对一类圆锥曲线相交弦中点问题的探究

一、试题呈现与解析

题目 已知点A－2，0，B2，0，动点P满足直线PA与PB的斜率之积为－34，记动点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点F1，0与曲线E相交的两条线段AB和CD相互垂直（斜率存在，且A，B，C，D在曲线E上），M，N分别是AB和CD的中点，求证：直线MN过定点.（江西省上饶市2024届高三一模第21题）

解析：（1）设Px，y，由题意得kPA·kPB=yx+2·yx－2=－34，整理得x24+y23=1x≠±2.

（2）设直线AB方程为y=kx－1，Ax1，y1，Bx2，y2，联立y=kx－1，

3x2+4y2=12，

得4k2+3x2－8k2x+4k2－12=0，由韦达定理得x1+x2=8k24k2+3，所以xM=x1+x22=4k24k2+3，

yM=kxM－1=－3k4k2+3，得M4k24k2+3，－3k4k2+3，同理N43k2+4，3k3k2+4.由对称性可知直线MN定点在x轴上，不妨记为Tt，0.因为M，T，N三点共线，所以MT∥NT，所以t=xNyM－xMyNyM－yN=47，直线MN过定点47，0.

我们发现xM=4k24k2+3，yM=－3k4k2+3，消去k可得3x2M+4y2M－3xM=0，所以点M的轨迹方程为3x2+4y2－3x=0，不难发现点F，N也在曲线3x2+4y2－3x=0上.如果我们把椭圆方程一般化，F1，0改为定点Px0，y0，kAB·kCD=－1改为kAB·kCD=λ或kAB+kCD=λ（λ为常数），还能得到类似的结论吗？

二、试题推广

结论1 过定点Px0，y0作与椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0相交的两条线段AB和CD

（斜率存在，且A，B，C，D在曲线E上），M，N分别是AB和CD的中点.若kAB+kCD=λλ≠0，

则直线MN恒过定点x0－y0λ，－b2x0a2λ，若kAB·kCD=λλ≠b2a2，则直线MN恒过定点a2λx0a2λ－b2，－b2y0a2λ－b2.

证明：当直线AB斜率不存在时，Mx0，0.当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=kx－x0+y0，Ax1，y1，Bx2，y2，联立y=kx－x0+y0，

b2x2+a2y2=a2b2， 得a2k2+b2x2+2a2ky0－2a2k2x0x+a2k2x20－2a2kx0y0+a2y20－a2b2=0，由韦达定理得x1+x2=2a2kkx0－y0a2k2+b2，所以xM=a2kkx0－y0a2k2+b2，yM=－b2kx0－y0a2k2+b2，消去k可得b2x2M+a2y2M=b2x0xM+a2y0yM，所以点M的轨迹方程为b2x2+a2y2=b2x0x+a2y0y，不难发现点P，N也在曲线b2x2+a2y2=b2x0x+a2y0y上.

设直线MN方程为mx－x0+ny－y0=1，对b2x2+a2y2=b2x0x+a2y0y变形b2［x－x0+x0］2+a2［y－y0+y0］2=b2x0［x－x0+x0］+a2y0［y－y0+y0］，化简整理得a2y－y02+b2x0x－x0+a2y0y－y0+b2x－x02=0，齐次化后得a2y－y02+［b2x0x－x0+a2y0（y－y0）］［mx－x0+ny－y0］+b2（x－x0）2=0，两边同除x－x02整理得（a2+a2ny0）y－y0x－x02+（b2nx0+a2my0）y－y0x－x0+b2mx0+b2=0，记k=y－y0x－x0，所以a2+a2ny0k2+（b2nx0+a2my0）k+b2mx0+b2=0，不难发现方程两根为kAB，kCD，由韦达定理得kAB+kCD=－b2nx0+a2my0a2+a2ny0，kAB·kCD=b2mx0+b2a2+a2ny0.当kAB+kCD=λλ≠0时，即－b2nx0+a2my0a2+a2ny0=λ，整理得－y0λm－b2x0+a2λy0a2λn=1，所以直线MN过定点x0－y0λ，－b2x0a2λ.当kAB·kCD=λλ≠b2a2时，即b2mx0+b2a2+a2ny0=λ，整理得b2x0a2λ－b2m－a2λy0a2λ－b2n=1，所以直线MN过定点a2λx0a2λ－b2，－b2y0a2λ－b2.

如果把椭圆换成双曲线或抛物线，还会有类似的结论吗？

结论2 过定点Px0，y0作与抛物线E：y2=2pxp>0相交的两条线段AB和CD（斜率存在，且A，B，C，D在曲线E上），M，N分别是AB和CD的中点.若kAB+kCD=λλ≠0，则直线MN恒过定点x0－y0λ，pλ，若kAB·kCD=λλ≠0，则直线MN恒过定点x0－pλ，0.

证明：当直线AB斜率不存在时，Mx0，0.当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为

y=k（x－x0）+y0，联立y=kx－x0+y0，

y2=2px， 得

k2x2+（2ky0－2k2x0－2p）x+k2x20－2kx0y0+y20=0，

所以xM=k2x0+p－ky0k2，yM=pk，消去k后得y2M=y0yM+pxM－x0，所以点M的轨迹方程为y2=y0y+px－x0，不难发现点P，N也在曲线y2=y0y+px－x0上.

设直线MN方程为mx－x0+ny－y0=1，对y2=y0y+px－x0变形y－y0+y0〗2=y0y－y0+y0〗+px－x0，化简整理得y－y02+y0y－y0－px－x0=0，对其齐次化y－y02+［y0y－y0－px－x0］［mx－x0+ny－y0］=0，两边同除x－x02整理得1+ny0y－y0x－x02+my0－pny－y0x－x0－pm=0，记k=y－y0x－x0，所以1+ny0k2+my0－pnk－pm=0，由韦达定理可知kAB+kCD=pn－my01+ny0，kAB·kCD=－pm1+ny0.当kAB+kCD=λλ≠0时，即pn－my01+ny0=λ，整理得－y0λm+pλ－y0n=1，所以直线MN过定点x0－y0λ，pλ.当kAB·kCD=λλ≠0时，即－pm1+ny0=λ，整理得－pλm－y0n=1，所以直线MN过定点x0－pλ，0.

结论3 过定点Px0，y0作与双曲线E：x2a2－y2b2=1a>0，b>0相交的两条线段AB和CD（斜率存在，且A，B，C，D在曲线E上），M，N分别是AB和CD的中点.若

kAB+kCD=λλ≠0，则直线恒过定点x0－y0λ，b2x0a2λ，若kAB·kCD=λλ≠b2a2，则直线MN恒过定点a2λx0a2λ+b2，b2y0a2λ+b2.