定点巧判定，探究妙应用

摘 要：圆锥曲线中的定点问题可以有效地实现解析几何问题中“动”与“静”的和谐统一，实现“几何”与“代数”的深度融合，是高考数学中的常见题型之一.本文对圆锥曲线中的定点问题及其基本解题方法进行分析，并结合实例加以探讨，总结归纳出相应的结论，旨在能够有效地指导数学教学与解题研究.

关键词：圆锥曲线；定点；直接法；逆推法

在平面解析几何中，有关直线或曲线（圆锥曲线等）的定点问题及其综合问题是历年高考数学试卷中的一个考查难点与命题热点，倍受各方关注，一般为中偏高或高档次的难度级别.它涉及的数学运算比较多，而且逻辑推理过程比较繁杂，因此具有非常好的育人选拔性和高考区分度.特别是圆锥曲线背景下的直线过定点问题，借助直线上的点在圆锥曲线上的运动，即“动态问题”，结合题设背景下某相关条件的限制，即“静态问题”，形成“直线过定点”的完美统一与动静结合，构造出“几何”与“代数”之间的融合，综合考查学生的数学基础知识与数学基本能力.

1 直接法探求定点问题 直接法，即从正向角度出发，直接推理、计算，利用直接法解决定点问题就是在计算过程中消去变量，得到定点.

例题 （2023年山东省烟台市烟台第一中学高三上学期期末数学试题）&&已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2 +y2b2 =1（a>b>0）的左、右焦点，点A是椭圆C的右顶点，|AF2|=2-3，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段PF1，PF2的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）若不过顶点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且AD·AE=0，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

分析：（1）根据题设条件，由三角形的中位线性质，可得四边形OMPN的周长为2a，椭圆的右顶点到右焦点的距离为a-c，并结合关系式a2=b2+c2确定对应的参数值，即可得椭圆方程；（2）分类讨论直线l的斜率存在与斜率不存在两种情况，根据不同情况设相应的直线方程，再综合题设条件加以分析，最终得以确定直线l过定点.

kRP=18t+54t2+6t+18-3-2t2-12tt2+6t+18+2=-t212.

同理Q-2t2+12tt2-6t+18，-18t+54t2-6t+18，可得kRQ=-18t+54t2-6t+18-3-2t2+12tt2-6t+18+2=-t212.

kRP=kRQ，则有R，P，Q三点共线，即线段MN的中点为（0，3），是定点.

解决问题时，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊或极端位置，如直线处于水平位置、竖直位置，即k=0或k不存在时，利用特殊思维方式来解决平面解析几何中的定点问题.有时也可借助逆向思维，通过定点直接切入，进行逻辑推理与数学运算，进而证明该点符合题意或证明该点与变量无关.

此类圆锥曲线的综合应用问题中的定点或相关应用，往往是基于平面解析几何中的一些“动”态变化场景，以动点或动直线等方式来创设场景，进而在“动”态过程中探寻一个规律性的问题，从中寻找“静”态特征，从而达到知识交汇与思想融合的目标，实现学生“四基”的考查与“四能”的提升.