基于真实情境创设的数学教学

摘 要：本文以“函数y=Asin（ωx＋φ）”的教学为例，融合真实情境进行数学教学.通过自制弹簧振子模型创设真实情境，并结合沙漏辅助实验，引领学生经历提取信息、形成数学问题、理解参数作用、构建函数模型的过程，促进学生数学学科核心素养的发展.

关键词：数学实验；可视化；真实情境；教学设计

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》重视真实情境教学.［1］近年来情境化试题的比重逐渐增大，要求学生在真实情境中主动思考并解决实际问题.［2］因此，教师要在课堂中加强真实情境的创设和运用.何为真实情境？如何创设出真实情境？笔者以“函数y=Asin（ωx＋φ）”的教学为例，与大家交流.

1 基本情况

1.1 授课对象

授课对象来自四星级高中重点班的学生，其思维活跃，课堂发言积极.

1.2 教材分析

“函数y=Asin（ωx＋φ）”是苏教版《普通高中教科书数学必修第一册》第7章第3节的内容，是三角函数基本知识综合应用的一个重要函数模型，也是连接理论知识和实际问题的桥梁，且在物理和工程技术中有着广泛的应用，在高中数学学习中有着不可或缺的作用.

1.3 学情分析

学生已经掌握了正弦函数的图象和性质.本节课旨在从正弦函数过渡到更为一般化的三角函数模型y=Asin（ωx＋φ）.面对新的函数模型，学生理解难度较大，教师应借助实例帮助学生理解新知，认识数学本质.

1.4 教学目标

（1）借助实例，初步感受函数y=Asin（ωx＋φ）的实际应用价值，体会学习本节内容的必要性.

（2）通过实验操作，经历函数y=Asin（ωx＋φ）图象的动态生成过程，培养学生的观察探索能力.

（3）基于真实情境，了解A、ω、φ的实际意义及其对函数图象的影响，感受数学源于生活，应用于生活，从而增强学习数学的兴趣.

2 设计说明

2.1 教学设计理念

真实情境是指蕴含着大量信息且未数学化的问题情境.首先，所选用的情境素材本身必须是真实的，符合学生的认知水平.其次，基于真实的情境素材能提出源于现实需求的真实问题.最后，让学生亲自动手解决问题，真正体会到所学新知与实际生活密切相关.

2.2 弹簧振子模型

基于物理实验的情境本身是真实的，考虑到学生的知识储备和现有理解水平，选取弹簧振子作为新知教学的情境素材，借助操作性实验，让学生参与实际教学过程，感受数学知识的实际应用价值.同时，为在教学中达到对真实情境的深度运用，本文将概念引入与图象性质进行融合，从借助自制弹簧振子模型研究其运动轨迹，到基于轨迹不同探索参数对图象的影响，最终赋予参数实际意义、达成概念引入和图象性质的融合教学.

实验器材：弹簧、橡皮筋、卷筒、挂钩、直尺、一部内置phyphox软件的智能手机.

实验说明： 制作弹簧振子运动模型所需要的器材简单、成本低，易在课堂实现，但常用的获取实验数据的方法（频闪拍照等）较为复杂，且不能直观地向学生展示简谐运动的动态变化过程图象.［3］本设计采用了一款手机传感器软件phyphox.在自制的弹簧振子模型中，将手机作为弹簧振子，作简谐运动过程中可多设备同步显示运动图象，运动结束后软件可导出运动数据.这种利用手机进行弹簧振子简谐运动的实验高效、准确、直观且成本低廉，具有实际应用和推广的可行性，适合学生课外的自主探究，有助于学生探究兴趣和能力的培养.

3 教学过程

3.1 创设情境，引入新知

问题1 我们生活在运动的世界里，机械运动是最常见的运动.在机械运动中，振动很常见，请举出身边振动的例子.

生1：弹簧振动.

生2：把钢尺放在桌边，露出一部分，用手拨，钢尺振动.

生3：医生手术时，超声刀的振动.

