基于混沌自适应正余弦算法的负荷频率自抗扰控制

摘" 要： 针对可再生能源在电力系统中大量渗透引起的不确定性，基于线性自抗扰控制展开互联混合电力系统负荷频率控制的研究，提出一种混沌自适应正余弦算法，用于自抗扰控制器的参数设计。首先，融合混沌序列和反向学习策略对种群进行初始化；其次，设计了一种自适应转换参数机制，并在更新方程中加入个体历史最优解；最后，采用莱维飞行扰动策略对最优解进行扰动。同时，将所提算法与其他群智能算法在13个基准函数上进行测试比较，并以含发电机速率约束和调速器死区等非线性因素的双区域混合电力系统为例进行仿真实验。仿真结果表明，改进的优化算法具有较好的寻优精度和收敛速度，所提出的控制策略能够消除负载扰动和可再生能源引起的频率、功率偏差，系统具有快速响应的能力和较好的鲁棒性能。

关键词： 互联混合电力系统； 负荷频率控制；" 线性自抗扰控制； 混沌自适应正余弦算法； 抗干扰能力； 鲁棒性

中图分类号： TN915.853⁃34； TP273； TM743" " " " " " "文献标识码： A" " " " " "文章编号： 1004⁃373X（2024）24⁃0097⁃08

Load⁃frequency auto⁃disturbance rejection control based on chaotic

adaptive sine cosine algorithm

LIU Baowei， ZOU Kuansheng， ZHANG Zhaojun， LIN Zhifang

（School of Electrical Engineering and Automation， Jiangsu Normal University， Xuzhou 221116， China）

Abstract： In allusion to the uncertainty caused by the high⁃penetration of renewable energy resources in power systems， the research on load⁃frequency control is carried out based on linear auto⁃disturbance rejection control （ADRC）， and a chaotic adaptive sine cosine algorithm is proposed for the parameter design of the auto⁃disturbance controller. Chaotic sequences and reverse learning strategies are integrated to initialize the population. The adaptive conversion parameter machine is designed， and the individual historical optimal solutions are added to the updating equations. The greedy levy flight mutation scheme is used for the flight mutation. The proposed algorithm is tested and compared with other swarm intelligence algorithms on 13 benchmark functions， and the simulation experiments are conducted by taking two⁃area hybrid power system containing nonlinear factors， such as generation rate constraint and governor dead band， as an example. The simulation results show that the improved optimization algorithm has better optimization accuracy and convergence speed， the proposed control strategy can eliminate the frequency deviations and power deviations caused by load disturbances and renewable energy sources， and the power system has the ability of fast response and good robustness.

Keywords： interconnected hybrid power system; load frequency control; linear auto⁃disturbance rejection control; chaotic adaptive sine cosine algorithm; anti⁃interference ability; robustness

0" 引" 言

对于一个电力系统而言，电力需求总是在不断变化，而负载需求和发电供给之间的不平衡将导致发电机的速率发生转变，从而造成系统频率和联络线功率出现偏差，进而影响系统安全稳定运行[1]。负荷频率控制（Load Frequency Control， LFC）作为二次调频策略已广泛应用于电力系统中，以维护社会正常生产生活和有效降低发电成本。

目前，应用于LFC的控制策略有很多。作为经典的控制方法，PID及其改进控制器因原理清晰、实现简单和一定程度的鲁棒性而在LFC领域得到了广泛应用[2]。但随着光伏、风能等可再生能源在电力系统中的参与比例逐渐提高，其出力的波动性和随机性时刻威胁着电力系统的稳定运行[3]。因此，所设计的新型控制器对于系统的不确定性和非线性应具备更好的鲁棒性能。近年来，为提高多区互联电力系统负荷频率的控制精度，中外学者提出了多种解决策略，如自适应控制[4]、模型预测控制[5]、滑模控制[6]等。这些方法在一定程度上能够解决上述问题，但分别存在求解复杂度高、难以适用于非线性系统和参数整定困难的局限。

