以生为本，发展学生的数学理解能力

［摘 要］ 在培育核心素养的背景下，数学教学应秉持“以生为本”的教学理念，将发展学生数学理解能力作为课堂教学的首要目标. 研究者借助一道函数题，从以下三方面展开教学：大数据揭露易错点，设计问题；诊断易错信息，发现理解偏差；发挥主体作用，增强解题理解.

［关键词］ 以生为本；数学理解；函数

作者简介：胡潇（1991—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教学工作.

随着教育教学手段的革新，“以生为本”的教学理念已经渗透在课堂的方方面面. 在高中数学课堂中发展学生数学理解能力的研究方兴未艾. 教师应立足学情、教情与考情，为学生提供充足的时间与空间，鼓励学生在独立思考、自主研究、合作交流和实践探索的基础上提升数学理解能力，为培育数学学科核心素养奠定基础.

什么是数学理解？从具体的数学问题来说，数学理解就是明确问题条件与结论，清晰地梳理从条件到结论的每一步逻辑和数据关系，并提炼与领悟数学思想方法的过程. 在实际教学中，部分教师在编制试卷时只关注考点的分布情况，却忽略了对错题的整合，从而错失了评估学生纠正错误效果的机会；在讲评课上，也往往将注意力集中在如何清晰地讲解错题上，却忽视了遵循学生的认知发展规律和满足他们真正的学习需求. 为了避免此类情况的重现，笔者进行了深入的研究. 本文以一道函数题的教学为例，详细探讨如何基于“以生为本”的教学理念，有效地解决错题问题，从而提高学生的数学理解能力.

教学简录

1. 大数据揭露易错点，设计问题

随着信息技术的崛起，大数据为数学教学带来了福音. 例如，智学网的应用能够迅速展示学生的易错题以及知识点的掌握情况. 为了了解学生对函数知识的掌握情况，笔者搜集了与函数相关的错题资源，并根据学生的实际能力水平，设计了一道函数“摸底题”. 这旨在深入洞察学生的学习状况，为后续的复习和点评工作打下坚实的基础，从而实现有效的查漏补缺.

摸底题：已知函数f（x）=xlnx，a∈R.

（1）F（x）=在区间［a，2a］上的最大值是多少？

（2）证明：lnx>－，x∈（0，+∞）.

2. 诊断易错信息，发现理解偏差

通过分析学生的解题情况，发现了以下问题：①在解答第（1）问时，部分学生忽略了隐含条件a>0，并且缺乏绘图和利用图形解决问题的习惯. ②将“F（x）=在区间［a，2a］上”转化成“f（x）在区间［a，2a］上”时，增加了分类讨论的过程，其实这个过程不是必需的. ③关于第（2）问，部分学生直接忽略掉了第（1）问的解答结果，将“求证lnx>－，x∈（0，+∞）”的问题转化成了“求证lnx－+>0，x∈（0，+∞）”的问题. 这种解题思路导致许多学生的思维陷入停滞，无法从真正意义上理解数学.

3. 发挥主体作用，增强解题理解

一旦明确了学生的薄弱点，那么教学就有了方向. 针对学生的实际情况，可做如下预设：请两名思路清晰、解题完整的学生到讲台上，分别讲一讲两个小问的解答过程.

“摸底题”第（1）问的探索：

生1：F′（x）=（1+lnx），当0<x<时，F′（x）<0；当x>时，F′（x）>0. 因此，F（x）的单调递减区间为0，，单调递增区间为，+∞.

①当2a≤，即a≤时，F（x）=F（a）=lna.

②当a≥时，F（x）=F（2a）=2ln2a.

③当<a<时，F（x）=max｛F（2a），F（a）｝，F（2a）－F（a）=ln4a2－lna=ln4a. 当<a<时，根据F（2a）>F（a），可得F（x）=F（2a）=2ln2a；当<a≤时，根据F（2a）≤F（a），可得F（x）=F（a）=lna.