生4：说话时，声带在振动.

生5：还有手机来电时会振动.

师：振动现象比比皆是，与生活密切相关.请大家观看海洋浮标运动的视频（如图1），并思考浮标在做何运动？

生：（齐答）海洋浮标在做上下运动.

问题2 若将手机固定在自制的弹簧振子模型上，随后将手机从平衡位置拉开一段距离后释放，请大家思考手机在做何运动？

生：（齐答）与海洋浮标一样做上下运动.

【设计意图】利用学生身边的真实素材创设真实情境，从中抽象出物理模型，基于物理实验整合多学科知识，推动学生对新知的学习，激发学习兴趣的同时培养学生的数学建模能力.

问题3 尝试猜测手机的运动轨迹，并绘制出手机的振动图象.

生6：上下往复，最后趋于静止，所以图象应该只有一段.

生7：可以做实验.

师：下面研究手机的运动轨迹.

方式一：直接播放视频（如图2）.

方式二：借助手机软件呈现振动图象（如图3）.

方式三：类比沙漏实验（如图4），动手操作绘制出弹簧振子的振动图象（如图5）.

操作步骤：两人合作，先在白纸中央画一条直线OO1，使它平行于纸的长边，一个人用手使铅笔尖在白纸上沿垂直于OO1的方向振动（模拟振子运动），另一个人沿OO1的方向匀速拖动白纸，纸上就画出了一条描述笔尖振动情况的图象.

【设计意图】先以视频形式呈现振动轨迹，让学生初步感受，再借助实验装置及手机软件，得到运动轨迹，最后让学生动手操作体验，加深对知识的理解.

问题4 若将弹簧振子（手机）的振动图象放在坐标系中，它与已学的哪种函数图象类似？

生：（齐答）正弦函数.

师：在物理学中，若质点的振动图象是一条正弦曲线，我们将这种运动叫做简谐运动，它在实际生活中应用广泛，高二物理将进一步学习.请问该振动图象的横、纵坐标分别代表什么？

生8：横坐标代表时间，纵坐标代表振子偏离平衡位置的距离.

师：前后对比，思考绘制的图象是否相同？

生：（齐答）不相同.

师：若图象不同，则图象对应的表达式是什么？

生：函数y=Asin（ωx＋φ）.

【设计意图】通过实验引导学生发现新知与旧知存在差别，自然过渡到新模型的学习.

3.2 启发探索，构建新知

问题5 与正弦函数相比，函数y=Asin（ωx＋φ）新增三个参数，对于多参数问题我们如何研究？

生9：可以类比一次函数y=kx+b，研究k时固定b不变，研究b时固定k不变.

师：请结合绘制图象的探索过程思考参数对函数图象有何影响？

生10：每个人控制铅笔尖上下的幅度不一样，函数图象有高有低.

生11：每个人绘制图象的速度也不一样，图象有宽有窄.

师：请思考弹簧振子的振动图象是否相同？

学生活动：动手实验操作弹簧振子模型，现场生成振动图象.

生12：图象有所不同，手机上下振动的最大幅度是可以人为控制的，拉开距离初始位置越远，松手后振动的幅度越大.

实验结束后，学生所作图象如图6、图7所示.

师：请问影响振动的是否还有其他因素？

生13：物体的重量.

生14：拉力的大小.

生15：弹簧的性能.

学生活动：验证自己的猜想是否正确.

教师活动：借助已有器材带领大家一同探索生13所说的猜想.

将不同质量的矿泉水瓶依次挂在相同的弹簧下端，在手机拉开至平衡位置的距离不变的情况下，让学生观察手机软件呈现出的振动图象（如图8、图9）.

师：观察图象，你能发现什么？

生13：所挂矿泉水瓶质量越大，运动越慢，图象越稀疏.

说明：此处教师加以引导，思考数学本质——质量越大，上下振动回到初始位置，即完成一次全振动所需时间越长，借助图象解释周期T与角速度ω之间的关系.

