优雅的结构与椭圆的几何形状实现了完美结合. 在此背景下，无论是基础还是复杂的计算，都将因数学之美的融入而显得更加生动和充满活力. 学生进一步领悟到数形结合的便捷与趣味，体验到形式的变换并不会影响数学本质的恒定，这为推动抽象思维和转化思维的发展奠定了坚实的基础.

5. 拓展延伸，联结“数”“形”

问题6 “数”与“形”是以什么方式实施联结的？

师生活动：共同回顾并归纳在推导椭圆的标准方程时，每一个等式的几何意义的探索促进了“数”与“形”的对应关系的联结. 例如点到直线的距离？圳x－x或；两点间的距离？圳x－x或；斜率？圳. 等等.

设计意图 由于大部分学生大脑中的“数”“形”信息并不匹配，这就容易导致“数”与“形”之间出现失联的状态. 通过总结与归纳，学生尝试将“式”与“形”之间构建一种相对应的状态，如此更利于输入和输出信息. “式”与“形”的有效联结，能使学生更精确地选择合适的路径，实现“数”与“形”的灵活转换. 这种转换将进一步激发学生的思维，教会他们运用更高效的方法来解决实际问题.

几点思考

1. 数形结合，双向联结

小学、初中、高中，乃至大学，数形结合无处不在. 从解析几何的视角来看，尽管它采用代数方法来研究几何问题，但这并非一个单向的“形→数”过程. 实际上，每一个“数”都蕴含着深厚的几何意义，这是因为这些数是从几何实体中抽象出来的. 因此，“数”与“形”之间存在着一种无处不在的联结关系. 在日常的教学训练中，不少师生过于注重解析几何中冗长且复杂的计算过程，而忽视了数形结合思想的深入理解和提炼，从而遗失了学习解析几何的核心价值.

2. 数形结合的广泛应用

数形结合思想的培养并非一朝一夕的事情，而需经历一个漫长的过程，教师需将它视为一项长远的教学任务. 有些教师认为数形结合思想主要应用在高三专题复习中，日常教学可以忽略它的存在. 殊不知，这种想法严重阻碍了学生对数形结合思想的提炼. 实际上，数形结合并非应试教育的产物，而是知识形成与发展的自然过程. 因此，大家只有端正看待数形结合思想，认识它的广泛应用性，则能有效发展直观想象力与逻辑推理能力.

3. 注重“数”与“形”的转换

“数”与“形”的灵活转换为解题带来了便利，但这种转换并没有想象中的那么简单. 例如，式子和图形的不同表现形式，就可能对转换效果产生影响. 因为代数式的抽象性特征，与图形的直观形成鲜明的对比，很多时候学生无法发现式子所蕴含的几何意义，使得转换困难重重. 再如，将几何问题转换为代数表达的过程，需要从图形中识别出关键信息，并将这些信息转换为代数问题，这一过程对学生的洞察力提出了较高的要求.

因此，数学教学不仅要注重层次性，还应深入挖掘教学内容，通过知识点的纵横拓展来训练学生的观察力和应用能力，提高他们对“数”与“形”的敏感性，这是提升数形结合内驱力的关键方法之一.