数形结合在小学数学教学中的价值与应用路径探究

摘要：数学是数量关系与空间形式紧密结合的一门学科，研究“数”与“形”的关系，可以让学生更为全面且深入地理解小学数学四大领域的内容。因而，在具体的教学中，教师应该积极应用数形结合思想，通过以形助数、以数解形、数形互助的方式，助力学生展开更高质量的数学课程学习，深化他们的数学思维内核，大幅提升他们的学科综合素养。基于此，文章先分析了数形结合在小学数学教学中的应用价值，随即探寻了数形结合在小学数学教学中的应用路径，旨在让数学课程教学的模式更为丰富多元，为学生的终身学习与可持续发展奠定坚实的思维根基。

关键词：数形结合；小学数学；教学价值；应用路径

中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1673-8918（2024）38-0074-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出了“四基”，即要求学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。其中，“基本思想”包含了“数形结合”思想，它在数学中的运用能够帮助学生获得对所学知识内容的全方位认知，实现代数与几何领域的融通，建构富有体系的知识结构，促使学生各项思维能力得到提升与发展。因而，在具体的教学中，教师有必要重视数形结合思想的应用，要根据所教学的内容，引领学生实现数与形的有效转化，创新思维及思考模式，助力学生学科核心素养的全面培育。

一、 数形结合在小学数学教学中的应用价值

（一）有利于学生深层理解算法

数形结合在小学数学教学中的应用将促进学生深层理解算法。数形结合本身具有一定的思想性，同时也具有很强的操作性。算理算法是小学数学教学中的重点内容，很多学生往往对算法认识不清，存在模棱两可的情况，学生只达到了“知其然”的状态，尚未达到“知其所以然”的状态，以至于很难从算理算法的角度完成对代数知识内容的理解，更难以实现灵活运用。而数与形的有机结合便能够让教师借助图形将算理算法的重难点以直观、形象、具体的形式呈现出来，使学生将看似抽象的算理与具体直观的图示联系起来，化难为易、化抽象为直观，大大推进学生代数思维的延展，明晰算法知识的本质，促进他们对代数知识的创新及灵活应用。

（二）有利于学生全面认知图形

数形结合在小学数学教学中的应用将能促进学生全面认知图形。在小学数学课本教材的编排中，编者大多利用图形说明并解决一些抽象的数学问题，这在一定程度上考查了学生的图形认知与解读能力，还需要学生在图形认知能力的基础上形成相应的数学模型，深化数学思维。在具体的教学中，教师通过数形结合的方式，便能够让整个教学流程变得严谨生动、科学高效。学生将通过数的方式解读图形，实现几何直观思维与代数思维融通，从多个不同的角度解读几何知识，学会用代数理清几何图形的基本特点，从代数的角度建构起有关于几何的数学模型。这样的方式能够加深学生对“形”的认知，学生还能够通过画一画、想一想、算一算等方式，将其内化于心，外化于行，持续增强空间想象能力。

（三）有利于学生理解数学本质

数形结合在小学数学教学中的应用有利于促进学生建立表象，理解数学本质。学生在数学学习的过程中，最初从具体的物体认识数，而后逐渐深入，这与人类最早的形象记事方法有着异曲同工之妙。学生数学思维的发展遵循形象思维向抽象思维逐层过渡的规律，数形结合也恰恰遵循这种规律。教师通过数与形之间的相互助力，为学生建构起直观化、图形化的数学模型，能使学生通过图形转换理解相应代数知识的推理与演算过程，更理解图形转换前后的关系，进而使得学生的数学学习更为系统。学生经过数与形的互相转换，能够进一步理解知识的本质，实现抽象思维与形象思维、抽象概念与具体形象之间的转化与联系，从而在理解数学本质的基础上高效分析并解决问题，以此推进实现更高质量的数学实践。

二、 数形结合在小学数学教学中的应用路径

（一）以“形”助“数”，夯实算数根基

以形助数指的是以“形”解决“数”的问题，加深学生对“数”的认知。这里的“数”指的是算数，可以理解为代数领域的基础性知识，比如，算数概念、算法算理等。教师可以通过“形”的方式辅助学生理解算数知识，降低算数知识的抽象性，为学生创造直观想象的探索与分析条件，夯实学生的代数思维根基。

1. 以“形”理解算数概念

小学数学的算数概念比较多，比如，整数、加法、减法、乘积、除数、被除数、约数与倍数、公倍数等，这些概念均有抽象性特点，学生在理解的时候较有难度。教师借助不同的直观图形辅助学生理解，将能降低这些算数概念的抽象性，促进学生从“形”的角度出发，创造性地理解其内核与本质，为后续迁移运用算数概念奠定坚实基础。

