小学数学早期代数推理培养的实践进路

摘 要 在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，“数与代数”领域增加了两个基本事实，即关系的传递性和等式的基本性质。这两个事实聚焦早期代数推理的培养。鉴于此，以“等量关系的传递”为载体，基于早期代数推理的培养，从内容本质的审视出发，确定学习目标，进而设计学习任务，培育学生的推理意识。

关 键 词 小学数学；早期代数推理；等量关系的传递

引用格式 林长龙，马天红，彭亮.小学数学早期代数推理培养的实践进路[J].教学与管理，2024（32）：39-41+50.

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《新课标》）中，“数与代数”领域增加了两个基本事实，即关系的传递性和等式的基本性质。传递性是指：如果a=b，b=c，那么a=c；如果a＞b，b＞c，那么a＞c；等式的基本性质是指：如果a=b，那么a±c=b±c；如果a=b，那么ac=bc或a÷d=b÷d（d≠0）。这两个事实是为了实现早期代数推理，同时这一推理也是为了更好地衔接初中推理的内容[1]。有研究表明，在小学阶段有意识地培养学生代数推理能力能够为学生更好地适应中学代数内容的学习提供相应的支持[2]。作为一个新增加的内容，如何理解这一新的内容，如何更好地落实这一新的内容，以及通过这些内容落实早期代数推理的培养等问题成为小学数学教学实践中较为关心的话题。鉴于此，笔者以“等量关系的传递”为载体，探索这一内容的理解与实践方式，为早期代数推理的培养提供参考。

一、 “等量关系的传递”内容审视

早期代数推理的培养必须结合小学阶段内容的特点，这是避免人们对在小学阶段培养早期代数推理的质疑的重要基础[3]。正因此，“等量关系的传递”这一内容的理解可从数学知识本质、数学学习内容以及其与素养的内在关联三个方面予以分析，进而把握这一内容在早期代数推理中的作用。

1.基于数学知识本质的分析

欧几里得在《几何原本》中提出了五条公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，其和相等；（3）等量减等量，其差相等；（4）彼此能重合的物体是全等的；（5）整体大于部分。这或许是“等量关系的传递”这一内容对应的数学知识的来源，即其对应于五条公理中第一条公理。在欧几里得看来，所谓的公理是一些不加证明而被承认的命题[4]，他利用这些命题，经过逻辑演绎，产生了诸多新的结论。由此可以看出，至少在《几何原本》中，这一数学知识有两个特点：一是这一内容是无须证明即可得到承认的命题，换言之，这一命题存在于人类生活之中且属于简单的常识，人们去理解和认可它没有任何困难；二是这一内容是数学推理必备的命题之一，换言之，它的价值在于数学推理之中。基于这两个特点，“等量关系的传递”的知识本质在于了解这一命题在现实世界中广泛存在且有利于人们进行推理乃至数学推理。

2.基于数学学习内容的分析

在《新课标》中，“等量关系的传递”属于第二学段“数量关系”的内容，其内容要求是“能在具体情境中了解等量的等量相等”；学业要求是“能在真实情境中，合理利用等量的等量相等进行推理，形成初步的推理意识”；教学提示则是“利用现实背景，引导学生理解等量的等量相等这一基本事实，形成初步的推理意识”[5]。从《新课标》的要求中可以看出，“等量关系的传递”这一内容的学习需要关注两个方面：一是理解“等量关系的传递”，二是形成“初步的推理意识”。这其中，理解是基础，形成推理意识是培育学生的素养。由此也可以看出，数学学习内容的两个层面是对应于数学知识的，符合数学知识本质的特点。

3.基于核心素养表现的分析

正如上文所述，无论是从数学知识本质的角度，抑或从数学学习内容的角度，“等量关系的传递”对应的核心素养的表现是推理意识。结合《新课标》中推理意识的具体表现，“等量关系的传递”应该对应于推理意识中的“知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论”这一具体表现，这里的“等量关系的传递”可以视为“规则”。以此来看，作为培育推理意识的“等量关系的传递”应该将其作为一种“规则”应用于简单的推理之中，在已知的一些事实和命题之下，借助这一“规则”得到或验证其他一些命题或结论。就此而言，《新课标》中所要求的“初步的推理意识”实则是应用“等量关系的传递”进行简单的推理，进而说明或得到其他一些结论。而这也符合推理的核心，即一个简单推理是逻辑推理当且仅当这个简单推理具有传递性[6]。