自抗扰控制（Active Disturbance Rejection Control， ADRC）[7]建立在误差消除扰动的PID思想和现代控制理论基础上，不依赖于对象的具体模型信息，能够对系统参数不确定性和外部扰动进行总扰动估计并消除。但非线性ADRC由于采用非线性结构的组合形式，使得理论分析和参数调整十分困难。对此，文献[8]提出了线性化ADRC（Linear ADRC， LADRC）结构，并基于极点配置思想和带宽法将参数大大简化，从而极大地推进了自抗扰理论的分析与应用研究。

智能优化算法具有应用简单、参数设置灵活等优点，常被用来优化控制器的参数。正余弦算法（Sine Cosine Algorithm， SCA）[9]是由Seyedali Mirjalili于2016年提出的一种群智能优化算法。该算法具有结构简单、易于理解、可调参数少、收敛速度快的特性，被应用于LFC[10]中，但其同样也存在全局搜索不充分和易于陷入局部最优的风险。

为此，本文针对标准SCA存在的缺陷，首先提出了一种混沌自适应正余弦算法（Chaotic Adaptive SCA， CASCA），使用含单峰、多峰测试函数来验证所改进算法的优越性，并将其与标准SCA、灰狼优化（Grey Wolf Optimizer， GWO）算法和麻雀搜索算法（Sparrow Search Algorithm， SSA）进行比较；其次，使用混沌自适应正余弦算法来优化线性自抗扰控制器参数，提出了CASCA⁃LADRC控制策略，将所提方法应用于含非线性因素的双区域互联多源电力系统LFC中，并与PID和FOPID控制器进行比较，证明所提控制策略的有效性；最后在负荷阶跃扰动和系统参数±40%变化情况下来验证所提控制策略的稳定性和鲁棒性。

1" 双区域混合电力系统模型

本文所研究的电力系统为两个互联的非对称控制区域。其中：区域一考虑火力发电、水力发电和天然气发电并存的情况；区域二考虑将风力机组并网，与火力机组和水力机组配合发电。由于高压直流输电（High Voltage Direct Current， HVDC）与传统交流输电相比具有建设成本低、损耗小等优点，在长距离输电线路中发挥着重要的作用，因此将HVDC加到控制区域[11]中。此外，为了更真实地贴近实际电力系统，将发电机速率约束（Generation Rate Constraint， GRC）和调速器死区（Governor Dead Band， GDB）这两个典型的物理约束也纳入建立的模型中。由此搭建了双区域互联多源电力系统线性模型，如图1所示。热力、水力、燃气和风力机组的线性等效数学模型分别描述如下。

1.1" 带再热汽轮机的热力机组模型

当负载需求变化时，同步发电机能够通过调速器改变其燃料消耗量和输出功率。一般而言，热力发电机使用的汽轮机分为再热汽轮机和非再热汽轮机两种类型，而再热过程使用再热汽轮机效率更高。热力机组的调速器⁃再热汽轮机传递函数模型可以表示为：

[GTs=11+sTG·1+sKRTR1+sTR1+sTT] （1）

式中：[TG]是热力机组的调速器的时间常数；[KR]表示再热常数；[TR]、[TT]分别表示再热汽轮机和汽轮机的时间常数。

1.2" 水力机组模型

水轮机由两部分组成：一部分为调速器动力学模型，另外一部分又称为瞬态下垂补偿，用于补偿最小相位水轮机产生的影响。传递函数如下所示：

[GHs=1+sTGR1+sTHG1+sTTD·1-sTHT1+0.5sTHT] （2）

式中：[THG]、[THT]分别表示水力发电机的调速器和水轮机的时间常数；[TGR]是水轮机调速器重置时间；[TTD]表示水轮机限速器瞬态下垂时间常数。

1.3" 燃气机组模型

燃气轮机由阀门定位器、调速器、燃油系统和燃气轮机组成，其线性模型可以表示为：

[GGs=1BG+sCG·1+sXC1+sYC·1-sTCR1+sTF·11+sTCD] （3）

式中：[BG]、[CG]表示阀门定位器的时间常数；[XC]和[YC]分别是燃气轮机调速器的提前和滞后时间常数；[TCR]是燃气轮机燃烧反应时间延迟；[TF]是燃气轮机燃料时间常数；[TCD]表示压缩机体积排放时间常数。