以人教版小学数学课本教材为例，教师在教学《因数和倍数》时，如果只是通过出示算式“4×5=20”，然后口头向学生解释“像4×5=20这样的算式，4和5就是20的因数”，很难让学生获得对“因数”概念的深层理解，也不利于学生在后续的解题实践中找到一个数的全部因数或者两个数的共同因数。因此，为了加深学生的理解，教师可以通过以形助数的方式，为学生展示直观图形，辅助学生理解。比如，教师可以出示以下直观图：

教师为学生出示了4×5的方框图，图中的每一个小正方形边长为1，面积为1平方厘米，整个长方形的面积为20平方厘米，对应的数字为4、5、20。教师可以通过长方形长与宽的关系表现算式中的倍数与因数关系。经过观察，学生发现图中还存在其他的倍数和因数关系。比如，将①部分的一个小正方形视为一个整体，20个小正方形铺满这个长方形，便可以找到20的两个因数为1和20；将②部分的小长方形（两个正方形）视为一个整体，便有10组这样的小长方形铺满整个长方形，便可以找到20的两个因数为2和10；将③部分的小长方形（四个小正方形）视为一个整体，便有五组这样的小长方形铺满整个长方形，便可以找到20的两个因数为4和5。通过这样的方式，教师便帮助学生顺利找齐了20的全部因数，学生也将深刻认识“一个数的因数就是能够通过某些相乘规律构成这个数的其他数”“一个数的因数可以有很多个”的意思，进而实现对“因数”概念的全方位理解。

2. 以“形”领悟算理算法

算理算法是学生展开数学运算的基础，学生只有理清算力与算法之间的关系，才能更好地展开简便运算，促进数学推理能力的发展。因此，教师可以通过“形”的方式帮助学生领悟算理算法，让算数学习从表层走向深层。

（1）算理分析

教师可以通过以形助数的方式帮助学生分析算理，使学生充分掌握其运算法则及运算律，进一步理清楚运算的相关性，并能够借助图形将抽象的运算规律直观形象化。

以人教版小学数学课本教材为例，在教学《小数乘小数》时，教师为了让学生掌握更加复杂的小数乘法算理，便可以通过直观图的方式帮助学生理解。比如，教师让学生计算2.7×1.3时，便可以为学生出示以下图示：

如上，通过这样的图示，教师引领学生用长方形面积的方法来计算2.7×1.3，从而看到数学知识之间的联系，达到融会贯通的地步。以此为基础，学生也能更能够更好地将多位数的小数乘法计算转变为整数乘法和小数乘整数的计算。比如，1.8×1.25 便可以写成：1×1+1×0.25+0.8×1+0.8×0.25=2.25。学生用竖式计算小数乘小数其实并不难，但是要让他们理解计算内在含义或者在计算其他领域的应用时，就需要基于自身的算理认知基础拓展迁移。教师引领学生通过以上方式完成了小数乘小数的计算，让他们捋顺了思路，完善了算理分析，为后续的学习奠定了更为坚实的基础。

（2）算法深悟

算法是学生理清了算理基础上的持续深化，学生需要领悟更深层次的运算方法，以运用简便运算策略解决问题。在这一环节，教师需要根据不同的算法为学生构造图形，让学生转译算法语言，深层领悟算法要义。

以人教版小学数学课本教材为例，教师在教学《分数加减混合运算》时，便可以为学生出示一道比较经典的混合运算题，让学生从图形的角度完成分数算法解析。教师可以为学生呈现“12+14+18+116”这一例题，让学生尝试以算式为载体找出其中的算法规律。学生结合所学的知识，能够找出“分数的分子都是1”“后一个分数的分母是前一个分数分母的两倍”等规律，但他们并不能从这些规律中找到简便算法。对此，教师就可以构造图形，开阔学生思维。如下：

如上，教师为学生构造了一个边长为4厘米的大正方形，正方形内部分为了不同的模块，可以让学生在空白区域依次填写分数。学生填写完成之后，将发现①占据整个大正方形的12，②占据大正方形的14，③占据整个大正方形的18，④和⑤各占据整个大正方形的116。这样学生便明确了12+14+18+116其实就是计算除⑤之外图形的面积之和。因而，整个算式计算便可以将正方形看作“单位1”，而后计算⑤的面积“1-116”。随即，教师便可以以此延伸出一个探究性问题：是否所有形如12+14+18+116都可以按照“1-最后一个分数”的模式简便计算。学生便可以围绕这一问题，自主设计算式，通过画图的方式进一步验证结论，持续深化算法思维。

（二）以数解形，提升空间想象

以数解形指的是用“数”解释图形的形式，促进学生更为精准地认知图形。教师可以根据所教学内容选择多种形式的“数”，如数学符号、数学语言等，实现对“形”的解读。有了代数思维加持，学生将能增强逻辑推理思维，对“形”有更为严谨、科学的认知。

