量感的构成要素探究

2024-10-22 00:00:00江漂张维忠

中小学课堂教学研究 2024年10期

【摘要】文章通过分析49位小学数学教师的访谈资料，基于扎根理论的三级编码，得出小学生数学量感的构成要素。研究结果表明，量的识别、量的理解、量的操作是量感的基本要素，量的换算、量的估计是构成量感的关键要素，量的应用是量感的核心要素。在量感的实际课堂教学中，教师应重视直观感知，促进学生对量的识别与理解，丰富操作体验，提升学生对量的估计能力，注重量的应用，多方面培养学生的量感。

【关键词】量感；量感要素；扎根理论；数学核心素养

2022年4月，教育部颁布义务教育课程方案和各学科课程标准，凝练了各学科课程要培养的核心素养。量感是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）新增加的核心素养表现［1］，说明量感对学生核心素养的培养与发展具有重要价值与作用。随着新课标明确提出量感，量感的研究引起广大研究者的重视。笔者对文献进行梳理发现，已有研究从多个角度对量感的内涵进行阐释。一是心理取向角度，认为量感属于一种感觉，具体来讲，是指学生不使用任何工具，对一个量的大小、多少进行推断［2］。这种认识倾向于将量感归结为一种感觉或意识。二是能力取向角度，认为量感是学生经历对量的比较、运算、估计等数学活动发展形成的一种直觉感知能力和定量刻画能力。或者将量感看作是从数学的视角通过数量关系、图形关系中抽象出数学本质的能力。三是行为取向角度，认为测量是一个数，用以表明测量物体的属性，以及测量给定单位的相同属性之间的比较［3］。还有一种观点强调量感是学生能在真实情境中选择合适的度量单位进行度量，会在统一度量方法下进行不同单位的换算的一种能力［4］。

然而，关于量感的研究主要集中在内涵、特征以及培养策略方面［5-6］。相比较而言，关于量感要素的研究较少，其阐述大多蕴含在内涵中，如有研究指出量感的内涵包括量的感性体验、量的理性感知、量的测量判断、量的合理辨析、量的单位转换、量的计算应用六个部分［7］。也有研究指出量感是指学生关于量的比较、运算和估计等方面的感悟［8］。厘清量感的内涵与要素不仅是落实学生量感核心素养培养的基础，也是展开核心素养评价研究的前提。因此，本研究借助扎根理论，从一线教师的视角，自下而上地对量感包含的要素展开研究，以期为量感测评指标的构建研究提供新的视角。

一、研究设计

（一）研究对象

本研究选取全国13个不同地区的49位小学数学教师作为访谈对象，围绕量感的内涵、要素及学生的量感主要表现等3个问题进行结构化访谈。同时将与量感3个问题相关的访谈内容进行记录，最终得到4万余字的文本资料。本研究随机选择46份访谈资料用于编码分析及要素构建，其余3份用于后续的理论饱和度检验。受访教师的职称从二级到高级，其中一级及以上职称的受访对象数量超过访谈对象总数的一半。教师教龄从5年以内到30年以上，其中，主要集中在11年以上，比例约为59%。受访教师均为骨干教师且从事过量感的相关研究，对量感具有较为深入的认识与思考。因此，本研究所选取的研究对象能涵盖不同的教师群体（见表1）。

（二）数据处理

本文采用扎根理论质性研究方法对获取的访谈资料进行分析，并聚焦学生量感核心素养的相关研究，在已有文献的基础上，结合一线教师的访谈内容，不断地进行提炼与抽象，挖掘内在的联系，尝试提出量感的组成要素。“扎根理论”由格拉斯和斯特劳斯在1967年提出，其主要宗旨是从经验资料的基础上建立理论［9］，即通过逐级编码从原始资料中抽取出概念，通过概念之间的联系进一步归纳出结论。扎根理论的具体编码方式为根据开放编码、轴心编码和核心编码三个步骤对访谈资料进行分析、归纳，以形成概念和范畴等，最终归纳出量感的构成要素。为高效地处理数据，本研究借助Nvivo12软件对原始资料进行三级编码分析。

