中断风险下供应商选择与订单分配决策优化

【摘" 要】当前供应链中断的风险和成本不断增加。增强企业抵御供应商中断风险的能力是一个热点问题。考虑到供应链中断场景发生概率的非精确性，论文建立了一个两阶段全局鲁棒供应商选择与订单分配优化模型，目标是最小化供应链成本。在第一阶段选择主供应商和备用供应商，确定需求的初始分配。第二阶段确定能正常供货的主供应商和备用供应商提供的应急原材料数量。当采用球波动集刻画概率不确定性时，该两阶段全局鲁棒优化模型可相应地转化为等价的确定规划模型。最后，以某公司的供应商选择问题为例验证了所建立模型的有效性。实验结果表明，全局鲁棒优化模型确定的方案能以较小的成本代价抵御概率的不确定性。

【关键词】供应商选择与订单分配；全局鲁棒优化；中断风险

【中图分类号】F274" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "【文献标志码】A" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "【文章编号】1673-1069（2024）10-0040-04

1 引言

随着全球气候的变化，一系列自然灾害，通常会影响到一些供应链的正常运营，对经济的发展造成不可忽视的影响。例如，2021年，得克萨斯州遭遇极端寒潮天气，导致当地电网崩溃，多个半导体和化工厂停产，进而影响了下游产品的生产和交付。

为降低供应链中断的风险，需要提高供应链的韧性。提高供应链韧性的方法有很多。增加备用供应商是一种常见的方法，在主供应商不能满足需求时可以使用备用供应商来应对。另一种常见的方法是增加主供应商的灵活性，当某个主供应商无法正常供货时，未受影响的其他主供应商可以提供额外数量的产品。

Christopher et al.[1]的研究是最早建议将灵活性和冗余作为应对中断的关键对冲措施的研究之一。文献[2]强调灵活性是应对中断的关键，可通过提高动荡期间的迅速适应性来获得供应链的韧性。Ruiz-Torres et al.[3]考虑到供应商失效的风险，在一组灵活的供应商之间进行最优需求分配。一些研究者[4-8]认为安全库存和应急备用供应商等冗余资源是提高供应链响应能力的主要解决方案。

此外，可利用鲁棒优化来确定更可靠的解决方案。Behzadi et al.[9]研究表明，鲁棒策略和弹性策略的组合对缓解供应方中断风险的影响比较有效。文献[10]提出了一种基于混合鲁棒场景的优化模型，用于设计弹性光伏供应链。文献[11，12]分别考虑供应商履约率和中断概率的不确定性，使用全局鲁棒优化方法建模供应商选择与订单分配决策问题。

本文研究不确定环境下的供应商选择与订单分配问题，供应商面临两种类型的破坏：供应商中断和环境破坏，中断场景发生的概率具有不确定性。供应商中断会影响单个供应商，环境破坏导致同一地区的许多供应商受到影响无法供货。本文使用全局鲁棒优化方法处理不确定性。建模时考虑了一系列提高供应链弹性的方法，包括备用供应商、供应商的灵活性。

其余部分组织如下：第2节描述供应商选择与订单分配问题，建模所需要的符号及全局鲁棒优化模型。第3节将建立的全局鲁棒优化模型等价转化为确定模型。第4节以某公司的供应商选择问题为例，通过数值实验和比较研究验证了所建立模型的有效性。第5节总结了本文的主要工作。

2 供应商选择与订单分配问题建模

本节首先描述中断风险下的供应商选择与订单分配问题及其建模所需要的一些符号，然后考虑场景概率可能的微小波动建立全局鲁棒优化模型。

2.1 问题描述

考虑由多个供应商和一个制造商组成的供应链。供应商的能力、成本和可靠性均不同。供应商可能位于不同地理区域h。供应链中断可能导致原材料交付的中断。中断前决定供应商的选择和初始分配，中断后将产品的初始分配进行调整。因此该问题可以看作一个两阶段规划问题。假设无积压，需要确定合适的决策使两个阶段的总成本最小。