1.4" 风力机组模型

风能作为一种实用的可再生能源，在电网中的渗透率不断上升。为增强风力发电的稳定性，在发电过程中可以储存一定量的有功功率，当系统频率发生改变时进行功率补偿。风力机组的线性模型可以简化为：[GWs=KP11+sTP11+s·KPC1+sTP2·KP21+s] （4）

式中：[KP1]表示变桨执行器系数；[TP1]是变桨执行器的时间常数；[TP2]是液压变桨执行器的时间常数；[KP2]是变桨执行器俯仰响应的增益；[KPC]表示叶片特性系数。

2" 线性自抗扰控制器优化设计

LADRC主要由跟踪微分器（Tracking Differentiator， TD）、线性扩展状态观测器（Linear Extended State Observer， LESO）和线性误差反馈控制律（Linear State Error Feedback， LSEF）构成。相对于非线性ADRC，LADRC简化了状态观测器结构，并将非线性反馈控制律转化为比例微分环节，同时还可以保证高阶系统的鲁棒性和稳定性。因此，本文将二阶LADRC作为电力系统LFC的主控制器，用于调节频率和联络线功率偏差；其次，基于时间乘以误差绝对值积分（Integral of Time⁃Weighted Absolute Error， ITAE）性能评价指标，设计了目标函数；最后通过混沌自适应正余弦算法对LADRC的参数进行优化，以获得最优的控制参数。本文所提出的CASCA⁃LADRC控制框图如图2所示。

2.1" LADRC的设计

基于带宽概念设计的二阶LADRC模型可以描述为：

[y=fy，y，d+b0u] （5）

式中：[y]是系统的输出，即区域控制偏差；[d]表示外部扰动；[u]是系统的输入；[b0]表示受控系统的高频增益，是需要调整的参数。[y]的计算公式为：

[y=ACE=BΔf+ΔPtie] （6）

线性扩展观测器用来估计系统总扰动[f]，选择状态变量为：

[z=z1，z2，z3Τ=y，y，fΤ] （7）

假设[f]是可微的，则公式（5）可以表达成以下状态空间形式：

[z=Az+Bu+Efy=Cz] （8）

式中：[A=010001000]；[B=0b0]；[E=001]；[C=100Τ]。至此，线性扩展状态观测器设计完成。

[z=Az+Bu+Ly-Czy=Cz] （9）

式中[L]是观测器增益，在[-ωo]处进行极点配置：

[sI-A-LC=s+ωo3] （10）

式中：[L=[3ωo，3ω2o，ω3o]Τ]；[ωo]是观测器的带宽。

在得到估计的扰动之后，根据状态反馈控制律可以对扰动进行消除。此时，控制器的输出为：

[u=u0-z3b0] （11）

不考虑估计误差，公式（5）可以重新表达为：

[y=f-z3+u0=u0] （12）

此时，系统可以用PD控制：

[u0=kPr-z1-kDz2-z3] （13）

式中：[r]为设定值；[kP]、[kD]是需要调整的比例系数，且[K=[kP，kD]=[ω2c，2ωc]]，[K]表示控制器增益，[ωc]是控制器的带宽。因此，二阶LADRC只需要调整高频增益[b]、观测器带宽[ωo]和控制器带宽[ωc]这3个参数。

