高中数学函数解题技巧探析及建议

摘 要：随着我国高考制度的改革，高中数学试题呈现多样化发展，而函数类试题作为其中重要考点，题型体现出多变性和开放性等特点.在高中数学函数教学中，教师需要充分认识到函数知识的重要性，并把握教学的精髓，深入研究和探索函数解题技巧，确保学生能够充分地掌握函数知识，全面地运用函数解题方法解决实际函数问题.

关键词：高中数学；函数；解题方法；解题技巧

高中数学教学中，函数作为重要的知识点包含三角函数、指数函数、反比例函数、幂函数等.由于函数种类多且难度大，教师应当在高中数学函数教学中，不断地进行教学创新，力求能够使学生在日常学习与练习中科学地掌握解题方法和解题技巧，从而解决多种函数问题.教师还要进一步培养学生的函数解题思维，使其具备解题能力.本文针对高中数学函数解题方法及解题技巧进行深入探究，旨在能够有效增强学生的函数解题能力.

1 高中数学函数解题现状分析

1.1 缺乏对函数难度的正确认识

高中函数教学是在初中函数知识的基础上进行的深度学习，在抽象性和难度上都有大幅度的提升，需要学生能够深刻地领悟数学函数的本质，寻求解题的方法和思路.以三角函数为例，初中只是初步地讲解了三角函数的相关知识，而高中三角函数的学习则是考验学生能否充分地运用三角函数知识解决实际问题.［1］三角函数题型更加开放和复杂，若学生未能形成对函数知识难度的正确认识，就会想当然地认为自身已经掌握了相关知识，不愿投入时间和精力重新学习和理解函数知识，这导致解题时，学生陷入无从下手的困境，极大地影响学生的解题效率和解题正确率.［2］

1.2 未能掌握正确的函数解题方法

相比初中阶段的函数教学内容，高中函数教学在内容和深度上进行了拓展，这使得高中数学函数教学的知识内容体量较大，若学生未能掌握正确的数学学习方法，将无法跟随课程的教学节奏进行有效的学习.还有部分学生未能掌握正确的函数解题方法，解题思维较死板，且课后进行函数解题练习的时间较少，未能充分地做好课前预习和课后复习等，导致在函数解题过程中频频受阻，甚至对高中数学函数知识模块产生厌恶情绪，降低了学习主动性.

1.3 函数解题技巧运用不灵活

高中数学函数知识学习中，往往存在着诸多解题技巧，教师需要帮助学生掌握快速高效的解题技巧，进一步形成函数题型解题思路，便于应对多种题型.然而部分学生在函数解题技巧掌握和运用上存在着误区，使用不灵活，缺乏思辨性和联想性.造成此种问题的主要原因是学生对于函数概念不清晰，未能掌握基本概念，对于高中函数关联知识缺乏逻辑梳理和归纳总结，进而在解题过程中会误用函数知识，造成解题错误.另外，函数公式往往是解题的关键，而部分学生在函数公式的运用中，常使用死记硬背的方式，未能深入地了解公式的推导原理，影响函数解题的正确率.

2 高中数学函数解题方法及解题技巧

在高中数学函数教学中，由于函数题型的多样化，需要学生掌握多种解题技巧，才能更好地对函数问题进行解答.基于此，本文先对高中数学函数的解题方法及解题技巧进行分析，从而为学生的解题提供一定思路.

2.1 函数单调性的解题技巧

多数函数题型具有一定的相似性，因此，在解题过程中可借助这一特点，牢牢掌握基本的函数解题思路，充分地借助函数的单调性进行解题，用以针对多种相似的题型，提升自身的函数解题能力.对于函数公式的使用，运用数形结合的解题思维进行解答，精准地找到问题中的常量与变量，结合函数的单调性进行解题，可极大地降低函数解题的错误概率，丰富学生的解题思维.

问题1 求函数y=（x-2）2+（x+8）2的值域.

分析：针对此类题型，可对原函数进行简化，其中可将函数简化成为y=｜x-2｜+｜x+8｜，简化后可发现函数值即为在数轴上的点P到A、B两点距离之和，其中A为2，B为－8.若P在A、B两点之间，则y=｜x-2｜+｜x+8｜=｜AB｜=10；若点P在线段AB延长线或反向延长线上，则y=｜x-2｜+｜x+8｜＞｜AB｜=10，从而求出该函数的值域为［10，+∞）.

问题2 求函数y=x2-6x+13+x2+4x+5的最小值.

分析：该问题中求函数的最小值，需先对函数的值域进行求解，可将函数关系式进行变形，得到y=（x-3）2+（0-2）2+（x+2）2+（0+1）2，该函数可理解为x轴上的点P到A（3，2），B（－2，－1）两点的距离之和，则可求得ymin=（2+3）2+（1+2）2=34.

2.2 函数导数的解题技巧

导数作为高中数学函数教学中的重要内容，能够有效地对函数解题形成辅助.［3］教师应当让学生了解导数的具体使用方法和技巧，并能够借助导数解决具体实际问题，获得函数解题思路和方法.结合导数的定义，可将导数看作函数所代表的曲线中某一点的切线斜率，在实际解题中，学生可充分结合导数的定义进行函数题型的解答.

问题 设函数f（x）=sin（2x+φ），φ∈（-π，0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=π8，则求φ值，以及y=f（x）的单调增区间.

分析：在φ的求值计算中，由于题目中给出直线x=π8是y=f（x）图象的一条对称轴，则可得出sin2×π8+φ=±1，所以π4+φ=kπ+π2，k∈Z，其中-π＜φ＜0，因此求得φ=－3π4.

