高中数学教学中融入数学建模思想的实践研究

摘 要：数学学科的强大功能应得到重视，一方面，教师在教学中融入数学建模思想能够提升教师专业教学能力；另一方面，学生在学习中培养数学建模思想能够帮助学生强化数学学习能力.教师把“如何将数学建模思想融入高中数学教学中”作为重要研究课题，通过有效性教学思想的应用，体现高中数学教学实效性，为学生发展核心素养助力.

关键词：高中数学；建模思想；核心素养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出，建模思想是数学核心素养重要组成内容.［1］教师将“数学建模思想”融入高中数学教学中，帮助学生了解数学学科的重要地位，启发高中生的数学思想，为培养数学核心素养提供重要依据.本文针对数学建模思想融入高中数学教学，提出基本教学原则和方法，以“用样本估计总体”为例进行教学分析，将建模思想融入教学设计和教学案例中，致力于培养高中生的数学建模能力.

1 统计模型研究内容

1.1 教材分析

“统计”是高中数学知识点的重要组成部分，统计能力是学生的数学基本能力.在统计教学中，教师应结合高中数学知识点之间的关系，进行多知识点并联、串联教学活动，突出“统计”教学的重要地位.统计学知识在高中数学教材中占有重要地位，结合义务教育阶段数学教材中介绍的“统计学”知识，高中“统计学”教学在此基础上进行深化和创新.数学教师主要指导学生自主收集相关数据，并且尝试在数据分析、数据处理的过程中理解“统计”的含义，达到培养学生数学思维的目标.人教B版数学教材中，设计了“样本估计总体”的教学内容.教师为学生提供带有明显特征的数字样本，要求学生借助样本来猜测“数据总体”的特征.通过实施“用样本估计总体”的数学教学，使学生掌握具体抽象方法和数字特征，强化对样本数据的学习处理能力，为学生发展统计学思维，强化统计学能力提供重要依据.

1.2 教学目标

（1）传授知识，培养技能.教师引导学生明确“统计”的概念，选取教材中的相关实例引入统计概念.结合生活实例，启发学生尝试运用样本来推测数据总体的特征，保证学生明确“集中趋势参数”的含义与特征，培养学生结合数学例题来分析统计样本的能力，并且结合方差等重要的数学概念，归纳“离散程度参数”在数学统计中的重要性.

（2）注重过程，探索方法.统计学的教学过程应当紧密结合生活实际，教师要注重学生的探索过程，而不是仅限于重视数学解题的正确率.［2］教师引导学生运用“数学建模思维”来分析统计学的相关例题，培养学生良好的解题综合能力.

（3）提升认识，塑造观念.本课程的教学目标在于塑造学生的科学价值观，指导学生养成善于统计的习惯.教师启示学生运用科学态度来分析相关的生活问题，引导学生尝试运用数学思维来建构模型.教师在教学时应注重学生的科学精神培养，引导学生在数学解题中做到严谨、耐心，培养学生的建模观念、逻辑推理观念.

1.3 教学重难点

本课程的教学重难点如下.

教学重点：随机选取数学统计样本，要求学生采取直观观察、数学建模等方法，大胆猜测总体数据的特征.

教学难点：要求学生掌握“分层抽样”的含义及其实施方法，借助分层抽样的做法来评估数据样本的特点.

2 统计模型教学过程

2.1 情境教学，做出假设

问题情境：下面是我们班级与隔壁两个班级的88名学生身高数据（单位：cm）.计算这组数据的总体平均数和总体方差，可以用哪些抽象方法.针对这一总体可以选择哪种抽样方法.此样本的平均数和方差与总体的平均数和方差存在怎样的关联性.

161，168，166，168，152，152，164，170，167，166，153，165，168，167，163，157，160，159，153，169，173，170，162，157，152，180，178，158，162，164，172，165，155，163，178，159，168，161，168，165，158，166，174，175，165，160，161，177，163，170，155，156，161，169，167，151，156，158，165，179，161，176，162，168，153，169，155，165，163，166，172，160，173，164，172，164，171，149，158，155，169，150，173，170，162，165，165，155.

【设计意图】这一教学活动从学生熟悉的“身高”知识点着手，引出本节课的知识点，能够培养学生探究学习兴趣.情境教学能够引导学生复习以往知识点，增强数学学习能力，强化学生问题解决能力.

2.2 自主探究

教师将4～6名学生分为一组，指导各组学生在总体样本中，运用随机的方式来抽取数量为10的样本.教师鼓励学生运用所学的统计学知识尝试算出选取样本的方差与平均数.教师选取三个学习小组展示探究成果.

【设计意图】教师利用小组合作学习，让学生体会知识获取过程，掌握学生实际学情.教师利用小组合作学习探究，增强学生自主学习能力和合作探究能力，增强学生随机抽样操作规范性能力.

2.3 建立模型、分析模型

师：同学们在小组合作学习中，能够规范抽样步骤.下面我们研究、讨论三个学习小组的数据和总体数据，请同学们描述自己的体会与收获.

生1：经过计算得到的样本平均数、样本方差，其结果不完全吻合数据总体的平均数、方差值.

生2：经过计算得到的样本方差、样本平均数，非常近似数据总体的方差、平均数.

师：大家都回答得很好.那么经过探究计算，我们主要能够得到如下结论.

（1）只要采用了合理、适当的方法来抽取样本，就能够保证数据总体的特征与样本特征相吻合.

（2）利用样本数字特征估计总体数据特征，能够节约统计时间，提升统计速度.

（3）用样本估计总体，存在误差.设总体平均数记为μ，样本平均数记为x ，m和x 大小存在μ>x ，μ=x ，μ<x三种可能性.

