“三角形”结构化设计：单元整体教学的路径探索

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。文章结合具体的教学案例，从单元内容结构化、学习任务结构化及数学思维结构化三个核心层面，探索“三角形”结构化教学设计的实施路径，培养学生的数学核心素养。

【关键词】结构化设计；单元整体教学；三角形的认识

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在课程理念部分着重指出，在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。一方面了解数学知识的产生与来源、结构与关联、价值与意义，了解课程内容和教学内容的安排意图；另一方面强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立有意义的知识结构。［1］

数学一直被视为一门抽象、严谨和逻辑性强的学科。“图形与几何”是小学数学的重要内容，为了建构这一领域的结构化体系，在单元整体教学视域下，教师通过结构化教学设计，将抽象的数学结构转化为学生乐于探究、易于理解的数学高阶思维。本文以人教版数学四年级下册“三角形”单元教学为例，深入剖析单元整体结构化教学设计路径，以期为小学数学教学提供有益的参考。

一、单元内容结构化：核心概念统领结构

单元教学内容的结构化是指以单元核心概念为统领，从结构化的角度对原有单元知识的数量比例、排列次序、组织形式进行合并、删减和调整。单元内容的结构化是为了落实教与学的结构化。

（一）系统梳理：把握单元内容的定位

通过对人教版一至六年级12册数学教材进行系统梳理，我们发现“图形的认识与测量”这一主题在教材中的呈现主要集中在14个单元（如图1）。由图1可知，各年级教材对于“图形的认识与测量”的分布各有侧重，但总体而言，皆以线、面、体为核心展开教学。教材内容相互关联，呈螺旋式上升；由浅入深、从分到合，凸显内在一致性；注重序列安排、板块推进，形成“图形的认识与测量”学习的一体化。

从九年义务教育数学学科内容编排来看，三角形的学习贯穿始终。一年级时，学生能够直观辨认三角形；四年级时，学生能够刻画三角形的特征，并初步探索边、角性质；八年级时，深入研究三角形的性质，如勾股定理、全等、相似等，严谨证明其边、角的关系。其中，四年级三角形的学习尤为关键，它标志着学生从感性认识到理性认识的转变，同时也是三角形边、角性质研究的起点。

（二）深入分析：理解单元内容的层次

单元内容的结构化包含横向和纵向两个层面。横向层面注重同级结构间的相关性、连接性和互补性；纵向层面则关注高低结构间的包容、发展和深入关系。在特定时空背景下，这两种结构层次交织构建，形成整体，展现数学结构的多样性和统一性。

在横向层面上，三角形的认识涵盖四个阶段：认知、测量、位置及运动。在认知阶段，学生从识别“三条边围成的封闭图形”发展到概括三角形的特性；在测量阶段，学生遵循统一的度量方法，关注三角形边的长短、角的大小；在位置阶段，学生通过定位顶点，把握三角形的空间位置；在运动阶段，学生通过三角形边与角的变换，发现相互之间的联系。

在纵向层面上，三角形的认识下位解构为线、角的认识与位置判断，上位重构则可发展成平面图形、立体图形的测量，包括如圆锥的认识及其表面积、体积的测量。整个学习内容保持前后呼应、上下贯通，内容结构从“碎片化”转向“系统化”。

（三）整体建构：推进单元内容的统合

1.分解要素形成知识链

几乎所有的平面图形的认识都是从研究图形的边和角开始，三角形也一样。［2］“三角形”单元教学聚焦学生空间观念培育，围绕三角形的特征展开。教师可以以“三角形具有什么特征”为内容主线，依据图形要素，分解出一系列知识点：边有何特征？角有何特征？高有何特征？等等。教师进一步引导学生探讨如何根据要素特征进行三角形的分类，如何依据要素特征绘制三角形等。

在建构知识链的过程中，学生应遵循循序渐进的原则，先探究局部特征，再总体把握三角形的特征。具体而言，先探究三角形的边、角、高的特征，接着研究三角形的分类和三角形绘制的方法，最后整体构建对三角形的认知。这一策略有助于改变原有教材内容零散、学生学习路径不清晰的情况，更符合认知事物的普遍规律，从而助力学生形成完整的知识链。

2.按标分类织成知识网

图形的认识是培养学生抽象思维和空间观念的重要领域。在图形的认识中，依据一定的标准给图形分类是一个至关重要的思想方法，分类不仅是建立图形概念的基础，更是帮助学生理解图形共性和差异性的关键。

本单元通过边、角、高对三角形进行分类，学生可以更加清晰地认识到三角形每个类别的特点，体会制订合理分类标准的重要性。进行分类时，学生需要确保分类结果“不重不漏”。如此，学生不仅能够更好地理解概念、积累经验，逐步形成三角形的知识网，还能发展空间观念，提高抽象逻辑能力。