二、编码过程

（一）开放编码

开放编码是从资料中发现概念类属，对类属加以命名，确定类属的属性和维度，并对研究的现象加以命名及类属化。本文先对资料进行梳理，提取与量感内容相关的语句，对所蕴含的关于量感的信息进行初步分析与分解，形成关键信息，以便后续的编码。然后对以上信息进行初步聚类分析，得出初始概念，将表述内容相近或相同的信息合并到同一个初始概念中，并计算其频数（编码参考点数），最后形成38个初始概念，如统一单位、间接比较等。为了便于理解，笔者将具有代表性的初始概念和原始语句进行了整理（见表2）。

（二）轴心编码

轴心编码指发现和建立类属之间的各种联系，以表现资料中各个部分之间的有机关联。笔者通过对类属概念进行不断比较、聚类、合并等方式，使得各个类属之间的联系变得逐渐清晰。在轴心编码中，研究者每一次只对一个类属进行深度分析，围绕这一个类属寻找相关关系，因此称之为“轴心”。轴心编码作为一个概念化和范畴化的过程，在分析中属于重要的环节。首先，借助软件的探索性功能对以上初始概念进行编码相似性分析，初步对编码内部之间的关系进行判断。然后，依据开放编码的初始概念和频数，建立各个概念类属之间的联系，形成初步的量感轴心编码要素。具体操作是在编码过程中，重新审视开放编码初始概念之间的关系，不断进行比较、拆分和整合，确立度量标准、度量观念等15个轴心编码要素，即二级节点，各个要素包含的初始概念及频数如表3所示。

（三）核心编码

核心编码也称为三级编码或者选择式编码，指的是在所有已发现的概念类属中经过系统分析后选择一个核心类属，通过分析，不断地集中到那些与核心类属有关的号码上来。即在轴心编码的基础上，根据各个要素之间的联系，分析出核心类属，使轴心编码得出的要素进一步依靠内在联系，提炼为主要范畴。经过分析，以上轴心编码得出的15个要素经过进一步归纳，得出量的识别、量的理解、量的换算、量的估计、量的操作、量的应用等6个主范畴及其与15个子范畴之间的关系，具体内容如表4所示。

理论性饱和是指不可以获取额外数据以使分析者进一步发展某一个范畴之特征的时刻。［10］笔者对预留的3份访谈资料进行三级编码分析，以检验理论性饱和的情况。研究表明，在已有的编码外无新增的概念与范畴。由此可以认为，以上的范畴在理论上达到饱和状态。

三、研究结果

我们通过对资料进行三级编码分析和可视化分析，发现量感要素有其本身内在逻辑和层次结构（如图1）。该结构图是一个由三层圆环组成的环形结构，以量的应用为核心，量的识别、量的理解、量的操作、量的换算、量的估计和量的应用构成了量感。

（一）量的识别、量的理解、量的操作是量感的基本要素

量的识别指学生对客观事物的感知、感受从日常生活经验阶段逐渐向具有“数学的眼光”阶段过渡。可以说，量的识别是学生经过数学的学习后，经历由量的感性体验走向量的理性体验的过程，但并未完全具有量的理性体验。在这个过程中，学生普遍意识到客观事物或物体能够被测量，体会到度量的重要性，能够从数学的角度认识事物并具有度量的观念。量的识别还指学生能够从不同属性的“量”来认识客观事物，且对客观事物的属性具有准确的判断。比如，学生能够从多种属性来认识一块橡皮，如橡皮的长度、大小以及所占的空间大小。

量的理解指学生对客观事物的属性具有更为深入的认识，能够用“数字+度量单位的方式”规范表达量感的结果。量的理解是在量的识别的基础上，对量感更理性的认识。量的理解主要表现为学生具有了度量的标准，且在头脑中建立起单位表象。具体而言，几乎所有计量单位的产生和发展都经历了漫长的时间，承载了计量单位从多元到统一、从粗略到精细的发展过程。［11］学生体会到统一度量标准在数学、生产及生活中的重要性，从而不仅理解不同属性量的度量单位体系，而且对不同属性量的计量单位在头脑中建立了较为精准的表象。如1厘米的长度，1平方厘米的大小以及1立方厘米的空间大小等。在此基础上能够对相应的量进行叠加。

