例析二次式构造在不等式问题中的应用

二次函数、方程、不等式三者之间联系密切，在高中数学中有非常重要的作用.深刻理解二次函数、方程、不等式之间的本质联系，对于解决一些较复杂的不等式问题也有很好的借鉴意义.本文通过几道例题来说明其在不等式问题中应用.

例1 已知x、y、z∈0，1〗，满足xyz=1－x21－y21－z2，求xyz的最大值.

析解：根据问题，尝试构造含有xyz的不等式，考虑对等式的右边用基本不等式放缩.

解：xyz16=1－x1－y1－z13≤1－x+1－y+1－z3=1－x+y+z3≤1－xyz13，

令xyz16=t，则t≤1－t2，结合x、y、z∈0，1〗解得0≤t≤－1+52，当且仅当x=y=z=－1+522=3－52时，t有最大值－1+52，故xyz有最大值－1+526.

评注：构造不等式是求变量的最值或范围的常用思路.根据同样的解题思路，可以获得本题结论的一般形式如下：x1，x2，…，xn∈0，a〗，且x1x2…xn=a－x12a－x22…a－xn2，则x1x2…xn的最大值为－1+4a+122n.

例2 设a、b、c∈0，1〗，x=a+b+c3、y=a2+b2+c23，求y－x2的最大值.

析解：y－x2=a2+b2+c23－a+b+c32，将a作为主元进行整理可得y－x2=29a2－29b+ca+29b2+29c2－29bc，

得到关于a（a∈0，1〗）的二次函数，函数图像开口向上，记y－x2=f（a，b，c），对于固定的b、c，根据关于a（a∈0，1〗）的二次函数的图像特征，y－x2=f（a，b，c）≤max{f（0，b，c），f（1，b，c）}，同理y－x2=f（a，b，c）≤maxa、b、c∈0，1{f（a，b，c）}，即y－x2的最大值为maxa、b、c∈0，1f（a，b，c）.

当a、b、c全为0，y－x2=0；当a、b、c两个为0，一个为1，y－x2=13－132=29；当a、b、c一个为0，两个为1，y－x2=23－232=29；当a、b、c全为1时，y－x2=33－332=0.所以y－x2的最大值为29.

评注：本题通过将地位平等的a、b、c三个变量，分别设为主元，再利用二次函数在给定区间上的图像，逐步调整的思路获得最大值.

例3 若x、y、z∈2，3〗，证明x2+y2－z2x+y－z+y2+z2－x2y+z－x+z2+x2－y2z+x－y≤2x+2y+2z－6.

析证： 根据待证不等式的结构特征，首先考虑将不等式分解为如下三个简单不等式分别尝试进行证明：x2+y2－z2x+y－z≤x+y－2；y2+z2－x2y+z－x≤y+z－2；z2+x2－y2z+x－y≤z+x－2.

先证x2+y2－z2x+y－z≤x+y－2，即证x2+y2－z2≤x+y－2x+y－z.设z为主元整理得z2－x+y－2z－2x－2y+2xy≥0.

∵x－2≥0，y－2≥0，则x－2y－2≥0，即xy－2x－2y+4≥0.

所以z2－x+y－2z－2x－2y+2xy≥0化为z2－x+y－2z+2x+2y－8≥0.

令fz=z2－x+y－2z+2x+2y－8，对称轴为z=x+y－22∈1，2〗，fz的最小值为f2=22－x+y－22+2x+2y－8=0.故z2－x+y－2z－2x－2y+2xy≥0成立，即x2+y2－z2x+y－z≤x+y－2得证.

同理y2+z2－x2y+z－x≤y+z－2；z2+x2－y2z+x－y≤z+x－2成立，三个不等式相加可知原不等式成立.

评注：本题先将一个较为复杂的不等式根据结构特征进行分解，再同例2，在多个平等变量中设置一个变量作为主元构造二次函数，利用二次函数的性质证明不等式.

例4 设x、y、z为正实数，a、b、c为非负实数，满足a+b+c=1，t为x、y、z中最大值与最小值之差，证明：ax+by+cz≤1ax+by+cz+t2.

析证： t的表达式不确定，可不妨设x≤y≤z，则t=z－x，则要证ax+by+cz≤1ax+by+cz+t2，即证ax+by+cz≤1ax+by+cz+z－x2.

即证ax+by+czax+by+cz≤1+z－x2ax+by+cz，

即证1－ax+by+cz－z－x2ax+by+cz≥0.

观察上式左边乘4得4－4ax+by+cz－z－x2ax+by+cz.联系到二次方程根的判别式的结构特征构造二次函数f（u）=ax+by+czu2－2u+（（ax+by+cz）－z－x2）.

观察f（u）的解析式，令u=xz，则f（zx）=ax+by+czzx2－2zx+（（ax+by+cz）－（z－x）2）=az+cx+bxzy+ax+by+cz－x－z=－bz－bx+bzxy+by=byy－xy－z≤0.

又有f（u）开口向上，故关于u的二次方程f（u）=0有两个不等或相等的实根，故Δ≥0，即1－ax+by+cz－z－x2ax+by+cz≥0，即ax+by+cz≤1ax+by+cz+t2成立.

评注：本题根据要证的不等式结构，对比二次方程的判别式构造二次式，结合已知条件判断对应二次函数的图像特征，获得对应二次方程的判别式的正负.

由以上实例可见，在不等式问题的解决中，如考虑构造二次式的思路，应该把握好题中条件或结论的结构上的特点，从这些特点出发，尝试根据某些重要不等式放缩、设立主元或和二次函数中一些诸如顶点坐标、判别式进行对比，构造二次不等式、函数或方程，从而找到问题解决的突破口.