1. 以“数”把握图形抽象特征

几何图形中的抽象特征指的是隐含在几何图形中的数学特征，比如，图形周长与面积的特征、体积与表面积的特征等，这些都是学生在几何知识的学习中所要掌握的。很多时候，学生无法通过直观想象理解这些特征，所以，教师可以通过“数”的方式帮助学生挖掘其中隐藏的抽象信息。

以人教版小学数学课本教材为例，在教学《圆的周长》时，学生对圆周长与圆直径关系的把握是教学的重点，只有领悟二者间的抽象特征，才能夯实“圆的周长”认知、运算与实践基础。因此，教师在让学生探寻圆周长与圆直径关系时，便可以为学生提供不同大小圆形的纸片，让学生用软尺测量这些圆形纸片一周及直径的长度，并通过列表格的方式呈现自己的结果。经过一系列实践操作之后，学生将发现圆周长与圆直径之间存在“三倍多一点”的关系，但是具体多少尚未形成统一的结论。对此，教师可以根据学生刚才所测量的结果，让他们算一算不同大小圆形纸片周长与直径之间具体的倍数关系，计算的结果保留两位小数。此时，学生便将完成运算实践，将所测量的圆的周长除以所测量圆的直径。经过对不同圆形纸片周长与直径的计算，学生可以得到近似于3.14的结果，这样学生便自然而然地发现了“π”。根据学生计算的基础，教师可以让学生自主总结圆形周长与圆形直径之间的抽象特征（数量关系）：C=πd，以让学生掌握与圆周长相关的数量关系，让他们从“数”的角度理解“形”，也更方便后续解题实践中对相关知识点的迁移运用。

2. 以“数”参与图形推理论证

在学习小学数学的几何图形知识时，学生常常需要完成对相关图形面积公式、体积公式、表面积公式的推理论证。在让学生推理论证时，教师如果从“数”的角度，让学生循着几何图形内在的数量关系完成推理，更有利于帮助学生打通数与形之间的壁垒，让他们的推理过程充满乐趣。同时，以“数”为支撑展开推理，逻辑也更为严谨，从而使学生的思维从低阶转向高阶。

以人教版小学生数学课本教材为例，教师在教学《多边形的面积》时，整个单元的重点就是让学生推导平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式。在这一过程中，为了提升学生的自主探究能力，教师便可以开设“种子课”，先以“数”帮助学生连接几何图形面积计算之间的关系，让学生在“元知识”中迁移、同化、推导其他相关几何图形的面积计算公式。比如，教师可以利用多媒体为学生出示以下图片：

教师先让学生看第一个长方形，根据已有知识基础（长方形面积=长×宽），用“数”的形式表示图形的内容。学生经过思考，快速回答：长方形的面积=每行面积单位的数量×行数。随即，教师便可以让学生观察第二幅图形，让他们通过“剪拼”或“绘画”的方式验证“平行四边形的面积=每行面积单位的数量×行数”这一结论。学生在研究中将发现“每行面积单位的数量”“行数”与平行四边形“底”和“高”之间的关系，进而归纳出面积计算公式为：底×高。在完成了这样的推理论证之后，教师可以继续让学生循着后面两张图片完成推理，迁移运用，以“每行面积单位的数量×行数”这一数量关系厘清三角形、梯形图形中边长和高的关系，进而完成面积公式的推理，持续深化数学逻辑思维。

（三）数形互助，高效解决问题

新课标中多次强调让学生解决数学问题和实际问题，而核心素养其实就是学生在复杂问题的不断解决中生成的。数形互助在促进学生解决复杂问题方面有着极大助力，它将让学生灵活运用代数与几何知识，根据问题中所给的数量关系找准已知条件、隐含条件与所求问题之间的内在关联，而后通过以形译数、以数展形的方式找到解题突破口，提升学生的问题解决效能。

以人教版小学数学课本教材为例，教师在教学《数学广角——鸽巢问题》时，需要引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动探究“鸽巢原理”，培养“模型思想”。对此，教师便可以为学生出示以下经典问题：

将4支笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有多少支？为什么？

基于这一问题，教师可以让学生经历以下三种方法的实践，如下：

学生抓住题目中的已知条件，完成绘画活动，能够经历“有余数时至少数=商+1”模型的构建。随后，教师可以将原式变一变，将“3个笔筒”变成“2个笔筒”，学生在此基础上继续绘图，而后经历“没有余数时至少数=商”模型的构建。通过以上两个模型的探究，学生便可以迁移运用，回到教材中探寻教材中的“鸽巢原理”，持续深化模型认知，积累丰富的建模经验，培育核心素养。

三、 结论

综上所述，数形结合在小学数学教学中的应用是十分重要的，它将推进课程教学的改革与优化，让学生明晰数学学科的本质，研究数量关系和空间形式，获得对知识的具象化认知。因而，教师要深谙数形结合的本质，借助以形助数、以数解形、数形互助等方式，夯实算数根基、促进空间想象、高效解决问题，让学生的数学学习过程高效、高质，扎实数学学习根基。

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