量感的发展离不开对客观物体的直观感受，量的操作和体验是学生初步建立量感十分重要的环节，也是形成量感的基本要素。在量的操作活动中，学生通过直观感受，真正地体验各种属性量、感受量，切身建立起1秒的概念，1厘米的长度单位表象以及1千克的直观体验。简而言之，通过多种感官参与的量感操作活动，学生能够加强对各种属性的认识，对不同属性量具有深刻的理解，从而对后续量感的发展发挥着重要作用。

（二）量的换算、量的估计是构成量感的关键要素

量的换算指在经历比较、类比等活动后，学生具备了单位换算与推导的量感能力。量的换算包括相同属性度量单位换算和不同属性度量单位运算两种类型。其中，相同属性的度量单位换算包括相同属性的单个度量单位的叠加、相同属性的多个度量单位的换算，不同属性的度量单位运算包括不同属性的单个单位运算和不同属性的多个单位运算。［12］量感的转换性是量的合理辨析的一种外显形式，其表现形式可分为同类量转换与异类量转换。其中，同类量转换、相同属性度量单位换算与单位换算具有异曲同工之妙；异类量转换、不同属性单位的运算都蕴含单位推导之意。量的换算体现对事物某一个维度的量感的多重表达，是培养学生量感的必备要素。

估计可分为数量估计、测量估计和计算估计。一般而言，量的估计主要指测量估计。量的估计指在不使用测量工具时，给特定的物体或任务（如长度、重量、体积等）赋予一个值的能力。量的估计作为量感的关键要素，具体表现为能够选择合适的度量单位对物体的大小进行估计，能够选择合适的度量标准对被测物体进行估计，能够选择合适的方法进行估计。学生在进行量的估计时，运用估计的策略一般体现在过程估计和最终数值估计两个方面。过程估计指学生在利用量的估计解决问题的过程中，有选择性地忽略对测量结果影响甚微的影响因素。最终数值估计指在对物体进行估计时，对最终的数值能够做出合理的近似值估计。量的估计是发展学生量感非常重要的因素，也是学生运用量感解决实际问题的关键体现。学生有效运用量的估计能力能够从侧面反映学生的量感水平。量的估计强调学生将与量相关的知识合理地运用到数学问题或现实问题中，如估计游泳池的面积是多少，学生需要利用面积相关知识以及选择合适的估计策略才能做出准确的判断。

（三）量的应用是量感的核心要素

量的应用是指能够有效运用量的知识、技能解决不同情境的量感问题，包括能够选择合适的度量单位解决问题，选择合适的度量策略处理不同类型的问题。量的应用是量感的核心要素，其重视学生运用量解决问题的能力，尤其是解决具有真实情境问题的能力。如装修中的“铺地砖”问题就体现了量的应用。在解决此情境问题时，学生需要将“铺地砖”的现实情境问题转为量感中“面积”相关的数学问题。在解决问题时，学生需要理解面积的概念，懂得面积单位的换算以及考虑如何设计才能将地面铺满地砖且具有美观性。此外，学生还需根据每块地砖的规格，利用量的估计预测铺满地面大约需要地砖的数量。量的应用强调了量的识别、量的理解、量的换算与量的估计的高度融合与统一，更注重学生解决实际问题能力的培养，最终指向学生数学核心素养的培育与发展。

四、研究启示

厘清量感的结构要素有助于量感概念的理解、量感素养的培育及量感的评价研究。本研究通过扎根理论，汲取小学数学教师对量感要素的认识与理解，对量感实际课堂教学具有重要的启示意义。

（一）重视直观感知，促进学生对量的识别与理解

量感建立在实物感觉存在的性质之上，可通过感官观察、操作测量具体实物培养学生量感。［13］学生对量的感知和理解是一个由浅入深、由简单到复杂的过程，需要借助生活经验，观察客观物体，以丰富对物体各个属性的直观感知。在量感教学过程中，教师应善于引导学生利用身边熟悉的事物来认识不同属性的量和不同度量单位，并建立度量单位表象。教师让学生建立起系统的单位体系时，不是直接让学生死记硬背单位之间的关系，而是借助学生的身体部位或所处环境中熟悉的物体去感知。如让学生量一量大拇指的宽度、大拇指指甲盖的大小，由此直观感受到1厘米的长度、1平方厘米的大小，从而形象地在头脑中刻画出基本单位的表象。又如，让学生知道两个手臂打开的距离接近1米的长度，感受1米的长度，并让学生寻找教室里面积大小约为1平方米的实物。对于量感的发展，学生需要经历视觉、触觉等多重器官的感受，逐渐建立起对基本量的感知和感受，促进对量的属性、度量单位的认知和理解。

