舍费尔德解题思想下概率中递推数列的教学思考

【摘 要】概率与统计知识的编排注重知识系统性、结构化，这既凸显高中课程中概率与统计内容的教学价值，也是对概率与统计育人价值提出更高的要求。文章结合舍费尔德解题思想四要素（知识资源、探索策略、控制系统、自我信念）的启示，思考概率中递推数列问题的教学策略：基于概率学习进阶，设计真实问题情境；以“情境—问题”为载体，重塑解题策略模式；规范学生思维路径，建构递推数列模型；基于过程性评价，建立学习信念，指向学生概率思维的培养。舍费尔德解题思想凸显了概率认知发展的层级性，也为学生概率思维的培养提供策略支撑。基于此，文章分析了“概率中的递推数列”一节公开展示课的教学过程，以期优化概率教学，形塑学生交叉思维解决问题的能力，培养学生的学科素养和创新意识。

【关键词】舍费尔德解题思想；学习进阶；递推数列；概率思维

一、问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）中关于概率与统计知识的编排更注重知识系统性、结构化，这既凸显高中课程中概率与统计内容的教学价值，也是对概率与统计育人价值提出更高的要求。知识的融合，比如概率与函数、概率与不等式、概率与数列等交汇知识的融合，可以形塑学生交叉思维解决问题的能力，培养学生的学科素养和创新意识。

引例 甲乙两人投篮，规则如下：每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8。由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5。

（1）求第二次投篮的人是乙的概率。

（2）求第i次投篮的人是甲的概率。

（3）若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，...，n，则[Ei=1nXi]=[i=1nqi]，记前n次中投篮的次数为Y，求E（Y）。

引例以“两人投篮”为情境，设置贴近学生生活的情境考查全概率公式及条件概率。从情境的设计和问题的呈现来看，引例基于学生的已有经验和认知水平来设计情境，学生应能较为轻松地由背景抽象出问题。［1］学生基于投篮的常识，对“第一次投篮”进行分类讨论，再运用全概率公式便可解决第一问。对于第二问，难度有所提升，问“第i次投篮的人是甲的概率”，这便要运用从特殊到一般的思维方式，借鉴特殊情境的处理方式，对“第i-1次投篮”进行分类讨论，继续运用全概率公式及求和运算的相关策略（与递推数列结合），便可解决该问题。第三问需要基于两点分布得出递推关系式及相关公式考虑数学期望。问题解答过程中，学生对数列与概率交叉形成的模型较为陌生，特别是在分类讨论的基础上，利用全概率公式构建递推数列是学生较难突破的障碍点。

实际上，利用递推数列解答概率问题是大学自主招生和竞赛命题的热点［2］，也是一种重要的解题策略。此类问题其实蕴含概率论与数理统计课程中的随机过程（马尔科夫过程），问题突破的关键是全概率公式的运用。在思考此类题型时，因问题情境复杂，学生需要基于情境抽象出问题，弄清楚相邻事件间的关联，讨论两项或三项的递推关系，这是难点。概率中的递推数列问题对学生的数学建模能力、转化与化归、分类讨论等数学思想的运用要求较高，同时学生需要将不同模块的知识进行融合进而迁移运用，这也是学生学习的难点。因此，在教学中教师需要厘清此类题型的知识逻辑，基于教材内容进行变式教学，避免进行试题的简单回顾。教师需要引导学生在问题解决的实践中形成认知策略，指向发展学生的高阶思维能力。［3］同时，教师需要思考如何更好地引导学生关注概率中的递推数列问题，基于学生概率学习进程及概率思维的发展进阶，系统设计评价任务，指向概率内容的深度教学及学生概率思维的发展。

二、舍费尔德解题思想的内涵与策略

本文欲基于舍费尔德解题思想指导，优化概率中递推数列教学的策略。

（一）舍费尔德解题思想的内涵分析

解题策略的优化有助于提高学生的问题解决能力。波利亚认为，教学应培养学生的独立性、能动性和创新精神，教学中突如其来的“像是帽子里突然跑出一只兔子”式的证明，是令人不满的［4］，教学生解题是“意志的教育”。那么进行解题意志教育，需要教师引导学生去整理并形成自我启发的策略，这样的过程具有建构性和开放性。美国数学教育学者舍费尔德（A. Schoenfeld）提出的解题思想是对波利亚解题理论的继承与发展。［5］