二、“等量关系的传递”学习目标确立

基于上述的分析，结合早期代数推理培养的旨向，“等量关系的传递”的学习目标应该包括以下三个方面。

1.在真实情境中初步理解“等量关系的传递”

正如上文所述，“等量关系的传递”的《新课标》要求是：“能在具体情境中了解等量的等量相等”。对于“了解”这一行为动词的具体解读为：能从具体实例中说明对象的有关特征，根据对象的特征，从具体情境中辨认或举例说明对象。不难发现，因为学生认知发展水平的阶段性特点，《新课标》并未对学生提出过高的要求，对学生的掌握水平评价为“了解”。因此第一个教学目标就是：借助真实情境，让学生初步理解“等量关系的传递”。

那么学生怎样的表现才能算作是初步理解“等量关系的传递”呢？我们认为这一初步理解包括两个方面：一是学生能够在具体的情境中使用文字、字母完整地表达等量关系传递的过程；二是在表达的基础上感受等量关系传递的特征，即在两个等量关系中，存在一个相同的量就可以推出新的等量关系。学生能够感受到等量关系是如何传递的，以及这个相同的量具有“桥梁”的作用，正是通过这个相同的量才能进行传递，从而理解什么是等量关系的传递。

2.在含有“不同量”的情境中深化理解

对于《新课标》中“利用现实背景，引导学生理解等量的等量相等这一基本事实，形成初步的推理意识”。我们的理解是：学生在初步理解“等量关系的传递”的基础上，能够在不同的情境中识别“等量关系的传递”，从而深化“等量关系的传递”的理解。这是这一内容的理解和后续早期代数推理培养的桥梁。

同样，学生达到什么样的认知水平才能算作是深入地理解“等量关系的传递”了呢？我们认为深化的关键是抓住等量关系传递过程中的关键量，即“相同的量”，在更加丰富的情境中能够准确找到这个相同的量。这里的丰富有两个原则：其一是丰富“量的内涵”，不再局限于质量；其二就是丰富“量的范围”，相同的量可以是多个数量的同一种物体，也可以是不同物体的组合。从而让学生明确相同的量的本质是在两个等量关系中都存在且完全相同的量。

3.运用“等量关系的传递”进行说理和推导

早期代数推理的培养是这一内容的核心旨向，但“等量的等量相等”这一公理已经在学生以往的学习过程中多次渗透，只是没有完整、准确地揭示背后的道理。因此，学生具备利用“等量关系的传递”进行推理的模糊经验，而在这一内容中需要将这一推理意识变得更为明确，形成一定的早期代数推理的意识。

我们认为这一推理意识的明确需要让学生能够使用“等量关系的传递”进行说理和推导。具体而言，一方面，学生在经历认识、识别和深化理解之后，需要回顾之前解决过的问题，尝试利用“等量关系的传递”去说理、去完善之前推理的过程，让学生经历完整的推理过程，感受数学的严谨性和逻辑性。另一方面，学生能够使用“等量关系的传递”去推导一些简单的结论。在简单推导的过程中进一步感受逻辑推理两个特征：一是论证的对象不变，二是对象的性质不变。从而培育学生的早期代数推理意识。

三、 “等量关系的传递”学习任务设计

基于上述学习目标，“等量关系的传递”的学习任务可以作以下一些设计。

1.利用简单直观的真实情境，分层揭示，理解公理

“等量的等量相等”这一数学公理或基本事实，在表达上具有高度的概括性和抽象性，因此学生在理解上存在难度。基于此，通过简单的、直接的天平平衡情境（如图１），逐步推进，让学生经历“找两个等量关系（相等关系）→说两个等量关系→发现相同的量→推理新的等量关系→字母式表达等量关系的传递→对比揭示等量关系的传递”。在这个过程中要逐步培养学生的准确表达，适时引导、分层推进。

