构建方程求最值，数形结合探本质

函数最值问题涉及到函数解析式结构，而且当函数解析式结构复杂时，问题往往也较难解决，本文以一道经典试题为题，通过探究该题的解答过程，很好体现了如何构建方程，采用数形结合思想解答函数最值问题，现将笔者的思考展现如下，以飨读者.

一.问题提出

原题 设函数f（x）=1-xx-a，则下列说法正确的是.

A.若a<0，则f（x）在0，1上单调递减

B.若a>1，则f（x）min=f（1a）

C.若a=1，则f（x）≤-11-x

D.若a∈（0，1），f（x）无最大值，也无最小值

根据以上问题及问题的解答过程的启示，可以提出如下三个探究.

探究1 当a>2时，f（x）=4-xx-a的最小值为.

探究2 当a>1时，f（x）=1-3xx-a的最小值为.

探究3 当0<a<1时，f（x）=1+xx-a的最大值为.

二.问题解析及评注

原题 设函数f（x）=1-xx-a，则下列说法正确的是.

A.若a<0，则f（x）在0，1上单调递减

B.若a>1，则f（x）min=f（1a）

C.若a=1，则f（x）≤-11-x

D.若a∈（0，1），f（x）无最大值，也无最小值

解析：对于A选项，当a<0时，f（x）的定义域为0，1.此时有y=1-x在0，1上单调递减，y=x-a在0，1上单调递增.故f（x）在0，1上单调递减.A正确.

对于B选项，解法一：（反证法）当a>1时，f（x）的定义域为0，1.假设此时f（x）min=f（1a）成立.那么对a>1，0≤x≤1，都有f（0）≥f（1a）恒成立，即-1a≥1-1a1a-a，化简得a+1a-2a≤0，显然，该式取a=4时，14≤0不成立.故f（x）min≠f（1a）.

解法二：（换元法）当a>1时，f（x）的定义域为0，1.令1-x=m∈0，1，x=n∈0，1，则f（x）=mn-a.因为m2+n2=1，且mn-a=m-0n-a可看作是点A（m，n）与点B（a，0）连线的斜率，所以问题可转化为求过定点（a，0）的直线l与一段圆弧：m2+n2=1（m∈0，1，n∈0，1）上的点与定点（a，0）连线斜率的最小值.由题意有m2+n2=1，nm·nm-a=-1，解得m=1a，即1-x=1a，解得x=1-1a2，故f（x）min=f（1-1a2），所以B错误.

对于C选项，当a=1时，f（x）的定义域为0，1，f（x）=1-xx-1≤-11-x，化简得x≤x，该式在x∈0，1时恒成立，故C正确.

对于D选项，当a∈（0，1）时，f（x）的定义域为0，1Ua，1.当x→a+时，f（x）→+∞；当x→a-时，f（x）→-∞.所以f（x）无最大值，也无最小值.D正确.

三.反思与探究

关于选项B，本题利用换元法将问题转化为求过定点（a，0）的直线l与一段圆弧上的点与定点（a，0）连线斜率的最值问题，进而通过数形结合求解，实现问题求解目标的等价转换.

问题2 根据以上问题及问题的解答过程的启示，你还能提出什么问题？请解决你提出的问题.

如果改变根式中x的系数或常数项，能否同样地利用换元法将问题转化为求斜率的最值问题？找到解决这类问题的通性通法.将问题进行如下变式：

探究1 当a>2时，f（x）=4-xx-a的最小值为.

解析：令m=4-x，n=x，x∈0，4，m∈0，2，n∈0，2，由m2+n2=4（0≤m≤2，0≤n≤2），得（m，n）以原点（0，0）为圆心，半径为2的圆的14圆弧，f（x）=4-xx-a=mn-a的最小值为圆弧上的点与点（a，0）连线的斜率最小值，即当过点（a，0）的直线与圆弧相切时，斜率有最小值.

设直线方程为y=k（x-a）（k<0），由直线与圆弧相切d=r，得d=-akk2+1=2，得kmin=-4a2-4.∴f（x）min=-4a2-4.

评注：改变圆弧半径的大小，不改变（m，n）的形状，让学生掌握此解题方法，培养学生学以致用的数学意识，体会换元法与数形结合思想方法的优点.

探究2 当a>1时，f（x）=1-3xx-a的最小值为.

解析：令m=1-3x，n=x，x∈0，13，m∈0，1，n∈0，13.

由m2+3n2=1（0≤m≤1，0≤n≤13），即m2+n213=1，得（m，n）的轨迹是以a=1，b=33的椭圆方程在m≥0，n≥0的曲线.f（x）=1-3xx-a=mn-a的最小值为曲线上的点与点（a，0）连线的斜率最小值，即当过点（a，0）的直线与椭圆相切时，斜率有最小值.

设直线方程为y=k（x-a）（k<0），联立y=k（x-a），m2+3n2

得x2+3k2（x-a）2=1，化简得（1+3k2）x2-6ak2x+3a2k2-1=0，

∴△=（-6ak2）2-4（1+3k2）（3a2k2-1）=0，得k2=13a2-3，kmin=-13a2-3.

∴f（x）min=-13a2-3.

评注：改变根式中x的系数，此时（m，n）的形状变为椭圆上的一段曲线，让学生的思维更进一步，探究直线与椭圆的位置关系.问题设计体现了层层递进，循序渐进的原则，培养了学生运用数形结合、化归与转化的数学思想方法解决问题的能力.

探究3 当0<a<1时，f（x）=1+xx-a的最大值为.

解析：令m=1+x，n=x，x∈0，+∞，m∈0，+∞，n∈0，+∞.

由m2-n2=1（m≥0，n≥0），得（m，n）的轨迹是以a=1，b=1的双曲线方程在m≥0，n≥0的曲线部分.f（x）=1+xx-a=mn-a的最大值为曲线上的点与点（a，0）连线的斜率最大值，即当过点（a，0）的直线与双曲线相切时，斜率有最大值.

设直线方程为y=k（x-a）（k>0），联立y=k（x-a），m2-n2=1

得x2-k2（x-a）2=1，化简得（1-k2）x2+2ak2x-（a2k2+1）=0，

∴△=（2ak2）2+4（1-k2）（a2k2+1）=0，得k2=11-a2，kmax=11-a2.

∴f（x）max=11-a2.

评注：改变根式中x的系数，此时（m，n）的形状变为双曲线上的一段曲线.问题的设计从圆→椭圆→双曲线，体现了思维的延续性与发散性，同时也提升了学生的数学运算、逻辑推理的核心素养，也可以尝试让学生自己进行变式，进而理解和掌握数形结合思想，同时深刻理解解析几何在解决这类函数最值问题，也是发挥着及其重要作用的，让学生学会思考，学会学习有积极作用，在上述过程中，借助数形结合实际解决了这样一类函数f（x）=x+bx－a最值与圆，椭圆，双曲线之间的本质联系.

参考文献

［1］贾永进，赵永彩，杨列敏.对一类解析几何问题的探究［J］.中学数学参考（上旬）.2020（11）：52-54.