【设计意图】借助实验器材促进学生对函数模型中参数实际意义的理解，培养学生的数据分析能力.

学生活动：独立完成表1.

【设计意图】巩固参数的实际意义.对于φ的理解可加以说明，引导学生结合图象思考初始状态的不同.同时渗透物理实验需控制变量的思想以此类比研究函数问题，这对学生后期的数学学习也有帮助.至于相关的物理常识可课后查阅资料以实现跨学科学习.

3.3 数学应用，巩固新知

教师活动：借助几何画板绘制函数y=A·sin（ωx＋φ）的图象（如图10），带领学生从数学的角度具体观察三个参数对函数图象的影响.

参数变化对正弦型函数y=Asin（ωx＋φ）

图象的影响

A=2.00 A f（x）=Asinx

ω=2.00ωg（x）=Asin（ωx）

φ=3.00φh（x）=Asin（ωx+φ）

【设计意图】从具体到抽象，带领学生从数学角度理解三个参数对函数图象的影响，培养学生的数学抽象能力.

练习 分别找到函数解析式所对应的振动图象（如图11、图12、图13、图14）.

（1）y=5sin2πt-π2.

（2）y=32sin3πt-π2.

（3）y=3sin3πt-π2.

（4）y=5sin3πt＋π2.

【设计意图】回归真实情境，巩固所学新知，促进学生对不同参数各自功能的理解.

3.4 总结升华，畅所欲言

师：本节课我们认识了函数y=Asin（ωx＋φ），了解参数A、ω、φ的实际意义及其对函数图象的影响.请大家谈一谈，经过本节课的学习，你有何收获？

生16：函数y=Asin（ωx＋φ）是刻画振动模型的有力工具.

生17：以后对多因素影响的问题探究时，要学会控制变量进行研究.

……

师：课后请思考函数y=Asin（ωx＋φ）是否有其他的应用价值，振动模型是否过于单一.

【设计意图】帮助学生养成回顾新知的习惯，并激发学生对新知在其他领域的应用进行思考，为后续新知在实际生活中的应用做好铺垫.

4 教学反思

4.1 真实情境容易让学生入境

成功的教学所需要的不是强制，而是激发学习的兴趣.真实的教学情境必须适合学生的年龄特点和认知规律，将知识融于学生喜闻乐见或易于理解的情境之中，以激起学生的探究欲望.教学实践表明，聚焦学生实际生活的真实素材创设真实情境，基于“可视化”的数学实验引领学生经历函数图象的探究过程，通过直观体验、实验操作等方式调动学生的多感官参与，不仅能充分激发学生的学习兴趣，发挥学生的潜能，还能使之获得真实的情感体验，主动入境.同时，学生积极主动思考基于真实情境引发的问题，了解知识的实际应用背景，经历知识的再生成过程，能更深入地理解所学知识的实际价值，培养自主探究、主动建构数学知识的能力.因此，创设的情境越真实，越能激发学生的兴趣去发现和探讨问题.

4.2 教师要善于创设真实情境

新课改提倡高中数学应以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.尽管真实情境的创设很不容易，但是对教学却非常有效.教师要善于创设真实的教学情境，关注学生的学习体验和学习兴趣，给学生提供一个“真实”且“共情”的课堂环境，让学生感受数学的实际价值，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力.具体来说，教师应认真研读教材，借助网络资源、相关视频等，挖掘与数学相关的实际背景，实现所学内容与情境素材的深度融合，创设出真实的情境.同时，善于以多元化的问题链驱动学生思考，让学生基于真实情境自主探索并加以解决，最终帮助学生进行学科知识的灵活迁移与运用，培养学生在真实情境中解决问题的能力，并认识到数学学习的意义.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］赵轩，任子朝，翟嘉祺.高考数学科情境化试题设计研究［J］.数学通报，2021（12）：1-3＋66.

［3］李立民，张勇.用智能手机研究弹簧振子的横向简谐运动［J］.湖南中学物理，2020（7）：51-52＋23.