“半翻转课堂”视域下的高中数学建模教学研究

摘 要：现阶段高中数学教学过程中，建模教学开展效果并不明显，应试教育很难对学生的数学建模能力综合考核，使得部分学校对数学建模教学的关注度偏低，教师关于此方面的教学经验较少.因此，为提高数学建模教学的有效性，让学生形成良好的数学建模素养，教师应该从多角度出发，主动转变思想观念，强化对数学建模教学的研究与分析.鉴于此，本文旨在解决高中数学建模教学中出现的各类问题，依据实际教学案例，从“半翻转课堂”视角出发，探讨数学建模教学的具体方法.

关键词：数学教学；数学建模；“半翻转课堂”

本文以相关理论为基础，基于“半翻转课堂”视角，探究高中数学建模教学的应用情况.通过对教学的原则、条件、操作程序等综合分析，制定切实可行的教学对策，保证当前数学建模教学理论丰富的同时，使数学教学工作也能深入开展.

1 教学设计引入情境：通过引入视频的方式为学生创设情境，吸引学生注意力.在视频中展示一个修铁路的动画，如图1所示，在铁路修建过程中，需要在山上开挖一条隧道，隧道的长度与很多因素有关，如工程项目在建设过程中所需要的费用、花费的时间等，因此在修建隧道前，相关人员需要合理设计隧道的长度，以保证项目能花费最少的工期和成本.

【设计意图】利用视频的形式为学生创设情境，选择现实生活中比较常见的问题将知识点导出，可以让学生在课堂上集中注意力，激发学生学习欲望的同时，也能让学生理解数学知识与现实生活之间的关联，培养学生通过数学对现实生活中的问题进行解答的能力，促进学生数学分析能力的提高.

2 教学目标确定问题 根据创设的情境，同学们想一想，如果现在有标尺、量角器等测量工具，那么在修隧道前，应该采用什么方式对隧道的长度准确测量？

师生活动：学生在分析问题过程中，因为只学过直角三角形中求边长的知识，因此可能会出现从构造直角三角形的角度思考，此时教师要从学生的角度出发，对学生提出的不同种方案认真研究.例如，过点A做AB的垂线，借助无人机，让其停留在垂线上某位置，无人机所在的点用C表示，其作为山上的一点，与B连接构造出Rt△ABC，测量AC，BC的长度，通过勾股定理将AB的长度计算出来.

分析评价：在测量过程中，应该采取何种方式让∠A始终为直角.虽然这种方式比较简单，但是山上的地形条件与平原不同，具有较强的复杂性，如果在点C的位置无法观测到点B，那么BC的长度将无法测量，在此种情况下，又需要采取何种办法解决？

追问：根据上述问题，继续让学生思考，如果没有特殊情况，在测量三角形过程中，同学们有没有其他更好的办法？

师生活动：引导学生尝试从一般三角形的层面考量，在点A，B连线以外的位置取一个点，用C表示，并且从点C的位置能够对A，B两点直接观测，借助量角器对∠C进行测量，用标尺对AC，BC长度进行测量，根据三角形全等判定方法SAS可知，△ABC是确定的，此时只需要将AB长度计算出来即可，并且AB的长度与AC，BC和∠C大小有密切联系.

确定目标问题：在保证△ABC边角关系明确的情况下，边AB也能随之计算出来，因此可以将其转化成数学问题，在△ABC中，如果AC，BC和∠C已知，AB应该如何计算？

子任务1：尝试说明AB和AC，BC之间的数量关系是什么？

子任务2：分析∠C的大小会对AB的长度产生影响吗？

【设计意图】在此环节教学过程中，教师需要为学生提供适当的指导，让学生到达更高的层次.在实0a9df1ef4fdfa469c829a9328eb848d1际解题过程中，需要从隧道问题的测量逐步抽象到平面几何问题，让学生通过自主思考、探究，合理制定解决方案，增强学生的课堂参与度，活跃课堂气氛，也使学生能有更多的时间探索和思考，增强学生的学习意识.通过让学生进行数学建模形成良好的思维能力，能在实践中借助三角形相关知识解决问题.但在实际探究期间，出于对实际现状的考量，学生在解题过程中可能会遇到一些困难.

3 参与式学习问题1 在△ABC 中，设AB=c，BC=a，AC=b.若a，b，∠C已知，如何根据已知条件计算出夹角对应的边长？根据之前分好的小组，同学们利用10分钟左右的时间进行讨论.

师生活动：引导学生在课堂上分析和探究，为学生预留时间思考，在此过程中，教师可以观察了解各个小组的讨论情况，适时为学生提供帮助.同时，教师应了解各小组在讨论过程中是否有意见不统一的情况，小组成员之间各项任务的分配是否合理，小组成员的讨论积极性是否能被充分调动.此外，针对小组讨论过程中出现的问题，教师可以适当提供启发和引导，让学生能够根据教师的提示，找出问题的解决办法.

教师启发学生画出顶角为直角时的草图如图2所示，在∠C为90°的情况下，由勾股定理可知AB2=AC2＋BC2.

追问：在对点C位置选择过程中，要对A，B这两点所在位置重点考虑.那么若∠C不是直角，应该怎样测量？

师生活动：根据探讨画出草图，当∠C分别为钝角和锐角时，如图3所示，画出AB的长度变化.

追问：这种变化可以用数学语言表示出来吗？

（1）当∠C 为钝角时，c2=a2＋b2＋m（m＞0）；当∠C为锐角时，c2=a2＋b2-n（n＞0）.

