发展模型意识的要素化教学图式构建

摘 要 模型意识是小学阶段需要落实的数学核心素养之一。当下，发展模型意识的教学活动设计存在情境创设显单一、探究靶向不精准、知识结构欠完整等问题，究其原因是一些教师在教学路径规划上存在盲区。因此，可以围绕情境、表征和反思这些过程性教学要素构建教学图式，直观清晰地展现模型知识教学的主旨脉络，据此探索核心素养培育教学的路径转化方法。

关 键 词 小学数学；模型意识；要素化；教学图式；逆向设计；活动路径

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，小学阶段重点发展学生的11项核心素养，模型意识是其中之一[1]。当下，一些学校、教师围绕“发展模型意识”这一主题组织了多种形式的教研活动，积累了大量的教学实践经验，形成“识别现实情境，进行数学化后建构关系，经过一般化用以解决同类问题 ”的模型知识教学策略[2]。然而，从实际教学效果看，此种教学活动设计却存在意图不够明确的问题，究其原因是一些教师存在教学路径规划的盲区，一定程度上迟滞了学生的模型意识发展。因此，本研究以“加法运算律”一课的教学为例，试图构建要素化的教学图式，直观清晰地展现模型知识教学的主旨脉络。

一、发展模型意识教学的问题审视

发展模型意识的教学立足真实情境问题，以数学实践的方式表征模型特点，在建构数学模型的过程中促进学生产生深刻的学习感悟。然而，一些教师未能把握过程性教学要素，导致教学活动设计出现如下一些问题。

1.情境创设略显单一

以丰富多样的情境为载体，形成系列化的问题探讨，有利于培养学生层层深入的探索精神[3]。指向发展模型意识的情境素材要贴近儿童生活，在问题视角上能展现出类型化的特点，确保学生从一类问题或现象中发现规律，进而展开抽象概括并建立数学模型。然而，在教学实践中，情境及其问题的创设往往显得比较单一，即提供单一事件或场景作为学习的背景素材，以及从单一的视角提出数学问题引发学生思考。殊不知，单一有时意味着孤立、片面，易出现学生接受有效信息不多、建模思维发散、联想与聚合困难等问题，从而降低学生的认知活跃度和参与学习的动力。

2.探究靶向不够精准

经过思维探究和知识运用获得的知识更具使用价值，能为学习者所迁移和使用[4]。其中“探究”可以成为引发具身体验、形成认知理解、获得学习感悟等一系列认知学习行为的发起点，架构起“探究—体验—理解—感悟”的模型意识发展路径。但在教学实践中，“探究”活动往往围绕数学模型是什么而展开，却很少探究建立数学模型的缘由。换言之，探究之路遵循知识逻辑，却不考虑学生的认知逻辑。如此，必然会陷入“关注知识、不关注学生”“重形式，不重实质”的窠臼，使学生对数学模型知其然，而不知其所以然。这反映出探究教学的靶向不够精准，影响后续模型知识的迁移及使用。

3.知识结构不够完整

模型知识的学习过程实质上是一个“特殊—一般”认知发展过程，在此过程中，不仅要解决个别问题，还要反思普遍现象；不仅要纵深挖掘内涵，还要横向延展知识；不仅要突破知识点，还要勾勒知识面。然而，在教学实践中，一些教师的模型知识教学始终聚焦在某个点上，具体表现为就样本讲样本、就概念讲概念、就模型讲模型等等。样本、概念和模型三者间只有建立有效的联系，才能进阶至结构化的认识水平。而学生脑海中的模型知识零散、不成体系的现状，与“将符号代表的新知识与学习者认知结构中已有的观念建立非人为的和实质性的联系”的要求相背[5]。

二、发展模型意识要素化教学图式的构建

面对上述发展模型意识教学活动的设计问题，教师应紧扣情境、表征和反思这些过程性教学要素，建构相应的教学图式，将“预设”转化为实际的教学活动[6]，促进学生模型意识的发展。

1.情境图式，唤醒认知经验

学生的数学学习是在特定的情境中主动运用已有的知识经验、尝试建构新意义的过程[7]。指向模型意识的情境图式主要围绕“选择什么样的素材”“提出何种数学问题”“生成哪些样本”“产生怎样的认知困惑”等问题展开教学预设，形成问题导向下的主体经验生长式活动路径。

以“加法运算律”教学为例。基于教材的知识背景，情境的创设可以将生活场景作为情境教学的素材，以问题串的形式唤醒学生认数、加法运算等方面的经验，生成“步数相同、数据相异”的等式样本；并针对等式样本展开初步研究，在深入反思的过程中引发学生产生新知学习的困惑，为探究新知、发现模型知识本质积累丰富的教学素材（如图1）。