将供应商s选为主供应商的固定成本为Bs，作为备用供应商产生成本Fs。供应商s的最大产能为Caps。Ns和ts分别为订购和运输原材料的单位成本。每个供应商能够满足的应急需求最大数量为ECaps。灵活性参数fs表示供应商s在正常的订单之外可以额外交付的比例。从主供应商s订购的高于其初始分配的原材料单位采购成本ds高于其初始分配的单位采购价格。其余参数如表1所示。

有两种类型事件影响供应商的运行。第一种是半超级事件，它的发生会导致该区域的所有供应商都中断。第二种是影响单个供应商的事件。破坏事件发生的概率难以精确预测，存在不确定性。所以场景πr发生的概率也具有不确定性。本文假设不确定场景概率的分布是未知的。

2.2 鲁棒优化模型的建立

假设第一阶段的决策已知，首先考虑在中断发生后对初始分配的调整策略需要满足的各种条件。

约束（1）和约束（2）根据供应商的分配、灵活性及其在该场景中的可用性，给出了从每个正常供应商流出的原材料数量的上限和下限。

yrs≤xs（1+fs）Suprs，？坌r∈R，s∈S" " " " （1）

yrs≥xsSuprs，？坌r∈R，s∈S" " " （2）

约束（3）决定了不同场景下可用供应商提供的额外数量等于供应商流出的数量与该供应商正常分配的数量之差。

Eyrs=（yrs-xs）Suprs，？坌r∈R，s∈S" " "（3）

约束（4）表明了可用的备用供应商可提供的应急原材料数量的上限。

zrs≤NsSuprsECaps，？坌r∈R，s∈S" " " " "（4）

约束（5）表明在没有中断的情况下无需向备用供应商订购应急原材料。

zrs≤xs（1-Suprs），？坌r∈R" " "（5）

约束（6）确定了各场景下未满足的需求量。

Kr=G-（yrs+zrs），？坌r∈R" " （6）

约束（7）确定了第二阶段各个变量的类型。

yrs，zrs，Eyrs，Kr≥0" " " "（7）

下面给出中断前各决策的限制条件。首先用约束（8）确保供应商的初始分配能满足需求。

xs=G" " " "（8）

约束（9）确保初始分配满足能力限制。

xs（1+fs）≤MsCaps，？坌s∈S" " " （9）

供应商不可以同时作为主供应商和备用供应商，如约束（10）所示。

Ms+Ns≤1，？坌s∈S" " " （10）

约束（11）明确了第一阶段各决策变量的类型。

Ms，Ns∈{0，1}，xs≥0" " " " "（11）

以期望总成本最小为准则选择供应商并确定需求分配。总成本包括主供应商的管理成本 SM 和备用供应商的合同成本 BC。此外，还有4种与场景相关的成本。Or是场景r中的订单成本，包括从每个供应商正常订购的数量和应急订购数量。Tr为场景r中的运输成本，对应于从每个供应商流出的数量（可以是正常供应原材料的数量，也可以是应急原材料的数量）。Wr为场景r中制造商从主供应商处订购应急原材料所需支付的成本。Lr为场景r下未满足的需求引起的制造商成本损失。

