整体建模：促进学生数学学习进阶

数学是对客观现实世界的一种符号化的抽象概括。数学学科知识蕴含着现实世界数量关系、空间形式的本质、关系、规律。引导学生学习数学，关键就是要让学生经历数学模型的建构过程。数学建模不仅仅是指知识建模，同时也包括方法建模、思想建模等。引导学生数学建模，要让学生积极主动地模仿、尝试、迁移和创新。通过引导学生数学建模，能有效开掘学生数学学习的潜质，发掘学生数学创新的潜能。

一、着眼于“知识块”：对数学知识的整体建模

数学建模首先是对数学学科知识的建模。数学学科知识建模，就是要让学生对数学学科知识有一个整体性、系统性的把握。传统的数学教学，往往只注重知识点的建模，这样一种数学建模容易让学生的数学学习陷入“碎片化”“散点化”“孤立化”的境地。整体建模，要求教师引导学生进行“知识块”的整体建构，让学生借助同化、顺应等方法建立更大的图式。这种图式还应当具有开放性、生成性，应当具有一种包摄性、迁移性的特点。作为教师，要善于提炼数学学科知识中的模型因子。

例如，教学《异分母分数加减法》一课时，教师首先让学生进行自行探索。学生运用各种方法尝试计算，如“化小数法”“画图法”“通分法”等。在方法的比较中，学生发现了“画图法”的复杂性、“化小数法”的局限性（比如不能将分数化成有限小数）以及“通分法”的普适性。通过方法的比较，学生能够深刻地认识到“通分法”的优势。在此基础上，教师引导学生思考：同分母分数相加减需要通分吗？异分母分数相加减为什么需要通分呢？“异分母分数加减法”和“小数加减法”“整数加减法”的算理有相通的地方吗？通过这样的追问，引导学生进行比较，让学生找寻到“整数加减法”“小数加减法”“分数加减法”的共同点，即“只有计数单位相同才能直接相加减”。由此，学生就建构了“数的加减法”（包括整数加减法、小数加减法、分数加减法）的一般性模型。数学学科知识就被有效地串接、组块起来了。这样的一种数学模型经过渐进的提升、抽象，学生就能够深刻认识到“单位相同”计算的重要性。“单位相同”不仅仅是指“数的加减法”，也指“数量的加减法”等。

整体建模有助于学生建构数学学科知识的上位概念、大概念、高观点等。作为教师，要善于从数学学科中的“某一个”知识点的算法、算理等，发掘出“某一类”知识点的算法、算理等。通过对数学学科知识的整体性建构，让学生在数学学习过程中能举一反三、触类旁通，让学生的数学探究力、思维力、实践力等都能获得整体性的发展和提升。

二、着眼于“方法链”：对数学方法的整体建模

数学学科课程学习的整体性建模，还包括方法性、思想性的建模。相较于知识建模，方法建模、思想建模更具有一种启发性、迁移性。从某种意义上说，学生数学学科课程内容的学习就是对数学学科方法的不断总结、提升的过程，也就是方法的整体建模过程。作为教师，要善于发掘方法中的模型因子，让学生感受、体验方法的普适性、应用的广泛性等特质。方法的整体性建模，能有效提升学生的数学学习力、发展学生的数学核心素养。

例如，教学《梯形的面积》一课后，教师一方面引导学生总结知识，另一方面引导学生进行知识迁移和应用。在这个过程中，“梯形的面积”不仅作为一种知识模型被建构出来，而且其方法建模的意义也逐步得到了体现。首先，引导学生回顾多边形的面积公式，并借助多媒体课件，呈现梯形的上底动态演变为一个点，从而变成一个三角形的画面，启发学生认识到当梯形的上底为0时，梯形的面积就是三角形的面积；其次，借助多媒体课件，进一步呈现当梯形的上底延长到和下底等长时，就变成了一个平行四边形的画面，启发学生认识到当梯形的上下底相等时，梯形的面积公式就是平行四边形的面积公式。通过这样的教学，学生能够建构多边形面积计算的方法模型——“梯形模型”。不仅如此，教师还向学生展示了一堆钢管堆砌成梯形形状，钢管的根数也可以用梯形的面积计算模型来计算。通过这样的教学，学生能认识、体验到“梯形的面积”作为一种计算模型的应用广泛性、策略普适性的特点。

多边形的面积计算方法是多样化的，但借助梯形的面积计算公式的模型，却能将多边形的面积计算公式统一起来。对数学方法的整体模型建构，不仅仅是让学生掌握知识，更重要的是让学生获得一种模型化思考问题、解决问题的意识、品质和习惯等。只有让学生对数学方法进行整体性建构，才能感受、体验到数学学科课程的内在魅力。

三、着眼于“思想群”：对数学思想的整体建模

对数学学科课程内容的整体性建模，最重要的就是思想建模。很多学生在数学学习中感到力不从心，究其根本，是学生没有掌握相关的思考策略、思维策略、思想方法等。着眼于“思想群”，教师要对数学学科的典型思想进行整体性建模。小学数学学科教学中，教师要让学生逐步养成类比、转化、分类、整体思考等思想。数学的整体性建模，能促进学生数学思想方法的内生性生长。在引导学生建模的过程中，教师要丰富建模内容、激发学生的建模兴趣、指导学生的建模方法，渗透建模思想。

例如，教学《解决问题的策略——转化》一课时，教师不仅可以从“数与代数”领域引入相关的课程资源、素材，如“小数乘法转化成整数乘法”“异分母分数加减法转化成同分母分数加减法”“除数是小数的除法转化成除数是整数的除法”等，而且可以从“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”等相关数学学科知识领域引入课程资源、素材等，如“多边形的面积转化”“圆柱体的体积转化成近似的长方体”“圆锥的体积转化成等底等高的圆柱体的体积”等。通过丰富的课程资源、素材，让学生总结“转化”思想的一般性策略，建立关于数学“转化”思想的模型，即“将陌生转化为熟悉”“将复杂转化为简单”“将未知转化为已知”。这样的一种转化模型的建构，能让学生形成一种“转化”的思维方式和行动方式。当学生在今后遇到数学新知时，自然能从“转化”的思想视角、“转化”的思想立场来思考问题、考量问题、探究问题等。通过数学思想的建模，能让数学思想印刻在学生的心中，让数学思想在学生头脑中处于一种待唤醒的孕伏状态。

着眼于数学“思想群”“思想库”，教师在数学教学中要有意识地进行思想建模。通过思想的整体建模，学生能感受到数学思想的魅力，感受到数学思想背后数学文化的魅力。数学思想是丰盈的，作为教师要有意识地将之融入、渗透在数学学科知识的教学之中，要着力于提升学生的数学思想、方法，促进数学思想的模型建构。数学知识、方法、思想等的整体模型建构，能让学生的数学认知、思维等不断进阶，让学生的数学学力、素养等不断生成。

引导学生建构数学模型，一般来说要经历模型的假设、模型的建构、模型的应用等过程。作为教师，要在引导学生数学整体建模的过程中培养其“数学的眼光”“数学的大脑”，让学生能“用数学的语言”来表达。实践证明，数学模型的建构让学生的数学学习更有意义、更有价值，让学生的数学学习更有情趣、更有活力。

（本文系江苏省教育科学“十四五”规划课题“基于整体建构的小学数学建模教学研究”阶段性研究成果，课题批准号：C-b/2021/02/79。）

（作者单位：江苏省海安市城南实验小学）

（责任编辑 张妤）