用类比学习求解数列递推关系求通项问题

类比是人认识世界的一种重要方法，亦是诱导人们学习新事物、进行创造性思维的重要手段.高中数学中就有许多类比学习的内容，如平面向量与空间向量、圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）、等差数列与等比数列等，并且类比思想贯彻整个高中数学始终.由此可见，在高中数学解题中能否用好类比学习对提高解题能力十分重要.下面以数列递推关系求通项为例阐述.

一、an+1=Aan+f（n）（A≠1）型

我们知道，对于an+1=an+f（n）（其中f（n）前n项和可求）型递推关系可以用累加求和的方法求出通项公式an，那么an+1=Aan+f（n）怎么求呢？不妨从简单情况开始，然后类比学习求解.

1.an+1=Aan+B型

不难知道an+1=Aan+B一定可以化成an+1+C=A（an+C）形式，根据an+1=Aan+（A－1）C=Aan+B得（A－1）C=B，于是C=BA－1，所以an+1+BA－1an+BA－1=A，从而知数列an+BA－1是首项为a1+BA－1、公比为A的等比数列，故an+BA－1=a1+BA－1）·An－1，则an=a1+BA－1）·An－1－BA－1.

2. an+1=Aan+Bn+C型

类比an+1=Aan+B型化成an+1+C=A（an+C）形式求通项思路，可以合情推理an+1=Aan+Bn+C型递推关系化成an+1+Dn+1+E=A（an+Dn+E）形式，根据an+1=Aan+AD－Dn+A－1E－D=Aan+Bn+C得AD－D=B，A－1E－D=C，解得D=BA－1，E=A－1C+B（A－1）2，

所以an+1+BA－1n+A－1C+AB（A－1）2an+BA－1n+A－1C+B（A－1）2=A，从而知数列

an+BA－1n+A－1C+B（A－1）2是首项为

a1+A－1C+AB（A－1）2、公比为A的等比数列，

故an+BA－1n+A－1C+B（A－1）2=a1+A－1C+AB（A－1）2）·An－1，

则an=a1+A－1C+AB（A－1）2）·An－1－BA－1n－A－1C+B（A－1）2.

3. an+1=Aan+Bn2+Cn+D型

有了前面两种类型解决经验，该类型很容易进行以下类比：因为an+1+En+12+Fn+1+G=A（an+En2+Fn+G）形式，根据an+1=Aan+AE－En2+AF－2E－Fn+AG－E－F－G=Aan+Bn2+Cn+D得

AE－E=B，AF－2E－F=C，AG－E－F－G=D，

解得E=BA－1，F=A－1C+2BA－12，G=A－1C+A+1B+A－12DA－13，所以

an+1+BA－1（n+1）2+A－1C+2BA－12（n+1）+A－1C+A+1B+A－12DA－13an+BA－1n2+A－1C+2BA－12n+A－1C+A+1B+A－12DA－13=A，从而知数列{an+BA－1n2+A－1C+2BA－12n+

A－1C+A+1B+A－12DA－13}是首项为a1+

A－1AC+3AB－B+（B+D）（A－1）2（A－1）3、公比为A的等比数列，故an+BA－1n2+A－1C+2BA－12n+

A－1C+A+1B+A－12DA－13

=a1+A－1AC+3AB－B+（B+D）（A－1）2（A－1）3）·An－1，

则an=a1+A－1AC+3AB－B+（B+D）（A－1）2（A－1）3）·An－1－BA－1n2－A－1C+2BA－12n－A－1C+A+1B+A－12DA－13.

4.an+1=Aan+Ban型

很自然会进行以下类比：an+1+C·an+1=A（an+C·an），于是an+1=Aan+（AC－aC）an=Aan+B·an，则AC－aC=B.

当A≠a时，C=BA－a，此时an+1+BA－a·an+1an+BA－a·an=A，所以数列{an+BA－a·an}是首项为a1+BaA－a、公比为A的等比数列，则an+BA－a·an=a1+BaA－a）·An－1，即an=a1+BaA－a）·An－1－BA－a·an.

当A=a时，不存在C使等式AC－aC=B成立，该如何求解呢？

因为an+1an+1=Aan+Banan+1=anan+Ba，则an+1an+1－anan=Ba，于是知数列anan是首项为a1a、公差为Ba的等差数列，故anan=a1a+（n－1）Ba，所以an=a1·an－1+B（n－1）·an－1.