2.表征图式，定位探究靶点

一目了然的知识性材料是无所谓探究的[8]。探究活动设计的逻辑是：学生哪里出现认知问题，研究的方向就指向哪里。表征图式一方面将学生的新知学习困惑转化为具有实践性特征的探究任务；另一方面，还要预设科学的数学实践方式，以及可能生成的思维成果。因此，这一图式不仅能准确定位探究活动的靶点，还能指明以数学实践为导向的自主化活动路径。

教学“加法运算律”一课，针对学生中出现的“等号两边的加数位置是怎样改变的？”“等号两边的括号位置改变、没括号和括号在后面的情况意味着什么？”等学习困惑，探究活动可以以此作为认知突破的靶点，引导学生使用文字、数字、符号等展开表征操作，经历“生疑—解惑”的问题解决过程，生成有关加法交换律、加法结合律可视的、个性化的思维成果（如图2）。

3.反思图式，建立知识结构

反思的目的是把已经能够进行心理操作的数学基本活动经验，抽象概括为数学的基础知识[9]。从教学过程上看，反思图式要预设数学模型的建构路径，即从反思原始样本开始，经历抽象基本概念、建立数学模型、延伸模型形式等过程，形成指向结构化认知的活动路径。从教学结果上看，反思图式要能体现样本、概念和模型三者间的联系，系统呈现模型的知识结构。

以“加法运算律”教学为例，反思活动围绕类型化的等式样本展开，首先分析样本特点，抽象概括“加数相同”“和不变”“加数位置改变”等加法交换律概念，以及“加数位置不变”“运算顺序改变”的加法结合律概念；接着，展开类比和推理，建立加法交换律、加法结合律的数学模型；然后，进行关联和延展，挖掘出加法交换律、加法结合律模型的新形式，进而完成加法运算律的知识结构搭建（如图3）。

三、发展模型意识要素化教学图式的路径转化

静态的情境、表征和反思图式要能转化为动态的实践活动路径，并以此沟通经验与内容、知识与素养、过程与方法等要素间的联系，使得单一的教学部分或单个的教学要素得以演进，并向整体、纵深发展。

1.情境图式的路径转化：从“入境”到“生疑”

反向思考情境图式，教师需要将其转化为“呈现情境—生成样本—衍生疑问”的活动路径，将学生卷入情境内容中，主动运用已有的知识经验解决问题，确保样本素材的出现和认知疑惑的产生，为后续组织、开展探究活动奠定基础。

（1）呈现情境。与其他素养导向的情境创设要求一致，发展模型意识的情境素材选择要贴近学生的生活经验、年龄特点和认知加工特点，构造的学习场景要真实可信且具吸引力，使学生自然地入“境”、生“情”。如，教学“加法运算律”。教师可以引入诸如跳绳比赛、分享食物、购买文具等生活场景，并提出整数、分数、小数等加法运算问题。通过情境问题唤醒学生已有的知识经验，快速进入思维加工的准备状态，尝试解决数学问题。

（2）生成样本。一般而言，数学模型的建构主要采用不完全归纳的推理思维。因而，情境中的问题设

（3）衍生疑问。情境创设不只为了引导学生展开先验性学习，还要为后验性学习埋下伏笔。先验性学习主要表现为：唤醒学生已有知识经验，生成类型化样本，发现样本的基本特征等；后验性学习则以产生认知困惑、催生学习动机为标志。如教学“加法运算律”，通过分析等式样本，学生不仅发现等式的变化特点，还衍生出“等号两边的加数位置是怎样改变的”“等号两边的括号位置改变，没括号和括号在后面究竟意味着什么”等认知困惑，这就引发了深度学习的心理需求，开启了后验性学习的进程。

2.表征图式的路径转化：从“实践”到“表达”

模拟与反推表征图式，教师需要将其转化为“布置任务—探究表征—小组评议”的活动路径，驱动学生自主展开表征、展示、评议等活动，探索模型知识的本质，促进学生群体核心素养的协同发展。

（1）布置任务。探究任务是将学生的认知困惑转化为以实践性研究为主的、展现自主学习动能和个性化思考的、最终获得模型知识本质理解的学习活动。如教学“加法运算律”，针对学生提出的“等号两边加数位置怎样改变”这一问题，教师可以布置“用自己喜欢的方式表示加数位置如何改变的，可以画一画、写一写，并与小组同学分享自己的方法”的探究任务，引导学生展开数学实践活动，表征数学问题的思考，展现个性化的思维成果。