舍费尔德通过比较和分析学生和数学家对相同问题的解决过程，提出影响数学问题解决的四个要素：知识资源、探索策略、控制系统及自我信念。［6］其中，知识资源是解决问题的逻辑起点，学生需要建构系统的知识信息，比如数学事实、数学概念、运算技能及程序性知识等。良好的知识结构及知识迁移能力有助于学生在解决问题中快速提取和迁移知识信息。探索策略是指学生在面对复杂问题情境时，能抽象出数学问题，并能在“知识资源库”中准确检索到对应的知识或方法去进行问题解决的谋划与设计，为有效解决问题做铺垫。控制系统是指解题者对于问题解决活动的自我意识、自我分析与自我调整，其中包括解题策略的选择与调试、计算方法的选择与调整等，所以控制是解题过程的关键。［7］面对相同问题时，不同的学习者是具有差异的，“多想少算”的度的控制和解题“碰壁”后调整的时机等都需要学习者的有效控制。在限时训练时，学习者的控制会受自我信念的影响，假如花了较多时间后终究无果，学习者的解题信念会受挫，也会影响问题解决的进程。所以知识资源、探索策略、控制系统及自我信念四个要素是环环相扣、相辅相成的，四个要素之间的互相耦合共同助力问题解决的顺畅性。

（二）舍费尔德解题思想在概率中递推数列教学中的渗透策略

基于舍费尔德解题思想的内涵剖析，概率中的递推数列教学需关注以下方面：基于学习进阶，设计真实问题情境；以“情境—问题”为载体，重塑解题策略模式；规范学生思维路径，建构递推数列模型；基于过程性评价，建立学习信念，指向概率思维的培养。

1.基于学习进阶，设计真实问题情境

问题求解过程包括回忆与组合相关知识，融合生成综合的智力技能。数学问题的产生离不开情境，教学时，教师需要基于概率学习进阶，分析与比较多版教材内容，进而系统设计自然合理的问题情境，这样的过程可以提升学生解决现实世界问题的能力。好的问题情境的设计有助于学生经历数学世界与现实世界转换的过程（数学问题的表达、数学结果的翻译）。［8］正如弗赖登塔尔所提倡的数学要注重把生活世界引向符号世界。［9］

概率思维是描述学生应对各种不确定问题的思维模式，对应学生在不确定的情境中思考问题的过程，概率思维的形成有助于学生的认知发展。概率思维的本质在于对随机事件发生频繁程度定量化，使得人们能在不确定的情境中做出判断。［10］所以概率学习进阶是基于学生的概率思维形成路径，刻画学生的学习轨迹。高中概率的学习大致经历概率罗列阶段、概率分析阶段、概率分布阶段、连续变量阶段，这四个阶段蕴含学习概率的定量化过程，即把不确定情境符号化。

引例是以“投篮”为情境，学生解决问题的难点是，借鉴特殊情境的处理方式，对“第i-1次投篮”进行分类讨论，运用全概率公式及求和运算的相关策略（与递推数列结合）。其实该题源于教材例题和习题的重组和变式，考查概率背景下的递推数列问题，学生在特殊情形下的数学问题表达和数学结果翻译没有问题，但在对一般情况进行处理时，两个世界的转换就出现了困难。因此，在进行概率中的递推数列教学时，需要关注学生的概率学习进程。此时学生已经系统学习了递推数列、条件概率及全概率公式，已经处于由概率分析阶段向概率分布、连续变量阶段过渡的阶段，教学中需要引导学生建立概率与递推数列的知识联结，系统设置问题情境，重塑知识结构及解题策略系统。

2.以“情境—问题”为载体，重塑解题策略模式

运用递推思想解决概率问题蕴含情境性和典型性，所以教学中要以“情境—问题”为载体，引导学生动态生成解题策略，解题过程要体现方法灵活性与递推思想引领性的统一。

像一阶递推数列模型an=pan-1+q（n≥2），常常利用待定系数法将递推关系转化为等比数列模型，从而求解概率问题。比如，固定放回的摸球问题与传球游戏的“情境—问题”：袋中有a个白球b个黑球，每次摸出一个球后总放入一个白球，这样进行n次后，再摸出一个球是白球的概率。摸球与传球游戏是典型的一阶递推数列模型问题，需要分类讨论。第n+1次摸到白球分成两类——“第n次摸到白球第n+1次摸到白球”和“第n次摸到黑球第n+1次摸到白球”，根据两种情形将文字语言转化为条件概率的符号语言，从而建立一阶递推数列模型，由此求解概率问题。