2.2" 目标函数的选取

在控制器优化设计过程中，常用的性能指标有ITAE、平方误差积分（Integral of Squared Error， ISE）、时间乘以平方误差积分和绝对误差积分。ITAE和ISE性能指标通常用于最小化目标函数中。ISE指标能够有效抑制大误差，但ITAE的倍增时间项使得优化过程更快，系统获得的稳定性更高[12]。因此，本文基于ITAE性能指标，同时考虑频率和联络线功率偏差，设计了以下最小化目标函数：

[Jmin=0Ttω1Δf1+ω2Δf2+ω3ΔPtiedt] （14）

式中：[T]是仿真时间；[Δf]（[Δf1]、[Δf2]）和[ΔPtie]为标称值下的频率偏差和联络线功率偏差；[ω1]、[ω2]和[ω3]为对应的权重系数。

3" 混沌自适应正余弦算法

3.1" 标准正余弦算法

正余弦算法是一种新型启发式优化算法，它是根据正弦函数和余弦函数的特征变化对个体进行更新。因该算法具有更新策略简单、调整参数少等优点，被应用于众多领域。基本正余弦算法中，个体位置更新为：

[Xt+1i，j=Xti，j+r1sin r2·r3Ptbest，j-Xti，j，" r4≤0.5Xti，j+r1cos r2·r3Ptbest，j-Xti，j，" r4gt;0.5] （15）

式中：[Xt+1i，j]为个体[i]在维度[j]上的更新解；[Xti，j]为个体[i]在维度上[j]的当前位置；[Ptbest，j]为第[t]次迭代中全局最优解的[j]维位置；[r2]、[r3]和[r4]三个参数都是服从均匀分布的随机数，[r2∈[0，2π]]，[r3∈[0，2]]，[r4∈[0，1]]；[r1]为正余弦振幅转换因子。[r1]公式为：

[r1=a-atTmax] （16）

式中：[a]为常数；[t]为当前迭代次数；[Tmax]为最大迭代次数。

3.2" 混沌自适应正余弦算法

3.2.1" 混沌⁃反向学习种群初始化

初始种群质量会影响算法的收敛速度和求解精度。而SCA是随机产生初始种群的，难以保证种群分布的多样性和均匀性。因此，本文采用Logistic混沌映射和反向学习[13]相结合的策略对种群进行初始化操作。首先由具有随机性、遍历性特点的混沌序列产生一组候选解，接着通过反向学习策略对候选解的当前解和反向解进行评估，最后选择适应度值较好的作为初始种群，一定程度上提高了种群的多样性和算法的寻优能力。Logistic映射是一种二阶、非线性和动态多项式映射，其数学表达式为：

[xk+1=μxk1-xk] （17）

式中：[k]表示迭代次数，[xk∈[0，1]]；[μ∈（0，4]]，本文取[μ=4]。

[Xi，j]的反向解计算公式为：

[Xti，j=ati+bti-Xti，j] （18）

式中：[ati]和[bti]分别表示种群中第[i]个个体的最小值和最大值，[ati=minXti]，[bti=maxXti]。

3.2.2" 自适应参数更新策略

在基本SCA中，参数[r1]用于平衡全局搜索和局部开发。而传统正余弦算法对参数[r1]采用线性递减的方式，迭代早期[r1]递减速率过快，全局搜索不充分；迭代晚期递减速率慢，算法无法快速收敛。本文结合抛物线型函数和余弦型函数的变化特点，设计了一种分段形式的非线性递减参数[r1]：

[r1=a1-tTη，" t≤12Tacosπt2T，" " " tgt;12T] （19）

式中：[a]为常数，取[a=2]；[η]为调节系数。根据式（19），改进后转换参数[r1]递减速率先慢后快。在迭代前期较大并缓慢减小，有效提高了全局搜索能力；在迭代后期迅速减小，加快了算法的收敛速度。