综上所述，F（x）=lnaa≤，2ln2aa>.

师：你们觉得这位同学的解答过程有没有问题？

生2：导函数F′（x）=（1+lnx）的符号与a有关.

师：关于这个问题，谁能给予补充？

生3：隐含条件a＞0隐藏在区间［a，2a］中，只要能够挖掘出这个条件，问题便迎刃而解.

师：很好！还存在更简便的解题方法吗？

生4：关于最大值的求法可以进一步优化. 根据生1所得的函数单调性，结合图象可知：F（x）=max｛F（2a），F（a）｝，F（2a）－F（a）=ln4a2－lna=ln4a. 在a>的情况下，F（2a）>F（a），因此F（x）=F（2a）=2ln2a；在0<a≤的情况下，F（2a）≤F（a），因此F（x）=F（a）=lna. 所以，F（x）=lna0<a≤，2ln2aa>.

学生自主展示、点评与优化，整个教学过程自然流畅，学生的思维充满了张力. 显然，教学成果超出了预期，预设目标与实际生成内容相辅相成，学生的思维在相互碰撞中得到了发展. 此时，笔者顺应学生的思维趋势，提出了类似的训练题，起到巩固知识和提升能力的作用.

训练题1：假设函数f（x）=a2lnx+ax－x2，a>0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）分析所有实数a，让e－1≤f（x）≤e2对x∈［1，e］成立.

“摸底题”第（2）问的探索：

生5：想要证明lnx>－（x∈（0，+∞）），只要证明xlnx>－（x∈（0，+∞））即可. 设f（x）=xlnx，则f′（x）=1+lnx. 当0<x<时，f′（x）<0；当x>时，f′（x）>0. 因此，f（x）的单调递增区间和单调递减区间分别为，+∞和0，. 所以，f（x）≥f=ln= －.令h（x）=－，则h′（x）=. 因此，h（x）的单调递增区间和单调递减区间分别为（0，1）和（1，+∞）. 所以，h（x）≤h（1）=－. 综上所述，xlnx>－，即lnx>－.

师：这是一种很不错的解法！同学们有没有什么疑问？

生6：f（x）≥f=ln= －，h（x）≤h（1）=－. 不是应该xlnx≥－，即lnx≥－吗？而原题中待证的不等式却没有等号，这究竟是怎么回事呢？

生7：尽管不等式两边的函数均为同一个变量x，但它们取最值时，无法同时取到同一个x值.

对于这个说法，有些学生似懂非懂，为了进一步深化学生的理解，笔者借助图形进行了解释，使得所有学生恍然大悟——原来利用图形可以说明一切问题. 笔者趁机融入数形结合思想，并引用华罗庚的名言“形缺数时难入微，数缺形时少直观”，以此再传递数学文化，帮助学生更深入地领会数形结合思想，从而提升他们的数学理解能力.

为了进一步加深学生的理解，帮助学生巩固和提升知识，笔者又提供了两道训练题.

训练题2：若函数f（x）=－x2+2ex－1+m，g（x）=+x（x>0），请尝试明确m的取值范围，让函数f（x）的图象位于g（x）的下方.

训练题3：如果函数f（x）=－x+ex－1，g（x）=－x2+2x－2，请证明g（x）的图象必然位于f（x）图象的下方.

4. 教学过程的评价

当学生面临解题挫折时，恰当的评价可力挽狂澜，增强学生的自信心，这是帮助学生构建数学知识体系的重要策略. 基于笔者的引导与学生的自主探索，他们充分理解了函数图象的“高低”：①f（x）>g（x）？圯函数f（x）的图象恒位于函数g（x）的图象的上方；②函数f（x）与g（x）的定义域是D，函数f（x）的值域是A，而函数g（x）的值域是B，且A∩B=？圯函数f（x）的图象恒位于函数g（x）的图象的上方或下方；③函数y=f（x），y=g（x），x∈D，F（x）=f（x）－g（x），函数f（x）的图象位于函数g（x）的图象的上方？圳函数F（x）>0对？坌x∈D成立.