（二）丰富操作体验，提升量的估计能力

量的估计对培养学生的量感，发展学生的度量意识非常重要，然而量的估计对学生而言一直是一个难题。究其原因，估计本身是数学的一项基本技能，其发展和培养对提高数学其他能力具有益处［14］。量的估计是形成量感的关键要素，增加学生的动手操作活动能加深学生对量的体验，提高学生的量感估计能力。因为估计的能力不是教师“教”出来，而是学生在实践中逐渐培养起来的。量的估计不仅侧重估计方法和策略的使用，还关注实践、现实生活和具体的操作活动。学生在进行量的估计时，能否选择合适的度量单位和参照物，取决于学生对度量标准的感知，而这种感知是否准确又与实践操作活动的体验有关。如利用方格纸估计不规则图形的面积时，教师可先不提供方格纸，让学生自己动手去制作度量标准（面积单位）进行不规则图形面积的估计。［15］在这个过程中，学生通过操作活动丰富了对物体做出准确估计的经验，感受到估计不是随意地估计，而是要善于借助生活中的载体进行合理地估计。

（三）注重量的应用，多方面培养学生量感

量感作为学生数学核心素养的主要表现，其本质是要培养学生具有利用量感来解决问题的能力。多维度发展学生的量感，需重视量感的应用。一方面，在进行量感的概念教学时，将各种属性量的认识与量的应用相融合。如教学周长、面积、体积的概念时，不是让学生将教材上的概念文字记住，而是让学生能够用自己的语言描述出什么是周长，什么是面积，什么是体积，并通过对现实物体的观察，感受到三者之间的联系与区别，这将有效避免问题解决时出现的将三者概念混淆的情况。另一方面，量感的教学需重视学习的可迁移性。如在探究体积单位中1立方厘米、1立方分米、1立方米之间的换算关系时，教师应引导学生联想到长度单位中1厘米、1分米、1米以及面积单位中1平方厘米、1平方分米和1平方米之间的单位换算的推导过程，然后将此过程大胆猜想到体积单位体系中。这不仅让学生体会到应以类比数学思想进行解决问题，更让学生深刻地认识到从一维到二维再到三维空间之间的关系，使学生在实际应用中不断加深对量的认识，促进学生量感的培养。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］李星云. 论小学生量感的认识及培养策略［J］. 内蒙古师范大学学报（教育科学版），2021（5）：147-150.

［3］阳海林，章勤琼，王圣昌.面积大小究竟是怎样描述的？：兼谈小学数学中度量的教学［J］.教学月刊小学版（数学），2021（9）：54-56，62.

［4］朱立明. 从“核心概念”到“核心素养”：2011年版与2022年版《义务教育数学课程标准》比较研究［J］. 天津师范大学学报（基础教育版），2022（3）：1-6.

［5］邵光华，姜梦凡，苗榕峰. 新课标视角下的量感及其培养［J］. 课程·教材·教法，2023（5）：95-101.

［6］冯刚. 量感培养的内涵、困境及策略［J］. 中小学课堂教学研究，2022（9）：37-40.

［7］高博豪，吴立宝，郭衎. 量感的内涵与特征［J］. 天津师范大学学报（基础教育版），2022（5）：7-12.

［8］孙思雨，孔企平.“量感”的内涵及培养策略［J］.小学数学教师，2021（7/8）：44-47.

［9］陈向明. 质的研究方法与社会科学研究［M］. 北京：教育科学出版社，2000.

［10］费小冬. 扎根理论研究方法论：要素、研究程序和评判标准［J］. 公共行政评论，2008（3）：23-43.

［11］史宁中. 为什么要强调量感［J］. 小学教学（数学版），2021（10）：8-10.