过渡到二阶递推数列an=pan-1+qan-2（n≥3），同样需要利用待定系数构造等比数列模型，从而求解概率问题。比如，“随机游走”的“情境—问题”：设质点M在直线上的点0，1，2，…，N上随机游走，每隔相同时间，改变一次位置。如果点M位于k（0＜k＜N），则它下一步以概率p移动到k+1，以概率q=1-p（p与q不相等）移动到k-1；若点M当前位于点0（或N），那么它就一直停留在点0（或N）。求点M从点k出发，最后游走到点0（或N）的概率。建构数列模型解决概率问题的策略模式，一般都需要分类讨论。点M从点k出发，最后游走到点0分两种情形——“从点k到k+1，再从k+1到0”和“从点k到k-1，再从k-1到0”，根据两种情形建立二阶递推数列模型，由此求解概率问题。

以“情境—问题”为载体，运用分类讨论的数学思想方法，将递推思想融入概率问题，解题策略的关键是递推关系的准确建立。

3.规范学生思维路径，建构递推数列模型

数列模型与概率统计的融合考查，解题关键是规范学生的思维路径，同时不拘泥于思维定式，建构递推数列模型（获得数列递推关系，构造等比数列，求通项公式）。比如，在引例的解答过程中，需引导学生运用全概率公式进行分析：对“第一次投篮”进行分类讨论，然后运用从特殊到一般的思维方式，借鉴特殊情境的处理方式；对“第i-1次投篮”进行分类讨论，继续运用全概率公式及求和运算的相关策略（与递推数列结合）。学生在解决第一问（求第二次投篮的人是乙的概率）时，便需要规范思维路径，得出P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1），接着思考“第i次投篮的人是甲的概率”时，便不难得出P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（Ai）P（Ai+1|Ai）+P（Bi）P（Ai+1|Bi）。学生有了思维路径的规范过程，就不难想到构造数列{pi+k}，设pi+1+k=0.4（pi+k），于是顺利构造出等比数列模型：pi-[13]=[16×25i-1]+[13]。

4.基于过程性评价，建立学习信念，指向概率思维的培养

当然，引例解答过程也体现了概率学习的代数化进程，这容易固化学生的思维路径，形成思维定式（模仿解题策略，套用解题过程）。所以，在概率教学中，教师需要整合多方信息或知识，动态调整思考路径或策略，关注过程性评价，树立学生的学习信念，指向概率思维的培养。比如，变换“情境—问题”的呈现方式，设置结构特征不相似的情境，锻炼学生的知识迁移能力，培养学生的高阶思维能力。

再比如，选取概率中的经典模型——波利亚“摸球”模型：甲口袋装有2个黑球和3个白球，乙口袋装有5个白球，先从甲、乙口袋各任取1个球，互相交换，重复n次。记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn。该情境（模型）的难点在于每一次操作后甲、乙系统所处状态的概率（pn，qn）依赖于前一次状态的概率（pn-1，qn-1），然而系统前一次的状态又有多种可能，所以需要以系统前一次状态的概率（pn-1，qn-1）为基准，建立其与系统当前状态的概率（pn，qn）之间的转移递推关系。注意到甲乙两个口袋中一共有2个黑球，于是有三种可能：甲口袋里有2个黑球；甲、乙两个口袋里各有1个黑球；乙口袋里有2个黑球。可以得出（p1，q1）=[35，25]，然后继续思考得出（p2，q2）=[53125，64125]，继而得出[pn+1=35pn+425qnqn+1=725qn+25]（n≥2）。

这种模型的本质是当前状态的概率与相邻状态的具体概率有关，这样的随机过程被称为马尔科夫过程。在解决问题的过程中，需要引导学生进行数学抽象、推理论证、数学建模等思维活动，参与问题解决，产生解决方法的认知。［3］这样的问题解决过程，需要教师实时肯定学生的解题思路，培养学生的发散思维和创造性思维，从而指向培养学生的高阶思维能力。在概率中的递推数列教学中，若基于学生的学习进阶，系统设计问题情境，引发学生进行分析、评价等活动，外显思维过程，可以训练学生的知识迁移能力，培养学生的发散思维。

三、课例思考

舍费尔德解题思想凸显了概率认知发展的层级性，也为学生概率思维的培养提供形成策略的支撑。基于此，本文分析一节公开展示课的教学过程，以期优化概率教学，关注教学评一致性。