通过探讨简单的一道题，学生不仅清晰掌握了处理此类题目的方法jxuzLbFYkdeYMp9bzklgRQ==，还深入理解了解决此类题目所必需的数学思想.

几点思考

1. 大数据揭示错误，生成教学问题

教育信息化随着信息技术的崛起已经普及到各门学科的教学中，利用好大数据的功能，不仅能充分分析每个学生的学情，还能发现学生普遍存在的共性问题以及薄弱点. 利用大数据技术，可以在教学过程中有效地捕捉并筛选出学生的典型错误. 通过对这些错误题目的搜集和整合，能够创建出具有明确针对性的例题，促进学生的数学学习.

捕捉错误资源，生成教学内容后，教师可组织学生进行训练、点评、反思和提炼，给予学生充足的自我剖析与感悟的时间与空间，从真正意义上提升学生的数学理解能力. 例如本节课，笔者借助智学网提供的数据，针对学生在函数知识掌握上存在的错误设计了一系列训练题，旨在从根本上帮助学生澄清概念、理清思路.

2. 营造教学环境，激活学生思维

在良好的教学环境中，学生通常能够更加积极地投入到问题的探究之中，从而激活他们的思维，并推动课堂活动的生动发展. 正如常言道，授人以鱼不如授人以渔. 教师将课堂的主导权转移给学生，鼓励他们自主合作并进行展示，这不仅能促进学生之间的思维碰撞，还能实现共鸣效应.

例如本节课，整个探索过程都以学生为主体，激励他们主动阐述解题步骤，并通过积极的互动，逐步优化解题方法，加深全体学生对解题步骤的理解，确保每位学生不仅知其然，而且知其所以然，从而促进思维的发展.

3. 给予充足的时间和空间，展示解题思路

创新意识是增强人才竞争力的核心要素，而培育学生的创新才能是时代对教师提出的重大使命. 为了激发学生的创新潜能，首先应为他们提供充分的时间和空间，以便他们能够自由地展现自己的创造力. 如果教师仅仅为了追求教学进度，而直接向学生揭示结论，那么学生将错失探索和思考的机会，从而难以真正领悟数学的精髓.

教师在课堂上应多创造机会，鼓励学生自主探索，并展示一些优秀的解题策略. 这样做能显著促进学生思维能力的提升，使他们对解题步骤、解题方法和解题理念有更深刻的理解. 例如本节课，笔者邀请两位学生分享他们的解题过程，并引导全班同学进行讨论. 这一做法不仅提升了学生的思维层次，还帮助他们对问题有了更清晰的认识.

4. 教师适当点拨，把握好教学方向

虽然学生是课堂的主体，但若完全将课堂交给学生，让他们自主分析、讲解解题过程，容易引发一些问题. 例如：①理解表浅，对错误根源的揭露不够明确；②对于同伴提出的疑问，无法给出合理的解释；③分析、讲解的要点不明确，淡化对通性通法的提炼，一味强调解题技巧.

鉴于此，课堂离不开教师的组织、引导与点拨. 以本节课为例，笔者从以下几个方面着手引导学生：①课前借助大数据搜集错题资源，确定典型问题；②课堂上引导学生在宽松、民主的氛围下从容地分析、讲解解题思路，并在理性回归的基础上提炼数学思想方法，通过有效沟通，深化学生对数学的理解；③课后点拨和带领学生及时反思，给予学生更多的信心与精神动力.

总之，立足“以生为本”的教学理念，在充分尊重学生个体差异的前提下，精选适当的错题资源，通过典型例题激发学生的思维活力. 在师生、生生互动和交流中，提高学生的数学思维能力，加深学生对数学概念的理解，是新课程改革背景下数学教学的主要趋势.