图1 天平平衡情境图

2.在稍复杂的真实情境中识别公理，深化理解公理

深化理解公理需要学生阐述对象之间的区别和联系。这就需要学生在理解公理的基础上，根据稍复杂的真实情境重演公理，也就是“讲等量关系的传递”的故事，其中的关键是准确地识别和确定“相同的量”。同时情境的内容不仅是形式上的丰富，而且要适当提高“量”的种类和数量。在学生“讲故事”的过程中，教师在不断规范学生表达的同时引导学生观察对比：不同情境中“等量关系的传递”有什么联系和区别。为了落实这一学习目标，我们设计了三个任务。

任务一：不同物体数量的情境。

图2 不同物体数量情境图

同桌合作：

圈一圈：圈出你认为比较关键的量。

说一说：同桌之间说一说他们之间等量关系传递的故事。

任务二：不同物体组合的情境。

图3 不同物体组合情境图

同桌合作：

写一写：写出他们之间等量关系传递的故事，可以使用字母也可以使用文字。

说一说：同桌之间说一说有什么相同和不同。

任务三：对比观察，揭示特征。

出示三组情境对比图。

图4 三组情况对比图

提问：这里相同的量和之前有什么相同和不同。

3.在应用公理解决问题的过程中，完善等量关系的传递及推理过程

应用公理解决问题的关键不在于问题的结果，而在于解决问题的方法。呈现学生熟悉的练习，让学生尝试使用“等量关系的传递”解释之前解决此问题的道理，让学生养成有条理地讲道理的习惯。在练习中，等量关系的传递相比之前没有那么直接和完整，需要学生在观察的基础上简单推理，完善等量关系的传递，从而借助等量关系的传递解决或解释问题，发展学生早期代数推理的意识，规范他们的推理过程。为此，我们设计以下两个任务。

任务一：完善等量关系的传递，解决问题。

图5 完善等量关系情境图

这一任务的目的是使学生认识到，找两个相等关系中的相同量是“等量关系的传递”的关键。如果没有，我们可以通过推理找到。

任务二：利用等量关系的传递，解释解决问题的过程。

图6 利用等量关系解释问题解决过程情境图

这一任务的目的是使学生认识到，在两个相等关系中，有一个量是相同的，就能够推理出另外两个量是

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相等的，从而建立一个新的等量关系。

4.延伸学习内容，铺垫后续学习的内容

其实，等量关系可以传递，不等关系也能传递，所以有必要对这一内容进行延伸，学习不等关系，从而让学生进一步感受到代数推理的特点。为此，我们设计了这样一个课后任务。

图7 不等关系传递情境图

教师须向学生说明，今天我们借助天平平衡的故事，发现了等量关系的传递。图7的天平，它们是不等量关系，不等量关系也能传递吗？你能说说他们的故事吗？以此引发学生后续的学习。

早期代数推理已经引发越来越多的研究者和实践者的关注，并且大部分研究者和实践者都认为小学阶段的诸多内容都可以培育学生的代数推理意识。因而，我们可以在上述实践的基础上开展其他领域代数推理的探索，从而助力学生推理意识的养成。

参考文献

[1] 史宁中.核心素养统领的数学教育——《义务教育数学课程标准（2022年版）》修订的理念与要点[J].小学教学（数学版），2022（Z1）：4-12.

[2] KIERAN C.The learning and teaching of school algebra [M] // GROUWS D A.Handbook of research on mathematics teaching and learning.New York：Macmillan，1992：390–419.

[3] James J.Kaput，David W.Carraher，Maria L.Blanton.ALGEBRA in the Early Grades[M].New York：Lawrence Erlbaum Associates，2008.

[4] 张景中.欧几里得的公理方法[J].中学生数理化，2023（04）：3.

[5] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：21-23.

[6] 史宁中.试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有逻辑的推理[J].数学教育学报，2016，25（04）：1-16+46.

[责任编辑：陈国庆]