怎样比较指数式与对数式的大小

比较指数式与对数式的大小问题常以选择题、填空题的形式出现，这类问题的难度一般不大.但若同学们找不到合适的解答方法，仍会陷入解题的困境.本文结合例题，谈一谈比较指数式与对数式大小的三种措施，供大家参考.

一、借助中间量

在比较对数式与指数式的大小受阻时，我们不妨借助中间量来比较二者的大小.可以根据两个要比较的函数式的范围，尝试找到合适的中间量.通常以1、-1、0、e等为中间量，这样可以通过换底，将这些中间量进行变换.

例1.设a=log52，b=，c=log73，则正确的是（）.

A.alt;blt;c B.clt;alt;b C.clt;blt;a D.alt;clt;b

解：a=log52lt;log5==b，c=log73gt;log7==b，所以alt;blt;c，故本题选A.

取为中间量，利用换底公式将其变形为=log7=log5，即可根据对数函数的单调性比较出三个对数式的大小.

二、利用函数的性质

对于函数名称相同的两个函数式，通常可以通过放缩、比较，构造出同底、同真数、同指数的对数式或指数式，这样便可以直接根据对数函数和指数函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性来比较两个函数式的大小.

例2.已知f（x）=x∙2|x|，a=f（log3），b=-f（log3），c=f（ln 3），试比较a，b，c的大小.

解

解答本题，需先根据奇函数的性质将a、b、c的自变量转化到（0，+∞）范围内；然后比较其自变量的大小；再根据函数f（x）的单调性进行比较，即可解题.

三、数形结合

有时我们可以直接根据函数的解析式画出函数的图象，然后借助函数的图象来比较指数式和对数式的大小.在作图时，通常要找出图象中的交点、临界点，这样有助于我们根据图象快速比较出函数式的大小.

例3.若π-x1=log2（x1+1），π-x2=log3x2，π-x3=log2 x3，则x1，x2，x3的大小关系为.

解：在平面直角坐标系内作出函数y=（）x，y1=log2（x+1），y2=log3x，y3=log2 x的图象，如图所示.

由图可知x1lt;x3lt;x2.

我们需先根据三个要比较的函数式的特征构造出函数y=（）x，将问题转化为比较y=（）x、y1=log2（x+1）、y2=log3x、y3=log2 x交点的大小；然后画出四个函数的图象，即可借助图象快速比较出x1、x2、x3的大小.

四、作差（商）

对于一些同类型的指数式或对数式，通常可以将二者作差（商），再将其差与0比较，将商与1比较，即可比较出两个函数式的大小.

例4.比较log23，log34，log45的大小.

解：

运用作差法比较两个函数式的大小，往往要通过换底、分解因式，运用完全平方公式、平方差公式等将差式变形、放缩，以快速比较出差式与0的大小.

比较指数式与对数式大小的措施较多，但无论运用哪种措施，都要根据指数与对数函数的运算性质和公式，对函数式进行适当的变形，再灵活运用指数函数和对数函数的图象和性质解答.

（作者单位：江苏省盐城市伍佑中学）