数学建模教学的探索与研究

［摘 要］ 应用数学知识解决实际生活问题，不仅要求使用精确的数学语言来描述和刻画问题，还必须确保数学抽象与实际问题保持一致. 在数学抽象中引入一些假设，正如著名的“蒙提霍尔悖论”所展示的那样，往往能激发辩论和深思. 文章以“三门问题”为例，从问题概述、认知矛盾、探索思考、实验验证、模型应用、推广延伸与总结反思等方面展开建模教学的探索与研究.

［关键词］ 数学建模；三门问题；数学应用

作者简介：高春明（1973—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作，苏州市学科带头人.

建模能力的培育是一项系统工程，需要教师根据学情，基于知识理论基础，跳出定式思维的框架，帮助学生构建新的认知结构，解决更多的实际生活问题，发展数学学科核心素养. “三门问题”属于概率问题的范畴，本文以此为例，展开教学实践与探索，具体谈一谈如何借助数学课堂发展学生的建模能力.

问题概述

“三门问题”源于美国的一个游戏节目，具体内容为：在电视屏幕的三扇门背后各藏有一件奖品，两件为山羊，一件是汽车. 猜奖者任选一扇门，并得门背后的奖品. 在猜奖者当场选定一扇门未打开前，主持人打开了另外一扇门，发现后面是山羊. 这时主持人问猜奖者是否要改猜另一扇门. 现在的问题是改猜获得汽车的概率大，还是不改猜获得汽车的概率大？［1］

认知矛盾

当学生看到这个问题时，第一反应是“改猜”与“不改猜”的概率是一样的，均为. 之所以这么认为，是因为主持人打开一扇有山羊的门，剩下的两扇门背后必定为一只山羊与一辆汽车，那么获得汽车的概率就是. 但换个思维来分析，当猜奖者第一次选定某扇门时，获取汽车的概率是，汽车在剩余两扇门背后的概率是. 当主持人打开一扇有山羊的门时，汽车在剩余两扇门背后的概率仍旧是. 从这个角度进行探索，改猜获得汽车的概率就是. 那么，究竟哪种思路是正确的呢？汽车在剩下两扇门背后的概率究竟是还是呢？这是一个涉及博弈论的问题，大多数学生展现出了浓厚的探索兴趣.

探索思考

生1：从这个游戏来看，任何一扇门背后为汽车的概率均为，与猜奖者“改猜”与“不改猜”没有关系.

生2：我不这么认为，主持人未打开一扇门之前，猜奖者获得汽车的概率确实为，一旦打开了一扇门，那么剩下的就是“是”与“不是”两个结论，因此不论猜奖者“改猜”与“不改猜”，获得汽车的概率均为.

生3：我认为如果“不改猜”，那么获得汽车的概率为，因为汽车就在其中一扇门的背后；但如果“改猜”，那么获得汽车的概率就是.

师：看来大家的想法各不一样，改猜获得汽车的概率究竟是多少呢？请大家合作讨论这个问题.

学生经过激烈的讨论与分析，最终达成共识：主持人未打开一扇门之前，猜奖者获得汽车的概率为；如果主持人随机打开一扇门，门背后不是汽车，那么在剩下的两扇门中，其中一扇门背后为汽车的概率仍旧是；如果主持人在明知道门背后不是汽车的情况下打开这扇门，那么这个概率就被打破了.

实验验证

实验验证流程：用完全一样的三张卡片分别代替三扇门，卡片背后分别标注“汽车”“山羊”“山羊”，将卡片放在桌上（字朝下），三人为一个小团队，其中一人参赛、一人记录、一人主持.

班上共有48名学生，分成16个小团队，一半小组选择“改”，另一半小组选择“不改”，各组实验100次，分别记录翻开卡片背后为“汽车”的次数.

实验发现，选择“不改”的小组翻得“汽车”卡片的频率约为33.5%；而选择“改”的小组翻得“汽车”卡片的频率约为66.5%. 由此，学生普遍认同生3的观点更接近实际情况.

设计意图 面对众多猜想，最佳的策略就是通过实验操作或利用信息技术来验证这些猜想的正确性. 此环节借助实操活动，引导学生亲历问题的探索过程，切身感知门背后为汽车的概率. 如此设计，一方面让学生自主获得结论，另一方面促使学生进一步感知数学实验的独特魅力，为后续探索更多知识奠定了基础.

模型应用

1. “枚举法”的应用

师：“三门问题”是否属于古典概型？若是，该怎么获得它的概率呢？

生4：我认为“三门问题”属于古典概型，原因在于，所有可能的试验事件数量是有限的，并且每个事件发生的概率是相等的.

师：很好，那么该如何获得它的概率呢？

关于这个问题，学生从以下两个角度展开分析.

（1）猜奖者选择“不改”

对于这三扇门，由于每扇门背后出现汽车的概率相等，因此假设猜奖者坚持选择门1，则存在表1所示的三种情况.

从表1可以看出，猜奖者坚持选择门1获得汽车的概率是.

（2）猜奖者选择“改”

当主持人打开门2或门3为山羊时，猜奖者“改”后就剩一扇门，同样具备三种情况（见表2）.

从表2可以看出，猜奖者“改”后获得汽车的概率变成了，所以选择“改”获得汽车的概率更大.