由于场景r发生的概率πr分布未知，设π=（πr）r∈R属于一个不确定性集V2。因此，最差情形的总成本可表示如下：

SM+BC+ πr（Or+Tr+Wr+Lr）" " " " （12）

其中：

SM=∑s∈S BsMs

BC=∑s∈S FsNs

Or=∑s∈S ns（xs+zrs）

Tr=∑s∈S ts（yrs+zrs）

Lr= Q×Kr

Wr=∑s∈S dsEyrs

综上所述，两类中断风险下的供应商选择与订单分配问题可描述为带有无限多约束的两阶段鲁棒优化模型（13）：

min SM+BC+ πr（Or+Tr+Wr+Lr）s.t. 约束（1）～（11）" " " "（13）

3 模型分析

本节首先引入辅助变量c将目标函数写成约束，相应地得到如下模型（14）：

min cs.t. "πr（Or+Tr+Wr+Lr）约束（1）～（11）+SM+BC≤c" " " （14）

上述模型中只有第一条约束包含不确定参数，需将其转换为计算上可处理的形式。

根据文献[13]，假设V2是凸的，且其中包含一个凸的不确定性子集V1。称V2为外部不确定性集，称V1为内部不确定性集。假设内部不确定性集V1是紧的，它对应的约束必须被满足。而对于不确定向量α∈V2＼V1的实现，允许对应的约束存在一定程度的违反。

令Vi={π=π0+A？孜|？孜∈Xi}。π0是名义值，A是波动矩阵，？孜是原始的不确定性。令波动集Xi={？孜|‖？孜‖≤ρi}，？渍（π，π'）=？琢（‖π-π'‖p），+=1（i=0，1，2），其中ρ1和ρ2分别是内波动集和外波动集的半径。取Xi为球波动集，q1=q2=2，q0=∞，模型（14）中的半无限约束等价地转换为计算可处理形式（15）～（18）。

πns（xs+zrs）+ts（yrs+zrs）+dhEyrs+M×Kr-θr+ρ1w1+ρ2w2≤c-FsZs-BsMs" " " " " "（15）

w≥（πθr）2" " " " "（16）

w≥πns（xs+zrs）+ts（yrs+zrs）+dsEyrs+M×Kr-θr2" " " （17）

？啄≥θr" " " " " " " （18）

得到模型（13）的全局鲁棒对等模型（19）：

min cs.t." 约束（1）～（11），（15）～（18）" " " " （19）

接下来，在第4节使用某公司的供应商选择案例说明所提出方法的有效性。

4 某公司的供应商选择案例

4.1 问题描述

设某公司有5个可能的原材料供应商，分别用Si，i=1，2，…，5表示，其位置如图1所示。北方的区域记作区域1，南方的区域记作区域2。S1、S2位于区域1，S3、S4、S5位于区域2。固定管理成本Fs=200，固定备用签约成本Bs=1 000，单位损失成本为160。5个供应商的信息如表2所示。设中断采购成本比普通采购成本单价高10。供应商所处区域，以及中断风险数据如表3所示。现在解决该公司在中断风险下的供应商选择与订单分配问题。

4.2 全局鲁棒优化模型的计算结果

利用所建立的两阶段鲁棒优化模型（13）确定问题的最优决策方案。需求G=2 000，参数？啄=5 000，ρ1=0.5和ρ2=0.8下，求解全局鲁棒对等模型（19）得到的供应商选择及初始分配方案如图2所示。供应商4和5作为主供应商，供应商2和3作为备用供应商。此方案的对应成本为93 090.285。初始分配分别为1 282，和718。之后根据中断情况对需求进行再分配。

4.3 与确定概率下决策的比较

在保持需求等不变的情况下，令π=π0，相应模型的计算结果如图3所示。与图2中全局鲁棒优化模型得到的结果相比，供应商的选择和初始分配发生了变化。

确定概率信息下没有选择区域1中的供应商，只选择区域2中的S3作为备用供应商。全局鲁棒优化模型考虑了场景概率可能的微小波动导致的不确定性，在供应商的选择上较保守，选择区域1的S2和区域2的S3作为备用供应商。确定模型的最优决策方案对应的成本为87 961.704。因此，就成本而言，全局鲁棒最优决策方案的鲁棒代价为5.83%。即，这一方案只需多付出的5.83%成本就可以抵御中断场景概率的不确定性。