从上述论述可以归纳得，对于an+1=Aan+f（n）（A≠1）型递推关系求通项问题，我们可以构造一个与f（n）同类型的一般式g（n）使等式an+1+g（n+1）=A（an+g（n））成立，然后用待定系数法确定g（n）表达式，这样就可以通过等比数列{an+gn}通项求得数列an通项.

例1.已知数列an满足a1=1，

（1）若an+1=2an+1，则an=；

（2）an+1=2an+n+1，则an=；

（3）an+1=2an+n2+n+1，则an=；

（4）an+1=2an+3n，则an=；

解析：（1）因为an+1+1=2an+1），所以数列{an+1}是首项为a1+1=2、公比为2的等比数列，故an+1=2×2n－1，则an=2n－1；

（2）因为an+1+（n+1）+2=2an+n+2），所以数列an+n+2}是首项为a1+1+2=4、公比为2的等比数列，故an+n+2=4×2n－1，则an=2n+1－n－2；

（3）因为an+1+（n+1）2+3（n+1）+5=2an+n2+3n+5），所以数列an+n2+3n+5}是首项为a1+1+3+5=10、公比为2的等比数列，故an+n2+3n+5=10×2n－1，则an=5·2n－n2－3n－5；

（4）因为an+1－3n+1=2an－3n），所以数列an－3n}是首项为a1－31=－2、公比为2的等比数列，故an－3n=－2×2n－1，则an=3n－2n.

二、an+1=Aan+BCan+D型

1. an+1=AanCan+D型

该类型解答的思路是两边取倒数，即1an+1=Can+DAan=DA·1an+CA.当A=D时，1an+1－1an=CA，数列1an是等差数列，故1an=1a1+（n－1）·CA于是不难解得an通项公式.当A≠D时，数列1an递推关系成为1.1类型，于是亦可求得an通项公式.于是对于an+1=Aan+BCan+D型我们也类比上述解答过程，即两边取倒数得1an+1=Can+DAan+B，没有达到2.1类型的解答效果.问题在哪里呢？我们继续看下面类型.

2. an+1+1=Aan+ACan+D型

两边取倒数1an+1+1=Can+DAan+A=CA·an+DCan+1=CADC－1an+1+1=D－CA·1an+1+CA，这样地话问题就转换成为数列1an+1是1.1类型了，于是就可以通过求1an+1通项公式而得到an通项公式.为什么类型2.1与类型2.2可以取倒数求通项公式但类型2不可以取倒数求通项公式呢？原因在哪？仔细观察类型2.1与类型2.2结构，可以发现等式左边与等式右边分子具有完全相同的结构特征（2.1是an+1与Aan、2.2是an+1+1与Aan+A），于是如果能将an+1=Aan+BCan+D也化成具有类似结构特征的等式也就可以取倒数求解了，那么如何做可以达到呢？

3.an+1=Aan+BCan+D型

我们可以用待定系数法的方法达到如前所述要求，如果an+1+λ=Aan+BCan+D+λ=A+λCan+B+λDCan+D（）符合类型2.2结构特征，那么1λ=A+λCB+λD，Cλ2+A－Dλ－B=0，当关于λ的一元二次方程有解时，能够解出λ的值（可能一个也可能两个），则代入（*）式后便可以成为类型2.2.

例2 .已知数列an满足a1=2，an+1=3an－1an+1，若x表示不超过x的最大整数，则a10=.

解析：因为an+1－1=3an－1an+1－1=2（an－1）an+1，所以1an+1－1=an+12（an－1）=1an－1+12，所以数列1an－1是首项为1a1－1=1、公差为12的等差数列，故1an－1=1+n－1·12=n+12，所以an=2n+1+1，于是，当n2时，1<an<2，则an=1，故a10=1.

类比学习不仅是一项非常重要的数学解题思路，更是学习数学的作用之一，在平时的解题中应该有意识的去应用.

【作者简介：中学高级教师，主要从事高中数学教学与解题研究，在各省市刊物发表文章数百篇，人大全文转载4篇】

责任编辑 徐国坚