基于以上分析，学生应用树状图（图1）将“改”与“不改”的概率表示出来，以进一步明晰整个思路.

选择一门车 ——改——羊不改——车羊1——改——车不改——羊羊2——改——车不改——羊

通过树状图的梳理，问题的结构变得更加清晰，这有助于学生更深入地理解概率的逻辑脉络，并加深了对“三门问题”模型的认识.

2. “贝叶斯公式”的应用

师：假设猜奖者选择的是门1，主持人打开的是门2. 设“门i背后有车”与“主持人打开门2”分别为事件A（i=1，2，3）与事件B，则猜奖者选择“改”与“不改”的概率分别是P（AB），P（AB）. 这里提到的P（AB）与P（AB）该如何获得？

生5：结合条件概率公式可得P（AB）=，P（AB）=.又AB+AB+AB=B，AB，AB，AB三者间为两两相斥的关系，所以P（B）=P（AB+AB+AB）=P（AB）+P（AB）+P（AB），P（A）P（BA）=P（AiB）. 所以，P（B）=P（A）P（BA）. 故P（AB）==，P（AB）==.

结合“等可能性”可得P（A）=P（A）=P（A）=. 又P（BA）=，P（BA）=0，P（BA）=1，所以P（AB）===，P（AB）===.

根据上述分析可知，主持人打开门2后，若猜奖者“不改”，获得汽车的概率是；若猜奖者“改”，获得汽车的概率就是. 由此可见，“改”后获得汽车的概率更大.

推广延伸

若将“三门问题”中的“三门”更改成“n门”，同时多扇门背后安排有汽车，在主持人同时打开多扇门的条件下，猜奖者是否更改选择与获得汽车的概率之间存在怎样的关系呢？

关于这个问题，用数学语言描述为：若有n（n∈N*）扇门关闭着，有m（m∈N*，m<n）扇门背后是汽车，猜奖者随机选择一扇门，在没有打开前，主持人打开了另外的p（p∈N*，p<n－1）扇门，打开的p扇门中有q（q∈N*，q<m，q≤p）扇门背后是汽车. 此时，猜奖者可以坚持最初的选择，也可以重新选择一扇未被打开的门，分析“改”与“不改”获得汽车的概率情况.

关于此问，学生一致认为借助贝叶斯公式来分析更科学. 在此问中，将“不改获得汽车”设为事件A，“改后获得汽车”设为事件B，“猜奖者一开始就选中汽车”设为事件C，“猜奖者第一次没有选中汽车”设为事件D.

结合题意得P（C）=，P（D）=.

（1）猜奖者坚持最初的选择，则P（A）=P（C）=.

（2）猜奖者更改选择，则存在如下几种情况：

①如果猜奖者一开始所选门背后就是汽车，那么他可以选择的门数量为“n－p－1”，背后为汽车的门数量为“m－q－1”. 基于此，可明确猜奖者在一开始就选中汽车的情况下，更改自己的选择而再次获得汽车的概率是P（BC）=.

②如果猜奖者一开始所选门背后不是汽车，那么他可以选择的门数量为“n－p－1”，背后为汽车的门数量为“m－q”. 由此可确定，在猜奖者一开始所选门背后不是汽车的情况下，换一种选择获得汽车的概率是P（BD）=.

综合以上分析，可确定猜奖者更改选择后，获得汽车的概率是P（B）=P（C）·P（BC）+P（D）·P（BD）=·+·=.

若P（A）<P（B），即<，即m（n－p－1）<mn－nq－m，qn<pm，也就是<.

经过上述分析可以清晰地看到，若猜奖者随机选择的一扇门背后为汽车的概率大于主持人所打开的门背后为汽车的概率，则更改初始选择会提高获得汽车的概率. 在这种情况下，坚持初始选择则会降低获得汽车的概率. 反之，若主持人所打开的门背后为汽车的概率高于猜奖者随机选择的一扇门背后为汽车的概率，则坚持初始选择会提高获得汽车的概率.

总结反思

通过对“三门问题”的探讨以及对“n门问题”的分析，可以看见，在培养学生数学建模能力时，教师应特别关注以下四点：

（1）在课堂上确保为学生提供充分的时间来阅读和审视题目，鼓励他们独立思考和相互交流，学会从日常生活实践中抽象出数学问题.

（2）精心挑选富有吸引力的模型，以激发学生的探究欲望，引导他们的思维经历从表层到深层的转变，逐步增强学生的建模意识，为将来的模型应用做铺垫.

（3）加强数学实验活动或计算机应用，以进一步验证假设，揭示数学规律，并为解决模型问题创造有利条件.

（4）加强对学生思维的引导和模型的拓展，以进一步深化学生对模型的理解和应用.

总之，培养学生数学建模能力应当植根于教学实践之中，通过引导学生独立思考、合作交流以及深入探索，不断提炼和优化模型，从而培养和发展他们的模型意识. 这为真正实现深度学习理念奠定了基础. 引导学生运用逻辑思维和表达方式去观察、分析和阐述实际问题，是提升学生“三会”能力的核心，也是增强学生建模技能的关键. 这种教学方法充分彰显了数学教育的深远价值.

参考文献：

［1］ 何书元. 三门问题［Ｊ］. 数学通报，2015，54（3）：1-2.