同时受粒子群中个体学习和社会认知环节的启发，将迭代过程中的个体历史最优位置加入到更新公式中，引导当前个体位置移动。得到改进后的个体位置更新公式：

[Vti，j=Xti，j+r1sin r2·r3Xi，Pbest-Xti，j+r4Pbesttj-Xti，j， r5≤0.5Xti，j+r1cos r2·r3Xi，Pbest-Xti，j+r4Pbesttj-Xti，j， r5gt;0.5] （20）

式中：[Xi，Pbest]为第[i]个个体的历史最优位置；[r4]、[r5]都是服从0～1均匀分布的随机数。

3.2.3" 最优个体莱维扰动

SCA在迭代后期，由于当前最优个体缺乏多样性，易导致算法陷入局部最优。针对这一问题，本文引入莱维飞行策略[14]对最优解进行扰动。莱维分布的数学表达式为：

[s=uv1β] （21）

[σu=Γ1+βsinπβ2Γ1+β2⋅β⋅2β-121βσv=1] （22）

式中：[s]为随机游走步长；[β]决定莱维分布的形状，[β∈0，2]；[u]和[v]都是服从正态分布的参数，[u∼N0，σ2u]，[v∼N0，σ2v]。

基于莱维飞行策略的最优个体变异更新公式可以写为：

[Xbnewt=Xbt+θt⋅Lévy⋅Xbt] （23）

式中：[Lévy]为服从莱维分布的随机数；[Xbt]为第[t]次迭代中的最优位置；[Xbnewt]为扰动后的位置；[θt]为权重系数，取[θt=1-tT2]。

在进行最优个体扰动操作后，由于无法确定扰动后的新位置一定比扰动前好，因此加入贪婪策略进行选择。贪婪策略公式为：

[Xb=Xbnew，nbsp; fXbnew≤fXbXb，" "fXbnewgt;fXb] （24）

通过融合三项策略从整体上对SCA进行了优化改进。 CASCA运算流程如图3所示。

4" 仿真实验结果与分析

4.1" 算法性能测试

为验证CASCA的性能，本文选取典型的13个基准函数进行实验仿真。其中：F1～F7为单峰基准函数；F8～F13为多峰基准函数。将CASCA与标准SCA、GWO[15]和SSA[16]进行比较。公平起见，实验中所有算法种群规模[N]设为30，最大迭代次数[Tmax]设为500，各算法独立运行20次。其中，CASCA的参数设置为：调节系数[η=1.8]、[β=1.5]。每种优化算法独立运行后的平均最优值和标准差结果如表1所示。

由表1结果可看出：在单峰测试函数上，CASCA的收敛精度在函数F1～F4远高于标准SCA、GWO和SSA，这表明CASCA局部搜索能力强，收敛性能好；在多峰测试函数上，CASCA能够找到函数F9、F11的理论最优解，说明CASCA在求解多峰优化问题时具有较高的全局搜索能力。CASCA在所有测试函数上的优化结果均优于标准SCA算法，有9个函数的优化结果优于GWO，有8个函数的优化结果优于SSA。因此，CASCA的综合优化性能最好。

4.2" 双区多源再热系统仿真

4.2.1" 阶跃扰动下的仿真结果分析

为了验证所提CASCA⁃LADRC控制策略的有效性，将该控制策略应用于双区域互联混合电力系统LFC中。对区域一施加1%的阶跃负荷扰动，来模拟电力系统中常见的用电负荷突然增加情况。通过CASCA对LADRC参数进行迭代优化，独立重复实验20次，选择性能表现最佳的结果作为LADRC控制器的参数，进行不同控制策略的性能对比，其中包括采用标准SCA优化LADRC、相同CASCA优化的PID控制器和FOPID控制器。不同控制策略下的系统频率偏差、联络线功率偏差和收敛曲线如图4所示。

