深度学习“深”在何处

［摘 要］ 在新课程背景下，数学教学更加注重培养学生的综合能力，提升学生的数学学科核心素养，发展学生的数学观察能力、数学表达能力和数学思维能力，以促进深度学习的产生. 在深度学习的背景下，教师应以学生为中心，从整体视角出发，合理整合教材内容，精心设计问题情境，引导学生经历知识形成的过程，以此深化学生对知识的理解，帮助学生构建知识体系，促进学生能力与素养的全面发展.

［关键词］ 深度学习；问题情境；知识体系

作者简介：安慧娇（1987—），本科学历，一级教师，从事高中数学教学工作.

在新课程背景下，深度学习已成为高中数学教学的热点话题之一. 在深度学习视域下，力求实现从“以学科为中心”到“以学生为中心”；从“知识技能获得”到“核心素养发展”；从“教师的教为主”到“学生的学为主”；从“单一纸笔测试”到“成长综合评价”. 在实践教学中，教师应始终坚持“以学生为中心”，基于“三个理解”构建数学结构化框架，确定高阶思维培养目标，引导学生全身心参与，充分体验成功喜悦，落实数学学科核心素养. 那么，深度学习“深”在何处？笔者认为，深度学习之所以“深”，在于它使学生成为学习的主人，促进了学生思维能力的发展，加深了学生对学科核心知识的理解和加工，以及个体知识体系的构建和完善. 笔者以“等比数列”的教学为例，基于深度学习理念进行教学设计，引导学生通过类比主动获取知识，构建数列知识体系，培养数学学科核心素养.

教学分析

1. 教学内容

等比数列是继等差数列后的又一特殊数列，是数列领域中的重要角色. 在学习本节课内容之前，学生已经积累了丰富的研究等差数列的知识经验. 因此，在本节课的教学中，教师应重视引导学生类比等差数列，通过有效沟通两者的差异与联系，促进学生深入理解等比数列，有效激发学生的潜能，促成深度学习.

2. 教学目标

（1）引导学生深入理解等比数列的定义及其通项公式，并能够运用这些知识解决基础问题；

（2）渗透类比思想、方程思想、特殊和一般思想等，培养学生观察、比较、归纳、演绎等能力，以实现学生数学学科核心素养的提升；

（3）引导学生经历知识的发现、发展和应用过程，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，以及发现、分析和解决问题的能力.

3. 教学重点和难点

（1）等比数列相关概念的形成与深化；

（2）等比数列通项公式的推导及应用.

教学设计

1. 复习旧知，引入新课

问题1 我们学习等差数列时，重点研究了哪些内容？是如何研究的？

生1：重点研究了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式、性质等内容，用归纳法和累加法证明了等差数列的通项公式，利用倒序相加法推导了等差数列的前n项和公式.

生2：等差数列是一种特殊数列，其特点在于从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.

师：非常好，你能用知识框架图来概括和总结等差数列的相关知识点吗？

教师安排时间供学生思考、交流和表达，同时对学生的学业成果进行优化. 通过师生共同的互动交流，形成了如图1所示的知识框架图.

设计意图 数学是一门逻辑性极强的学科，其知识体系中各个部分之间存在着紧密的联系. 在教学中，教师应当引导学生通过联系去观察和思考问题，这不仅有助于巩固学生已有的知识和经验，还能有效提升他们的自学能力，并进一步完善他们的知识体系. 在引入新课程的环节中，教师安排时间让学生全面回顾之前学习的等差数列，为探索新知奠定基础.

问题2 类比等差数列，你是否还能发现其他特殊数列？如果可以，你能否提供一些实例，并给出相应的定义？

生3：由等差数列的定义可知，从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 因此，若将此处的“差”替换为其他运算，例如“和”“积”和“比”，则可以相应地得到等和数列、等积数列和等比数列.

师：很好，从运算视角出发，得到了其他数列. 先看等和数列，你能给等和数列下定义，并举例加以说明吗？

生4：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，其递推公式为a=a，a+a=c （c为常数）. 例如：4，－3，4，－3，…；1，，1，，….