在y=f（x）的单调区间求解中，由φ值可得出y=sin2x－3π4，并结合题目中的条件得出2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ+π2，k∈Z.因此，y=sin2x－3π4的单调增区间为kπ+π8，kπ+5π8，k∈Z.

2.3 函数奇偶性的解题技巧

在高中数学函数解题中，常常会遇到函数的奇偶性问题，其对学生的逻辑思维能力有极大的要求.教师在对学生逻辑思维进行培养过程中，要结合具体题型，让学生按照正确的奇偶性解题方法进行解题，进而掌握有效的函数解题方法与技巧.

问题 判断函数f（x）=-x2+x，x＞0，

x2+x，x≤0的奇偶性.

分析：该题干条件较为简洁明了，且主题突出，就是求函数的奇偶性.对于此种意图较为明显的函数题型，在解题过程中，教师需要让学生先确定该函数的定义域，并结合定义域的原点对称性进行奇偶性判断.该函数f（x）的定义域为R，其中当x＞0时，f（x）=-x2+x，f（-x）=-x2+x，则f（x）=-f（-x）；当x＜0时，f（x）=x2+x，f（-x）=x2+x，则f（-x）=-f（x）；当x=0时，f（0）=－f（0）.综上所述，可得出该函数的定义域具有原点对称性，其中f（-x）=-f（x），则证明该函数为奇函数.

2.4 三角函数的解题技巧

作为高中数学函数知识中的重中之重，三角函数一直是困扰学生的关键性问题之一.教师应当结合三角函数的具体题型，对学生的解题思维进行引导，使其能够快速地掌握三角函数解题方法和解题技巧，从而解决多种类型的三角函数问题.［4］具体的三角函数解题技巧总结如下.

2.4.1 运用口诀进行解题

通过对高中数学三角函数模块知识的观察，可发现其中蕴藏着诸多的公式内容，学生虽然可强行进行记忆，但由于数量较多，记忆上易出现混淆.因此，通过函数公式的推导进行记忆，不仅可以让学生更加灵活地掌握函数知识，还能使其了解公式形成的过程，有助于学生函数思维的培养.教师可在教学中结合不同的函数公式，让学生进行公式定理特点的归纳与分析，并尝试创编口诀，让学生轻松记忆和消化，确保其能够在函数解题中顺利地运用公式进行解题.如三角函数公式一到公式四的记忆，教师可根据特点进行口诀创编，用“函数名不变，象限定正负” 进行前四个公式的概括，进而加深学生的记忆，帮助学生掌握该函数知识.根据口诀的内容可发现，前四个公式的特点是左边和右边的函数名相同，而公式右边函数的正负号会随着象限进行变化，此种相对简便的口诀，有助于学生更快速地对函数公式展开记忆和运用.另外，运用口诀进行函数公式记忆，还能让学生系统性地发现公式中的联系，进而灵活运用函数公式进行解题.

2.4.2 构建思维模型进行解题

在高中三角函数学习中，最大的难点是无法让学生对问题进行全面的分析，进而难以找到适用的函数公式进行解题.这主要是由于三角函数比较抽象，与学生原本的思维习惯存在着较大的差异.因此，教师可尝试引导学生利用思维模型进行三角函数问题的求解，其中需要教师结合多媒体设备进行教学情境创设，便于学生建立三角函数知识与实际生活的联系，更有效地理解问题.如教师可创设单摆运动的具体情境，让学生针对此类题型形成深刻的认识，结合自身的生活经验，快速地梳理题目，找到考核的具体内容，运用合适的函数公式进行解答.此种思维模型的构建，能够使学生在面对三角函数问题时，在脑海中形成与现实生活的联系，进而精准地确定题目中考核的关键点，免受无关信息的干扰，用最短时间找到问题的答案.此种有效信息提取的能力是三角函数教学中需要重点培养的，只有让学生掌握此种思维模型，方能应对各种题型.

2.4.3 用数形结合进行解题

高中三角函数相较其他函数更具有抽象性，其与几何知识紧密相连，是代数和几何的结合体.学生在解题过程中需要充分地运用代数和几何两方面的知识和思维，方能快速解答.基于此，教师可利用数形结合的思想帮助学生形成解题思路，让学生能够运用数形结合的思想解答三角函数问题，增强三角函数解题效率.教师可在函数基础上，让学生结合y＝sin

x，y=cos

x进行图形绘制，并结合题目中的具体要求进行曲线特征标注，用以分析区间和关系，此种解题思维能够帮助学生更全面地掌握三角函数特征.教师可在具体的教学中运用多媒体课件及电子白板等教学工具进行图象绘制，借助图象演示的方式，让学生深刻地了解三角函数解题思路，如函数的最值及周期性等.

3 结语

高中数学函数教学中加强学生的解题方法及解题技巧具有十分重要的意义，不仅可以帮助学生解决实际的函数问题，还能避免学生在解题过程中走入误区，使学生牢固地掌握函数知识.教师应当在实际教学中充分地结合多种函数题型，引导学生掌握函数解题技巧，深入挖掘函数题型中的内涵，形成高效的函数解题思路，从而提升解决函数问题的积极性，获得较高的解题水平.

参考文献

［1］谢克仁.高中数学三角函数解题技巧探析建议［J］.学苑教育，2022（20）：62-63+66.

［2］陈宝凤.强化高中数学三角函数解题技巧和思路的策略分析［J］.考试周刊，2022（27）：70-73.

［3］余利英.高中数学函数解题技巧教学的探究［J］.高中数理化，2021（24）：25.

［4］龚莉莉.高中数学三角函数解题技巧探析［J］.中学生数理化（自主招生），2020（1）：12.