（2）c2=a2＋b2＋d（当0＜∠C＜90°，d＜0；当90°＜∠C＜180°，d＞0）.

学生在计算期间，大部分会用（1）表示，此时要继续对学生进行引导，让其逐步延伸到（2），建立求第三边的数学模型c2=a2＋b2＋d （d∈R ）.

【设计意图】在此阶段，教师通过鼓励学生进行小组合作探究，在课堂变得轻松的同时，让学生有时间思考，并在组员的帮助下，实现思维的良好发展.同时，在小组探讨环节，教师要预留时间让学生思考“如果别的角是直角，此定理还能用吗？”借助问题，引导学生用数学语言表示c随∠C的变化情况，并学会用符号代替语言文字，让学生初步认识第三边的数学模型.

问题2 c2为a2与b2的和加上或减去一个正实数，与这个数相关的几何元素有哪些？当∠C 分别为30°、45°、120°及135°时，可以计算出这个数吗？

师生活动：借助示范的方式对学生进行引导，如果∠C为30°，c2应该怎么计算？各小组可以分配任务，每个小组计算一个，最后汇总，以节约时间.汇总后得知d与ab有关，且ab的系数与∠C的大小有关.最后猜想d=2abcosC，优化模型之后计算出c2=a2＋b2-2abcosC.

【设计意图】在求第三边模型初步构建完毕的情况下，从特殊条件出发，让学生尝试优化模型.因为特殊情况下的c2需要进行繁琐的计算，为保证课堂时间得到有效利用，教师可以先演示，之后让各小组分工计算，最后在小组协作下得到∠C的度数在不同情况下的d的值，具体度数为30°、45°、120°及135°.从特殊角度着手，注重对学生的启发，学生可以对d的结果展开大胆猜测，并对隧道长度的计算模型进行优化.

问题3 数学知识的学习要做到严谨、科学，结合上述的计算公式，通过利用特殊角计算出c2，在仔细的观察下，尝试将三角形第三边的模型求出来.在此过程中，同学们想一想你的这种猜测是否正确？如果正确，那么利用何种方式验证你的猜想？之前我们一起计算的特殊角度，是否也可以在一般情况下使用？通过小组讨论的形式，同学们利用5分钟左右的时间想一想应该怎样做，最后派小组代表分享小组的统一想法与思路.

师生活动：在不断探讨与沟通中，每个小组可以派一名代表简单说明思路.结合之前计算d的过程，将应用的方法一般化便可以证明猜想.如图4所示，如果∠C的角度是锐角，过点A作BC 边的高，交BC边于点 D，之后通过已知量对AD，BD进行表示，由勾股定理计算AB2，最后开根号.如果∠C的角度是钝角，过点A作边BC的高，延长BC并交于D，同样能将AD，BD表示出来，最后对AB2进行计算.

在∠C是锐角的情况下，AD=bsinC，CD=bcosC，BD=a-bcosC，根据勾股定理，可得c2=AB2=AD2＋BD2=b2 sin2 C＋（a-bcosC）2=a2＋b2-2abcosC.

如图5所示，如果∠C是钝角，AD=bsinC，CD=-bcosC，BD=a-bcosC，根据勾股定理，可得c2=AB2=AD2＋BD2=b2sin2 C＋（a-bcosC）2=a2＋b2-2abcosC.

学生在计算过程中，如果出现对∠C为直角这一情况考虑不到位的问题，教师应该及时提示学生，让学生知道∠C是直角，等式为勾股定理.

追问：同学们想一想是否还有其他的方式证明？在学习本章知识之后，已经掌握了向量方面的知识点，那么此部分知识中有哪些涉及角的余弦方面的知识？AB作为三角形的边，还能用其他的方式表示吗？

师生活动：向量的数量积涉及角的余弦值，那么可以把 AB用大小已知的AC，CB表示，即AB=AC＋CB，由于题干中已经给出夹角，因此通过等式两边平方亦可证明得出结论.

整个计算过程如下所示.

AB2=AC＋CB2=AC2＋CB2＋2·AC ·CB ·cos（π-C） =a2＋b2-2abcosC.

师生活动： c2=a2＋b2-2abcosC在证明过程中，可以利用的方式较多，数学家把这个等式叫做余弦定理.

同理有a2=b2＋c2-2bccosA，b2=a2＋c2-2accosB.

所以测量山顶上的一个点到洞口两个点的距离，同时测量出∠C的度数，最后使用余弦定理即可计算隧道长度.

【设计意图】通过验证猜想的办法，学生可以在探究和验证过程中形成良好的逻辑推理思维，也能在学习过程中始终保持严谨求实的精神，能够脚踏实地地完成每一项任务.同时，教师与学生积极沟通、互动和交流过程中，学生也能厘清解题的思路，此过程不需要让学生动手操作，节约课堂教学时间的同时，学生也能有更多时间思考和分析.若学生在解题过程中没有找到解题的思路，一时之间无法想到使用向量证明，此时教师可以启发学生，让学生将该问题与向量加减法和数量积联系在一起，并与同伴合作共同解决问题.在解决问题期间，学生思维会朝着更高阶层发展，可以对定理的本质有更充分的认识和理解，也可以对此定理进行正确的证明.

4 结语本文通过对高中数学建模教学的分析与研究，探讨“半翻转课堂”在教学中的具体应用.结果表明，此种方法的应用，能够获得良好的教学成效，可以解决高中数学课堂教学中存在的一些问题.同时，通过强化对学生的引导和启发，能够让学生积极参与课堂教学，为学生适当提供帮助，促进学生综合水平的提高.