师：等积数列的定义呢？

学生通过类比等差数列和等和数列的定义，自然地引出了等积数列的概念，其递推公式为a=a，a·a=c（c为常数）. 例如：5，，5，，…；1，0， 1，0，1，0，….

师：等和数列和等积数列均属于周期数列，它们各自具有独特的特性，但并非本节课的主要研究内容. 今天，我们将集中探讨等比数列.

综合上述探究经验，等比数列的定义及其递推公式显而易见. 教师先让学生表达对等比数列的理解，然后利用PPT呈现等比数列的定义.

设计意图 在讲授等比数列的定义时，多数教师倾向于从具体案例入手，引导学生发现数列中的每一项与其前一项之间的关系，通过与等差数列概念的类比，得出等比数列的定义. 而在本节课的教学中，教师直接从等差数列的定义出发，通过运算的类比，自然而然地引出了其他数列的概念. 此外，通过实例让学生感受等和数列和等积数列的独特性，认识到等比数列的探究性更强，从而顺利地过渡到等比数列的探索中.

2. 类比探究，获得新知

问题3 类比等差数列，如何用符号语言来表示等比数列？

生5：=q.

师：这些参数有什么限制吗？

生6：q≠0，n≥2，且n∈N*.

师：为什么q≠0？

生6：q=0无意义. 由等比数列的定义可知，其中不含0这一项，所以q≠0.

师：这里为什么要强调n≥2呢？

生7：因为要满足n－1≥1，所以n≥2.

问题4 类比等差中项的概念，你能给出等比中项的概念吗？两者有何区别？

教师在课堂上点名，要求学生阐述等差中项的定义及其符号表示. 随后，教师为学生安排一段时间，供他们通过类比和归纳的方式，自行得出等比中项的概念：如果在a，b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 也就是说，如果G是a与b的等比中项，那么=，即G2=ab，G=±.

师：等差中项与等比中项有何不同？

生8：等差中项只有一项，而等比中项有两项，且互为相反数.

师：如果G=±，可以说G是a与b的等比中项吗？

学生通过积极思考、争辩，并列举反例来阐释：若a，G，b均为0，其满足G=±，但a，G，b不能构成等比数列.

师：任意两个实数都有等比中项吗？

生9：不一定，这里根式必须有意义，即a，b的符号必须相同，则a，b才可能有等比中项.

设计意图 在教学中，教师以学生为中心，引导学生通过独立思考和合作交流相结合的方式共同探究等比中项的概念. 这种教学方法能充分激发学生的主体性，提升他们的类比探究能力. 同时，教师通过问题情境激发学生的思考与辨析，从而加深学生对概念内涵的理解，并培养他们思维的严谨性和深刻性.

问题5 在等差数列的通项公式的推导过程中，我们主要运用了哪几种方法？与之相类比，你能推导出等比数列的通项公式吗？

问题给出后，教师让学生以小组为单位共同探究，然后分组展示.

生10：可以利用递推法归纳等比数列的通项公式：=q？圯a=aq，=q？圯a=aq=aq2，=q？圯a=aq=aq3，…，由此可得等比数列的通项公式为a=aqn-1.

生11：还可以利用叠乘法推导等比数列的通项公式：=q，=q，=q，…，=q，=q，各式相乘得=qn-1，所以a=aqn-1.

设计意图 通过类比推导得出等比数列的通项公式，这不仅让学生深刻体会到类比思想在数学研究中的重要性，而且引导他们逐步掌握自主学习的方法. 在推导过程中，教师未直接提供等比数列的通项公式，而是鼓励学生通过类比理解新旧知识之间的联系. 这样的学习方式有助于学生自然而然地形成解决问题的策略，提升他们思维能力的发展.

3. 应用练习，提升能力

例1 以下数列是等比数列吗？如果是，求出其公比；如果不是，说明理由.