不同控制策略下的目标函数值、优化时间以及系统响应的动态性能指标如表2所示。其中：[US]和[OS]分别表示最大负调量和最大超调量；[Ts]表示调节时间。

从图4动态响应曲线和表2性能指标数据可以看出，在所有控制策略中，所提出的CASCA⁃LADRC控制策略能够在最短的调节时间内将区域频率和联络线功率恢复到稳定的设定值，如[Δf1]的调节时间相比于SCA⁃LADRC、CASCA⁃PID和CASCA⁃FOPID分别缩短了10.2%、7.7%和12.9%，[ΔPtie]的调节时间仅为SCA⁃LADRC、CASCA⁃PID和CASCA⁃FOPID的47.7%、30.2%和29.9%。CASCA⁃LADRC虽然存在过冲，但最大的[OS]为5.40 mHz，远小于系统波动的标准。

此外，不同控制策略下的目标函数值通过性能指标[J]进行评估，而所提的控制策略在几乎不增加时间复杂度下具有最小的稳态性能指标，仅为SCA⁃LADRC、CASCA⁃PID和CASCA⁃FOPID的46.9%、22.3%和20.3%。综合对比分析可得，所提出的基于CASCA的线性自抗扰控制策略比现有控制策略具有更好的干扰抑制能力和快速稳定性能，证明了该方法的有效性和优越性。

4.2.2" 系统鲁棒性测试

环境因素会导致电力系统的结构参数发生变化，如当发电机组的调速器或汽轮机发生故障或被切除时，电力系统的等效参数即会改变。此外，负荷的突变也会造成发电机和负荷参数改变。为了研究所提出的CASCA⁃LADRC控制策略对于系统参数变化的鲁棒性，即探究LFC控制器在系统参数改变时的承载能力，本文在控制器参数不改变的情况下，在区域一t=5 s时施加2%的阶跃扰动、区域二t=20 s时施加1%的阶跃扰动，分析了区域偏差系数[B]在其标称值的±40%范围内变化情况。参数变化下的频率偏差和联络线功率偏差对比情况如图5所示。

从图5中可以看出，在系统参数和负荷扰动变化的情况下，区域频率偏差和联络线功率偏差均在标称值参数曲线附近，波动较小，满足负荷频率控制需求。仿真结果表明，所提出的CASCA⁃LADRC控制策略在系统参数发生较大变化时仍然具有良好的控制性能和较强的鲁棒性能。

5" 结" 语

针对含新能源的两区域多源互联系统LFC问题，本文提出了CASCA对LADRC参数进行优化的策略。通过仿真结果得到以下结论。

1） 通过融合混沌⁃反向学习种群初始化、自适应参数更新和最优个体莱维扰动三项策略对标准SCA进行改进，13个基准函数测试结果表明，CASCA在收敛速度和求解速度方面相较于SCA、GWO、SSA表现出更优的性能。

2） 相较于SCA⁃LADRC、CASCA⁃PID和CASCA⁃FOPID控制策略，本文所提出的CASCA⁃LADRC能够大大减少动态响应的稳定时间，并给出了最小的目标函数值，证明了所提策略处理多源互联LFC的优越性。

3） 参数变化下的仿真实验结果表明，CASCA⁃LADRC具有优越的抗干扰性能和鲁棒性，LFC系统更具稳定性。

此外，本文对电力系统模型进行了一定简化，后期将探究风电、储能、非线性环节等模块对系统频率的影响，以及考虑将线性自抗扰控制器与模糊控制、模型预测结合，解决初始峰值偏高的问题。

注：本文通讯作者为邹宽胜。

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作者简介：刘宝伟（1999—），男，江苏淮安人，硕士研究生，研究方向为电力系统智能控制、启发式优化算法。

邹宽胜（1983—），男，山东聊城人，博士研究生，副教授，研究方向为电力系统自动化、电力视觉、无模型控制。

张兆军（1981—），男，山东枣庄人，博士研究生，副教授，研究方向为智能算法及应用、人工智能。

林志芳（1990—），女，海南三亚人，博士研究生，讲师，研究方向为智能控制、磁约束聚变中破裂缓解和破裂预测。