3.抓住关联建构知识体

图形的各个要素之间是相互关联的，而关联的建立有助于学生整体把握对图形的认知。认识三角形时，学生通过精细的观察与具体操作，探究边、角的特征及边、角在运动与变化中的规律，进而理解在同一个三角形中，边的长短、角的大小之间的关联性。这种关联性的理解，有助于学生整体建构三角形的认知，认识平面图形特征结构上的“三个维度”，即边的特征，角的特征，边与角的变化规律。

二、学习任务结构化：单元目标指引路径设计

（一）学情诊断：找准学生学习的起点

为了准确掌握学生学习三角形的基础，找准学生自主探索的空间，了解开展探究活动的经验支撑和学生认知体验的需求，教师组织了单元前测（如图2）。从认知基础看，学生在学前已能识别三角形，并能用三角形拼接其他图形；学习了角的知识；掌握两直线的位置关系。从经验基础看，学生在生活中广泛接触三角形原型，积累了感性经验，初步具有空间观念和推理能力，为学习三角形提供了支持。总之，学生能够直观认知三角形，大部分学生能简要描述其显性特征，但学生在理解三角形三边关系时遇到困难，仅23.7%的学生能合理说明3根小棒能围成三角形的理由。单元前测及数据统计与分析为找准本单元的教学起点提供了依据。

（二）素养导向：确定单元学习目标

本单元的教学基于课标要求与学情基础，引导学生在观察、操作、想象、比较等活动中理解三角形各要素特征，沟通要素之间的联系，不断丰富对三角形的整体认知，促进学生空间观念的发展。由此，确定了以下单元学习目标：

（1）通过观察、操作和实验探索等活动，理解三角形边、角、高的特征；

（2）能综合运用三角形的特征，按不同标准对三角形进行分类，能用尺规画三角形；

（3）通过边、角的运动和变化，沟通边与角之间的联系，发展学生的空间观念；

（4）通过分析、比较、归纳等活动，培养学生的推理意识；

（5）感受数学与生活的联系，感悟三角形的稳定性。

（三）任务驱动：设计学习进阶路径

数学探究学习是以素养为导向、以问题为驱动，引导学生运用类似科学探究的方式，通过观察、提问、实验、类比、验证、推理、概括、表达、运用等活动，实现对数学知识发生发展的理解，以及对数学知识的运用和迁移。［3］教师既要关注局部，又要注重整体，进行结构化、系统化设计，让学生经历观察、实验、猜测、推理、验证等过程。这种设计直接关联数学知识的理解和思想方法的形成，引导学生有效建构知识，积累经验，感悟思想，提升数学学科核心素养。

本单元围绕单元学习目标，以任务为驱动，从探究三角形边、角、高的特征出发，遵循要素解析、关联搭建、整体构建的逻辑顺序，根据认识三角形的动态结构，分三个维度创设情境，引导学生开展观察、猜想、验证、归纳等数学实践活动，促进学生学习进阶，使学生逐步从外部到内部、从局部到整体认识三角形。具体课时安排如表1所示。

1.识三角形：聚焦要素探究特征

围绕认识三角形这个核心任务，教师把三角形进行要素分解，精心设计了三个子任务，分三个课时探究三角形特征。

第一课时是“三角形的三边关系”，从边的维度深入剖析三角形的特征。教师提供了3组小棒，每组3根，分别为5cm、7cm、12cm，5cm、7cm、10cm，5cm、7cm、14cm，让学生尝试围三角形。学生在操作中发现：有的三条边能围成三角形，有的不能围成三角形。进而思考三角形三条边长度之间的关系，感悟“任意两边之和大于第三边”。然后，教师引导学生用“两点之间线段最短”这个基本事实说明该命题的正确性，使学生形成推理意识。

第二课时是“三角形的内角和”，从角的维度揭示三角形的特征。教师引导学生通过画、量、折、分等操作活动，让学生主动探索三角形内角和的奥秘，使学生发现三角形内角和为180°的规律。在此过程中，教师注重培养学生的数学研究方法，将这些学习经验迁移至多边形内角和的探究中，引导学生感悟多边形内角和的探究方法。

第三课时是“三角形的高”，从高的维度深化对三角形的认识。在学生初步认识三角形高的基础上，教师通过格子图，使三角形底边固定不变，变化顶点的位置，使顶点上下、左右移动，引导学生观察、对比和分析，并让学生思考高发生了怎样的变化。从而得到高的长短代表顶点与底边的距离，感悟三角形高的内涵，理解三角形“从一个顶点出发有且仅有一条高”和三角形高的位置关系。

2.分三角形：经历分类理解概念

三角形的边、角、高是三角形的基本要素，以三要素为依据对三角形进行分类可以促使学生深入理解概念的同时培养推理能力，完善对三角形的认识。教学时，教师应引导学生用关联的眼光看待不同分类标准下的三角形，结合边、角、高的因素认识三角形。三角形分类有三种方法：一是按边的长短分为不等边三角形、等腰三角形（包括等边三角形）；二是按角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；三是按高的位置分为三条高都在内部的三角形、两条高在边上的三角形、两条高在外部的三角形（如图3）。学生可能会按高的条数分，但分不出来，教师可以引导学生深化对高的认识，感悟每个三角形都有三条高。