【设计意图】在这一学习中能够锻炼学生观察能力、配合能力，提高学生样本数据与总体数据对比分析能力，由此培养学生数学建模思想.

2.4 模型求解，检验模型

教师利用多媒体教学工具，对总体数据进行随机抽样，通过数据验证获取数据的准确性.教师利用计算机抽样，启发学生认识到自动计算得到的样本方差、样本平均数非常近似真实的数值，二者之间通常存在极小的误差.因此，在采取合理抽样方法的基础上，借助科学计算手段能够分析得到正确的数据总体特征.

【设计意图】利用模型求解，再验证模型的过程是学生建模思想培养的重要过程.这一过程对发散学生数学逻辑思维具有促进性作用，对提高学生数学问题解决能力具有现实意义.

2.5 应用模型

2.5.1 创设情境，导入知识

问题情境：某学校高一教师需要统计学生的身高，教师现在随机抽取了女生15名、男生20名作为统计样本.在此基础上，经过计算得到男生平均身高为170cm，方差为16cm2；经过计算得到女生平均身高为165cm，方差为25cm2.求“数据总体”的方差与平均数.

2.5.2 学生讨论，模型假设

生1：我们可以直接通过样本的选取，计算“数据总体”的方差与平均数，因为样本与总体之间几乎不存在差异.

生2：这一做法缺乏有利依据，且所得数据不够精准，容易造成较大误差.

生3：分别算出两层样本平均数和方差的算术平均数，以此为总体数据，即估计总体平均数为 170+1652=167.5 cm，估计总体方差为 16+252=20.5 cm2.

生4：这一方法不够严谨，原因是难以体现出分层抽样特点.

生5：将各层中数据组合为整体，重新计算.

【设计意图】教师组织学生多角度讨论分析，考虑多种计算能力并针对不同方案提出合理分析、讨论具体结果.若学生遇到困难，教师给予指导，提高“教”与“学”的质量和效率.

2.5.3 建立模型，拓展思维

假设通过分层抽样的方法抽取了m名男生，n名女生，其中m 名男生的身高为x1，x2，…， xm ，平均数为x，方差为s2； n 名女生的身高为y1，y2，…， ym，平均数为y ，方差为t2.设样本的平均数为a ，方差为b2.分析总体样本数字特征与分层样本数字特征有什么关系.

（1）平均数.∵ x =x1+x2+…+xm m=1m mi=1xi，y =y1+y2+…+yn n=1n ni=1yi，

∴a =x1+x2+…+xm+y1+y2+…+yn m+n=mi=1xi+ni=1yim+n=mi=1xim+n+ni=1yim+n.

又∵x =1m mi=1xi ，

∴ mi=1xi =mx，同理可得，ni=1yi=ny.

∴a =mm+n+nm+n=m +nm+n.

（2）方差.由方差定义可知，s2=1mmi=1xi-2，t2=1n ni=1yi-2.

b2=1m+nmi=1（xi-a）2+ni=1yi-2=1m+n·mi=1xi-+-2+ni=1yi-y+y-2.

mi=1xi-+-2=mi=1xi-+-2 =mi=1xi-2 +mi=12xi-- +mi=1-2.

∵mi=1xi-2 =ms2，mi=12xi-- =2-·mi=1（xi-）=2-mi=1xi-mi=1 =2-（mx -mx ）=0，mi=1-2=m-2，

∴mi=1xi-2=mi=1xi-+-2=ms2+m-2.

同理可得，mi=1yi-2=ni=1yi-+-2=nt2+n-2.

则b2=1m+nmi=1xi-2+n i=1yi-2=1m+n［（ms2+nt2）+m-2+n-2］.

【设计意图】学生在方差推理中能够感受到这一知识点的“难度”.鉴于此，教师在讲解过程中要及时与学生进行沟通、获取真实反馈，与学生在互动性学习中，加强对“方差推理”步骤、方法、技巧的分享，使学生提高对方差推理知识难点的解读能力，提高学生数学解题能力.

2.5.4 模型求解，拓展认知

由已知条件，m=20，n=15，=170，=165，s2=16，t2=25，代入得，=167.86，b2=26.49.

最后得到，样本的平均数为167.86，样本方差为26.49.

【设计意图】教师利用模型求解过程，帮助学生夯实数学知识点，提高数学模型思想建构质量，增强学生综合学习能力.

2.5.5 模型检验，夯实基础

在模型检验中，为了起到夯实学生平均数与方差基础知识的作用，教师给出上述20名男生和15名女生身高具体数据.

【设计意图】要求学生掌握“数学模型检验”的基本操作步骤，尝试通过选取样本来猜测总体的某些特点.培养学生的数学建模思维，结合“分层抽样”的教学形式予以实现.教师鼓励学生运用整体分析的思维来判断各数据样本的特征，进而引导学生猜测样本数据与总体数据的关联性.学生通过分析、推理、讨论，最终得出具体结论.

3 总结与反思 教师在高中数学教学中融入“数学建模思想”，有利于培养学生数学思维意识，强化学生数学综合能力，促进学生实现全面发展目标.高中数学知识具有抽象性、复杂性等特征，通过培养学生数学建模思想，能够提升学生对知识点的解读能力，增强学生数学综合学习技能.鉴于此，高中数学教学中融入数学建模思想十分必要，师生要重视建模思想的融入，以此为依据强化数学学习能力，致力于培养良好的学科核心素养.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］范志晔.核心素养下高中数学的深度学习研究［J］.数理化解题研究，2024（12）：24-26.