常规思维巧同构，妙技妙法妙应用

摘 要：涉及含参不等式恒成立的综合问题，是新高考数学试卷中的一类热点与难点.本文结合一道含参不等式恒成立问题，通过不等式的恒等变形，应用常规思维进行对应同构，挖掘问题内涵，应用“巧技妙法”发散思维与巧妙应用，剖析解题的技巧与策略，旨在引领并指导数学教学与解题研究.

关键词：不等式；恒成立；同构；函数

含参不等式恒成立的问题，可以很好地融合数学的“四基”与“四能”，是高考数学命题中比较常见的一类基本题型，常考常新，变化多端，难度较大.解决此类问题比较常见的思维方式就是同构函数法，必要性探路法或特殊值法等.1 问题呈现（2024届浙江省台州市高三下学期第二次教学质量评估数学试题第14题）已知关于x的不等式lnx+1≤axeax-12恒成立，则实数a的取值范围是____________.

此题以含参不等式恒成立为问题场景，借助参数取值范围的求解来设置与应用，巧妙地将函数与方程、不等式、函数与导数等知识加以交汇与融合.

突破此类问题的通性通法就是巧妙同构，借助同构函数，利用函数与导数的应用来合理变形与转化.解决问题的巧技妙法就是必要性探路或特殊值法等，解题时学生先通过合理的必要性或特殊值来确定结果，再根据情况加以验证与证明.2 问题破解

4.1 技巧归纳，规律总结

在解决此类同时涉及指数函数ex与对数函数lnx的相关“指对”混合不等式恒成立问题时，常规方法就是恒等变形，灵活运用对数恒等式加以转化，寻找同型或共性，给巧妙同构函数创造条件，也是解决此类问题的一种“通性通法”.

突破此类问题的“巧技妙法”就是必要性探路法或特殊值法等，学生通过合理的必要性探路或特殊值来确定结果，虽然不具有严谨性，但极具解题效益.在具体解题过程中，学生可以根据考试场景再加以必要的严谨性验证与证明，保证答案的准确性.

4.2 思维拓展，能力提升

在破解一些涉及函数或方程、代数式、不等式等问题时，教师帮助学生创新数学意识，开拓数学思维，结合题设条件中的关系式或不等式的结构特征，借助慧眼识别、寻找、挖掘其中的同型或共性，合理同构函数，利用函数共性，巧妙转化问题，借助函数的基本性质（单调性、周期性、奇偶性以及最值）等来转化与解决，将一些比较复杂的相关问题转化为基本的函数问题来处理.在解题过程中，学生不断增强创新意识、同构意识与创新应用，实现知识交汇，形成数学能力，培养数学核心素养.