根据实验结果，为实际供应商选择与订单分配问题的决策者提出以下建议：在实际的决策制定过程中，由于预测的非精确性，中断场景发生的概率通常是不确定的。决策者可以使用本文所建立的全局鲁棒优化模型。所提供的决策只需多付出较小的成本代价用于抵御这种不确定性的影响；内外不确定性集的大小对应决策者的不同保守态度，保守的决策者应适当选取较大的不确定性集刻画场景概率。

5 结论

本文研究了自然灾害可能导致供应链中断时供应商的选择与应急管理。主要结论如下：

首先，建立了一个全局鲁棒优化模型。考虑到灾害发生而导致供应链中断各种场景发生概率的非精确性，最小化供应商选择和需求分配在最差情形的期望总成本。为增加供应链的弹性，建模时考虑了备用供应商和供应商的灵活性。

其次，在球波动集下将含有不确定参数的约束转化为计算可处理形式。相应地全局鲁棒优化模型转化为等价的确定规划模型。

最后，以某公司的供应商选择与订单分配问题为例验证了模型的有效性。计算结果表明，中断场景发生概率的不确定性不可忽视。与确定模型相比，全局鲁棒优化模型确定的方案能以较小的成本代价抵御概率的不确定性。

【参考文献】

【1】CHRISTOPHER M， LOWSON R， PECK H. Creating agile supply chains in the fashion industry [J]. International Journal of Retail amp; Distribution Management， 2004， 32（8）：367-376.

【2】CHRISTOPHER M，HOLWEG M. \"supply chain 2.0\"：Managing supply chains in the era of turbulence[J].International Journal of Physical Distribution amp; Logistics Management，2011，41（1）：63-82.

【3】RUIZ-TORRES A J， MAHMOODI F， ZENG A Z. Supplier selection model with contingency planning for supplier failures[J].Computers amp; Industrial Engineering，2013，66（2）：374-382.

【4】KAMALAHMADI M， MELLAT-PARAST M. An assessment of supply chain disruption mitigation strategies[J].International Journal of Production Economics，2017（184）：210-230.

【5】HOSSEINI S，IVANOV D，DOLGUI A.Ripple effect modelling of supplier disruption： Integrated Markov chain and dynamic Bayesian network approach[J].International Journal of Production Research，2020，58（11）：3284-3303.

【6】KAMALAHMADI M，SHEKARIAN M， MELLAT-PARAST M.The impact of flexibility and redundancy on improving supply chain resilience to disruptions[J].International Journal of Production Research，2022，60（6）：1992-2020.

【7】李珍萍，刘璐，刘若阳，等.基于多种恢复策略的弹性供应链网络设计问题[J].计算机集成制造系统，2022，28（11）：3510-3522.

【8】邹宗保，陈力豪，梁强，等.集中还是分离——车电运营策略对竞争对手电池供应商选择的影响研究[J/OL].中国管理科学，1-17[2024-09-23].https：//doi.org/10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2023.0984.

【9】BEHZADI G， O'SULLIVAN M J， OLSEN T L， et al. Robust and resilient strategies for managing supply disruptions in an agribusiness supply chain[J]. International journal of production economics，2017（191）：207-220.

【10】DEHGHANI E，JABALAMELI M S， JABBARZADEH A，et al.Resilient solar photovoltaic supply chain network design under business-as-usual and hazard uncertainties[J].Computers amp; Chemical Engineering，2018（111）：288-310.

【11】赵磊，朱道立.考虑不确定履约率的全局鲁棒供应组合决策研究[J].管理工程学报，2021，35（01）：117-125.

【12】FENG Y，CHEN Y，LIU Y.Optimising two-stage robust supplier selection and order allocation problem under risk-averse criterion[J].International Journal of Production Research，2023，61（19）：6356-6380.

【13】BEN-TAL A，BREKELMANS R，DEN HERTOG D，et al.Globalized robust optimization for nonlinear uncertain inequalities[J].INFORMS Journal on Computing，2017，29（2）：350-366.