（1）1，1，1，1；

（2）1，-1，1，-1；

（3）1，2，4，8；

（4）1，a，a2，a3；

（5）b，b，b，b.

题目给出后，教师先让学生独立思考，然后点名学生给出答案.

生12：（1）（2）（3）都是等比数列，其公比分别为1，-1，2. 对于第（4）个数列，若a≠0，则该数列是公比为a的等比数列；若a=0，则该数列不是等比数列. 第（5）个数列和第（4）个数列类似，若b≠0，则该数列是公比为1的等比数列；若b=0，则该数列不是等比数列.

师：非常好，对于上述数列，是否有等差数列？

生13：有，第（1）个数列和第（5）个数列都是等差数列.

师：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列呢？

生齐声答：第（1）个数列既是等差数列又是等比数列.

师：很好，你们还能列举一些相似的例子吗？观察这些实例，它们具有怎样的特征？

学生通过观察和比较实例，最终达成共识：非零常数列既是等差数列又是等比数列，其公差为0，公比为1.

设计意图 通过应用知识和渗透分类讨论思想方法，可以进一步深化学生对等比数列定义及其相关参数的理解. 在教学中，教师通过追问的方式引导学生将新旧知识联系起来，从而巩固和加强学生对等比数列和等差数列定义的理解，并提升他们发现、分析和解决问题的能力.

例2 在等比数列a中，已知a=12，a=18，求a，a.

生14：设等比数列的首项为a，公比为q，根据已知可得aq2=12①，aq3=18②. 由②÷①，得q=. 将q=代入①式，解得a=. 所以，a=aq=×=8.

设计意图 例2涉及等比数列的定义及其通项公式的简单应用，难度适中. 学生运用方程思想方法便能解决这个问题. 通过设计基础题目，可以检测学生对基础知识的掌握程度，并进一步提升他们的数学运算能力和逻辑推理素养.

例3 已知数列a满足a=3，a+a=2，求数列a的通项公式.

问题给出后，学生独立求解. 结合前面的递推经验，学生能够根据递推公式计算出该数列的前几项，并通过归纳和猜想，得出该数列的通项公式为a=3（n为奇数，n∈N*），－1（n为偶数，n∈N*）.这种方法是众多学生所青睐的. 为了拓展学生的视野并有效沟通不同数列之间的联系，教师在此基础上提出了一个启发性问题：能否通过构造一个与数列a相关的新数列，并利用等差数列或等比数列的递推公式来求解？这个问题如同投入湖中的一颗石子，激起了学生思维的层层涟漪. 在教师的进一步启发和指导下，学生又提出了以下两种解题思路.

思路1 a=3，a－1=－（a－1），即数列a－1是以2为首项，-1为公比的等比数列.所以，a－1=2·（－1）n-1，即a=2·（－1）n-1+1，n∈N*.

思路2 a=3，a－a=－（a－a），即数列a－a是以-4为首项，-1为公比的等比数列. 所以，a－a=－4·（－1）n-1，即a=2·（－1）n-1+1，n∈N*.

设计意图 启发并指导学生创造性地解决问题，在巩固基础知识的同时，培养学生的创新思维能力，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养.

教学思考

深度学习是数学教育发展的必然趋势，也是培养学生数学学科核心素养的关键途径. 在实际教学中，教师应勇于摒弃传统的教学模式和教学方法，转而以学生为中心，鼓励他们通过自我批判性理解、知识迁移应用和信息整合，实现对知识的深入理解，并推动学生高阶思维能力的发展. 在具体实施过程中，教师应从全局出发，精心设计问题，引导学生主动进行联想和建构，从而将零散、碎片化的知识点串联起来，构建起一个完整的知识体系，并在此过程中培养学生的理性思维能力.

总之，深度学习不仅是一种学习策略，更是一种学习理念. 实施深度学习有利于突出学生的主体地位，促进知识的深度加工和知识体系的构建，使学生从“学会”走向“会学”，进而促进学生能力与素养的提升.