探究一道不等式恒成立压轴小题

山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试第14题，是一道含有两个参数的不等式恒成立的典型试题，该题蕴含着等价转化的数学思想方法，本文探究其解法和同型变式.

1.试题再现

关于x的不等式xeax+bx-lnx≥1（a>0）恒成立，则ba的最小值为 .

2.解法探析

分析1：将不等式恒成立转化最值，逆用幂和对数的运算法则变形不等式及常见不等式“ex≥1+x，当且仅当x=0等号成立”进一步变形不等式，最后根据题意x>0求解.

解法1：因为不等式xeax+bx-lnx≥1恒成立，即不等式xeax+bx-lnx-1≥0恒成立，所以elnx·eax+bx-lnx-1≥0恒成立，所以elnx+ax+bx-lnx-1≥0恒成立，于是（elnx+ax+bx-lnx-1）min≥0.因为elnx+ax+bx-lnx-1≥1+lnx+ax+bx-lnx-1=ax+bx=（a+b）x≥0，当且仅当lnx+ax=0时等号成立.因为x>0，因此只需a+b≥0，所以ba≥-1.故ba的最小值为-1.

点评：上述的解题思路是“最值法”，结合运用指数幂、对数的运算法则及二级结论不等式求解的，很好反映了化归转化思想的应用.

分析2：逆用幂和对数的运算法则变形不等式，配凑并运用常见不等式“ex≥1+x，当且仅当x=0等号成立”，最后运用“临界值”思想求解.

解法2：因为不等式xeax+bx-lnx≥1恒成立，所以elnx+ax+bx-lnx-1≥0恒成立，所以elnx+ax-（lnx+ax）≥1-ax-bx=1-（a+b）x.由于elnx+ax≥1+（lnx+ax），当且仅当lnx+ax=0时等号成立，所以elnx+ax-（lnx+ax）≥1.

令1≥1-（a+b）x，所以（a+b）x≥0，因为x>0，因此只需a+b≥0，所以ba≥-1.若a+b<0，则由lnx+ax=0的解为x=x0，即lnx0+ax0=0，此时对于elnx+ax-（lnx+ax）≥1-（a+b）x而言，左边=1，右边>1矛盾，舍去，所以ba≥-1.故ba的最小值为-1.

点评：上述解法从临界值的角度思考问题，数学抽象素养要求较高.

分析3：变形不等式，分离、配凑得到ba的不等表达式，然后构造函数转化证明不等式，进行二次构造函数后，利用导数工具和“隐零点”求解.

解法3：因为不等式xeax+bx-lnx≥1恒成立，所以bx≥1+lnx-xeax恒成立.

因为x>0，a>0，所以ba≥1+lnx-xeaxax恒成立.

令g（x）=1+lnx-xeaxax（x>0），取x0满足x0eax0=1，则lnx0+ax0=0，即lnx0=ax0，代入φ（x），得g（x）=1=lnx0-x0eax0ax0=-1.

以下证明g（x）≤-1，即证明1+lnx-xeax+ax≤0.

令h（x）=1+lnx-xeax+ax，则h（x）=1x-（eax+axeax）+a=1x-（1+ax）eax+a=1+axx（1-xeax）.令h（x）=1+axx（1-xeax）=0，由于x>0，a>0，所以1-xeax=0，所以xeax=1，所以x=x0.当0<x<x0时，h（x）<0，当x>x0时，h（x）>0，所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）单调递增.所以当x=x0时，h（x）取得最大值，且最大值为h（x0）=0，此时g（x）有最大值g（x0）=-1. 故ba的最小值为-1.

点评：上述解法在将不等式变形的基础上，分离、配凑出关于ba的不等式，通过构造函数挖掘出“隐零点”，进而二次构造函数利用导数求解的.

3.同型变式

变式1 （2024届河南省郑州市二模14）已知不等式ex-1a+1-2ax≥b对任意的实数x恒成立，则ba的最大值为 .

解析：不等式ex-1a+1-2ax≥b对任意的实数x恒成立.令f（x）=ex-1a+1-2ax，则f′（x）=ex-1a+1-2a.当a<0时，f′（x）>0，f（x）在（-∞，+∞）递增，f（x）可取任意实数，不合题意.

当a>0时，由f′（x）=0，得x=1a-1+ln2a，当x<1a-1+ln2a时，f′（x）<0，当x>1a-1+ln2a时，f′（x）>0，所以f′（x）在（-∞，1a-1+ln2a）上单调递减，在（1a-1+ln2a，+∞）单调递增.所以当x=1a-1+ln2a时，f（x）取得最小值，且最小值为f（1a-1+ln2a）=e1a-1+ln2a-1a+1-2a（1a-1+ln2a）=4a-2-2aln2a，所以b≤4a-2-2aln2a，所以ba≤4-2a-2ln2a.令g（a）=4-2a-2ln2a=4-2a-2ln2-2lna，则g（a）=2a2-2a=2-2aa2.令g（a）=0，得a=1.当0<a<1时，g（a）>0，当a>1时，g（a）<0，所以g（a）在（0，1）上递，在（1，+∞）上递减.所以当a=1时，g（a）取得最大值，且最大值为2-2ln2.故ba的最大值为2-2ln2.

变式2 若关于x的不等式aex-alnbx+（a-b）x-lna≥0在x∈0，2上恒成立，则ba的最大值为 .

解析：由aex-alnbx+（a-b）x-lna≥0，得ex+x≥lnbax+bax，即ex+x≥elnbax+lnbax，令ba=t，则ex+x≥elntx+lntx.

记f（x）=ex+x，则f'（x）=ex+1>0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，所以ex+x≥elntx+lntx等价于x≥lntx在x∈0，2上恒成立，即等价于0<t≤exx在x∈0，2上恒成立.记g（x）=exx，x∈0，2，则g（x）=ex（x-1）x2.令g（x）=0，解得x=1.当0<x<1时，g（x）<0，当x>1时，g（x）>0，所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增.所以当x=1时，g（x）取得最小值，且最小值为e，所以0<t≤e.故ba的最大值为e.