（一）基于教材情境变式，关注评价任务的关联性

“概率中的递推数列”是一节高三复习课，因此需要基于高三学生的复习进程，回归教材，基于教材情境变式，设计关联的评价任务。

【情境引入】某学校有A、B两家餐厅，王同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐。如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8。试计算王同学第二天去A餐厅用餐的概率。

教学中，以人教A版数学教材的一道原题为情境，以书本知识为切入点，规范学生的概率书写，引导学生形成概率思维习惯：记事件Ai为“王同学第i天去A餐厅”，Bi为“王同学第i天去B餐厅”，于是P（A2）=P（A1）P（A2|A1）+P（B1）P（A2|B1）。这个情境是简单的，学生可能会觉得这样的思考将问题复杂化了。教师此时需要引导学生关注规范书写的必要性，因为从高考考查的角度看，严谨的书写更能实现“会而得全分”。然后对情境进行变式，并关注评价任务的关联性。

【变式1】某学校有A、B两家餐厅，王同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐。如果前一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果前一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8。试计算：（1）王同学第三天去A餐厅用餐的概率;（2）王同学第n天去A餐厅用餐的概率。

在教学中，教师追问“对于变式1的问题，有没有必要从第一天开始算？”，引导学生总结得出“只要找相邻状态的关系式即可”。对于变式1的问题（2），只需探寻P（An）与P（An-1）的关系式，即得出pn=0.6pn-1+0.8（1-pn-1），继而构造一阶递推数列pn+k=-0.2（pn-1+k），求出k，然后在此基础上求出pn，即P（An）。

（二）教学策略助力，关注模型建构的层级性

解决数列模型视角下的概率问题的关键是获得数列的递推关系：有的题干会给出数列的递推关系，学生可以直接构造等比数列来求通项；有的题干没有给出数列的递推关系，需要学生利用全概率公式来获得数列的递推关系，然后构造等比数列来求通项。不管哪一种情形，教师都需要运用适合的教学策略，关注模型建构的层级性。

【基础性任务】（1）已知数列{an}中，a1=0.5，an=-0.5an-1+0.8（n＞1），求通项公式。

（2）已知数列{an}中，a1=0.5，a2=0.75，an=0.5an-1+0.5an-2（n＞2），求通项公式。

【变式2】去餐厅的路上有一段楼梯，楼梯共有101级（0，1，2，...，100）。王同学走到第n级时的概率为pn。王同学开始时在第0级（即p0=1），他每掷一次硬币就向前走动一次：若硬币正面向上则他向前走动一级，反面向上则向前走动两级。已知硬币出现正反面的概率都为0.5。（1）求p1，p2，p3；（2）探寻pn与pn-1，pn-2的关系，并求pn。

课上，教师首先引导学生回顾数列递推关系——an+1=pan+f（n）型和an=pan-1+qan-2型（见“基础性任务”），然后引导学生构建概率问题中的一阶递推an+1=pan+f（n），继而引导学生构建概率问题中的二阶递推an=pan-1+qan-2。该课例设置的问题层层递进，从“情境引入”到“变式1”，再到“变式2”。

（三）基于学习进程，培养学生概率思维

概率学习进程（即学习进阶）是学生在进行概率学习时思维的发展过程，不同的学生可能会遵循不同的思维路径。［11］比如，概率中递推数列的教学中，学生基于概率知识抽象建构出数列模型的过程，可能存在多个中间水平的思维发展路径，所以教师需要锚定起点和终点，在过程中设计多个中间水平的问题，依靠适合的教学策略，让大多数学生可以拾级而上，从而指向概率思维的培养。

概率中的递推数列问题属于概率与数列的融合，学生对知识的理解和迁移的能力不同，学习效果也不同。因此，在教学中，教师需要提供恰当的教学干预，引导学生利用已有的经验认知进行知识建构。比如该课例中，教师设计“基础性任务”（数列递推关系的回顾）唤醒学生的认知，再为学生创设具有挑战性的学习任务（变式2）。这样的设计引导学生适应学习任务的逐渐深入，引导学生由已知到未知，逐渐理解知识学习的进程，实现低阶思维向高阶思维的转换，指向学生概率思维的培养。

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［11］曹江峰. 进阶性任务：指向儿童生长的无限可能［J］. 教育科学论坛，2021（1）：14-18.

（责任编辑：潘安）