（2）探究表征。表征既是数学的一部分，又是理解数学的一个教学手段[10]。面对多元特质的学生，教师能做的是凸显个性化思维以增加表征的多样化，由此提升学生的关键能力和学习品质。如教学“加法运算律”，探究“加数位置怎样改变”这一问题时，有学生用“前”“后”这样的文字表达加数位置变化情况；有学生用①、②这样的数字符号说明加数位置变化情况；还有学生用“箭头”这样的图式演绎加数位置的变化。上述借助表征操作而形成的思维成果不仅可以展现学生的数学理解力，还发展了数感、符号意识等核心素养。

（3）小组评议。对于某一问题的思考要能从个人观点走向群体共识，以体现认知学习的社会性。因此，模型知识教学过程有必要引入小组评议环节，以促成大面积、大体量的师生间对话交往活动，使得核心素养在群体范围内得以发展。正如前文所言，学生围绕“加数位置怎样改变”这一问题展开表征操作，生成了多样性的、个性化的思维成果。对此，教师可以先行安排组内研讨、再行组间评议，进而发展学生群体的推理意识，形成“交换等号两边的加数位置，和依然不变”的本质思考。

3.反思图式的路径转化：从“关联”到“结构”

逆向思考反思图式，教师可以将其转化为“产生关联—多向延展”的活动路径，引导学生经历具有关联性、延展性的模型知识思考过程，展现结构化的认知和理解，进入大单元学习的孕伏状态。

（1）产生关联。当知识以一种结构化的形式储存时，便可大大提升知识应用时的检索效率[11]。模型知识结构的产生具有阶段性，主要经历“样本”与“概念”、“概念”与“概念”，以及“概念”和“模型”等关联性思考过程。如教学“加法运算律”，一步计算的加法等式样本与“加数不变”“加数位置改变”“和不变”等概念产生关联，能建立“样本”和“概念”的解释结构；“加数不变”“和不变”等概念自身的关联，能建立“概念”与“概念”的逻辑结构；“加数不变”“加数位置改变”“和不变”与“a+b=b+a”产生关联，能建立“概念”与“模型”的转换结构。上述的结构集合催生了模型的知识结构，有助于学生理解记忆和迁移使用。

（2）多向延展。模型知识的学习不能仅局限于当前的问题研究、拘泥于课时内容的教学，还要尽力向单元及域外延展。其一，课时内容的横向扩展。如，围绕课时内容，可以提出“有没有一种等式既包含加法交换律，还蕴含加法结合律”的引申性问题，延展建立加法交换律、加法结合律的数学模型；再如，提出“加法交换律和加法结合律有什么相同点和不同点”的比较性问题，顺势构造“加法运算律”的特征框架（见表1）。其二，单元教学的纵向延伸。如联系单元教学，可以提出诸如“除了加法运算律，其他运算是否也存在运算律”“除了‘和不变’这样的等式形式，还有没有别的等式形式”等联想性问题，勾连运算律单元的其他内容，促成新的认知学习导向。

模型知识教学不只在于建构和识别模型，还包括运用模型解决问题、体会模型价值等内容。对此，教师先行构造相应的教学图式，据此逆向转化为符合学生认知规律的、能有效促进核心素养发展的活动路径，这应成为一线教师实践课程标准、提升专业教学能力的应然追求。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）[S]．北京：北京师范大学出版社，2022：7.

[2] 章勤琼，陈肖颖.小学数学模型意识的内涵、表现与教学——兼论核心素养的表现性目标[J].课程·教材·教法，2024，44（01）：106-113.

[3] 黄翔，李开慧.关于数学课程的情境化设计[J].课程·教材·教法，2006，26（09）：39-43.

[4] 陆卓涛，安桂清.学科实践的内涵、价值与实现路径[J].课程·教材·教法，2022，42（09）：73-78.

[5] 冯忠良.教育心理学[M].北京：人民教育出版社，2015：117

[6] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[S]．北京：北京师范大学出版社，2011：50.

[7] 赵瑞生.小学生数学基本活动经验积累的六个环节[J].教学与管理，2021（32）：54-56.

[8] 宁连华.数学探究教学设计研究[J].数学教育学报，2006，15（04）：39-41+51.

[9] 卢凤，黄晶，赵源.从具身认知看手指在早期数学教学中的作用与启示[J].数学教育学报，2023，32（01）：55-58.

[10] 孙兴华.小学数学教师教学表征的实践意蕴[J].课程·教材·教法，2015，35（04）：75-80.

[11] 王卫东.数学结构化教学中教学主线的价值及设计路径[J].教学与管理，2023（08）：48-52.