如图3所示，教师可以引导学生在沟通不同类三角形之间关系的同时，丰富学生头脑中三角形形状的素材库。适时追问“等边三角形会是直角三角形或钝角三角形吗？”“等腰直角三角形3个角的度数有什么特殊之处？”等问题，引发学生思维碰撞，进一步深化学生对三角形的认识。这一过程实质上是学生认知结构的自我建构过程。

3.画三角形：沟通要素感悟关联

用尺规作三角形是本单元新增加的内容。教师需引导学生画弧找第三个顶点，体现尺规作图的价值。学生借助尺规作图绘制三角形，沟通三角形的边、角关系。教学分三个层次展开。

第一层次，学生绘制一个边长为3cm、4cm、3cm的锐角三角形，探究借助尺规绘制三角形的原理。

第二层次，学生绘制边长为3cm、4cm、5cm的直角三角形和边长为3cm、4cm、6cm的钝角三角形，感悟尺规作图的科学性与优越性。

第三层次，教师引导学生观察三角形的边与对应角的关系：当3cm和4cm的两条边长度保持不变，而夹角发生变化时，第三条边的长度也会相应改变；随着3cm和4cm两边的夹角增大，对边的长度也会随之延长。以钝角三角形为例，6cm这条边所对应的角最大，3cm这条边所对应的角最小（如图4）。

学生在画三角形的过程中，尝试用尺规作已知三边的三角形，既能感悟三角形三边的关系，又能感悟三角形的稳定性。由此，教师围绕尺规作三角形，串联起学生已有的图形知识和操作体验，让学生进一步感悟三角形边与角的联系，整体认识三角形。

三、数学思维结构化：系统联结丰富多元体验

（一）求证猜想：推进数学探究的程序

在“三角形”单元学习中，猜想、验证、分析和归纳的学习过程，构成了学生数学探究活动的基本程序，培养了学生的问题意识和问题解决能力。这种以问题为导向的探究流程设计，能够有效突破学生的学习困境，厘清学习路径，促进学生认知思维从低阶向高阶发展。在深度学习的过程中，学生逐渐掌握了自主探究学习的方法，学会用数学的视角洞察现实世界，用数学的语言描述现实世界，激发了内在的学习动力，形成“我要学、我要探究”的学习情感。

在后续的学习中，教师需要精心设计学习任务，让学生在明确的任务驱动下，自觉运用已有的知识经验自主迁移，经历猜想、验证、分析和归纳四个基本程序，帮助学生在严谨、理性的学习中，深化对数学概念的理解，丰富对数学思想方法的感悟。

（二）提炼要素：理解数学概念的方法

结构化学习是以数学知识系统和学生已有认知为基础，以动态建构为切入点，以整体关联为关键环节，以发展思维为最终目标，致力于促进儿童有效认知结构的自我建构过程。在本单元的教学中，教师引导学生探究三角形边、角、高的特征，借助操作与画图等实践活动，帮助学生理性认识三角形各要素之间的内在联系。在持续追问与深入探究的过程中，学生的结构化认知得以形成，并依托推理与抽象，深化对原有结构的理解，整体构建认识三角形的完整模型，进而培养空间观念。

在本单元的结构化教学设计中，教师引导学生从局部要素入手，逐步感知并整体把握三角形的特征。这一思维方式的运用，促使学生形成系统化学习的意识。通过此种方式，学生能够更加主动地挖掘各知识点之间的内在联系，深入探究数学知识的深层内涵。

（三）沟通联系：探寻数学本质的桥梁

在本单元的教学中，教师依据三角形各要素与整体之间的紧密关系，精心设置与之相契合的驱动性任务，使学生在不同层级的变化中洞察本质以及变化的规律性，进而深化对三角形概念的理解，在解决问题的过程中构建起完整的知识体系。通过沟通三角形各要素的关联性，教师引导学生深入领会各要素蕴含的深层数学内涵，从而帮助学生构建扎实的认知结构。同时，通过问题驱动，以探究为核心，让学生感悟三角形概念的本质属性，提升学生的空间观念和推理能力，促进学生数学学科核心素养的全面发展。

这种沟通联系的思维方式，有助于学生对数学概念整体性、系统性和结构性的认识，有助于学生对数学本质的深刻洞察，有助于学生在习得数学知识和技能的基础上，形成稳定的数学思想方法和活动经验，提升学生的思维品质。以此思维方式进行迁移，能够提高学生在真实情境中解决实际问题的能力，以及提高学生学习各个学科知识的能力。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］金雷杰，周蕾. 借关联知整体 因说理而深刻：《三角形》单元教学中的深度学习策略［J］. 小学教学设计（数学），2022（5）：17-20.

［3］李明树，王晓峰. 基于HPM的数学探究学习建构：以“确定圆的条件”的教学为例［J］. 中国数学教育（初中版），2023（7/8）：14-17，57.

（责任编辑：罗小荧）