运用转化与化归思想求几何问题最值

高考数学试题经常涉及几何问题的最值题目，高中生在平时的学习过程中，对这方面知识的学习又是比较零碎的，所以面对这类题目，解题思路往往较为混乱，或者根本无从下手。进入总复习阶段，学生学习的知识较为全面、系统，对于这类问题的一些常用解法、思路有必要加以整理，使之条理化。这样能帮助学生形成固定的思考方向，使其遇到类似的问题时可以更快捷地找到解题方法。

与几何问题的最值有关的题目，可总结为求平面图形或空间几何体中的线段、面积、体积等最值问题，或讨论平面图形或空间几何体在什么条件下的存在问题。这些问题往往比较复杂，对于此类问题，通常可用转化与化归的数学思想，将其转化为我们学过的有关数学问题再解决。

一、动态几何问题，其最值与点、直线、平面位置有关。对于此类问题，往往利用数形结合的思想，将其转化成某个函数，通常为二次函数的形式，再用二次函数的求最值方法加以解决。

例1 如图1，正方体的棱长为，动点分别在上且。当动点分别在上的什么位置时，线段的长度最小？并求出最小值。

解：作∥交于，连结。

由平面，平面得是直角三角形。

设，由等腰得，∴。

由是直角三角形

得

故当时，即时，有最小值。

二、把与几何问题的最值有关的问题，建立成某个函数的模型，再用导数的求最值方法加以解决。

例2 如图2，已知曲线与曲线交于点，直线与曲线交于点。

（1）写出四边形的面积与的函数关系；

（2）求的最大值。

解：（1）由得交点坐标分别是，。

，

∴。

（2），令，得。

当时，，此时函数在单调递增；

当时，，此时函数在单调递减，

所以，当时，的最大值为。

三、几何问题往往与角度有关，由三角函数的有界性可知（），相关问题如能转化成用角度表示，然后利用三角函数来解决，不失为一种较为容易的方法。

此类方法的重点在于如何用角度来表示其他几何量，我们只有很好地理解与掌握几何图形的性质、相关的数量关系等，才能较好地驾驭此法。

例3 是椭圆上的动点，求动点到直线的最大值和最小值。

解：因为是椭圆上的动点，可设，设到的距离为，

由点到直线的距离公式得。

因为，故最大值；最小值。

四、把与几何问题的最值有关的问题转化为不等式模型，再求出最值。

常不等式：，。但要注意这些公式的使用条件和等号成立的条件。

三个正数的均值不等式：。

使用求最值时要满足条件“一正、二定、三相等”。

例4 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）

A． B． C． D．

解：由题意可得动直线过定点，直线可化为。

令，可解，即。又，故两直线垂直，

即交点为，。

由基本不等式可得

，

∴，

解得：，当且仅当时取等号．故选．

例5 如图3，已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（ ）

A．的最小值为 B．面积的最大值为

C．直线的斜率为 D．为钝角

解：对于A选项，设椭圆的右焦点为，

连接、，则四边形为平行四边形，

，

，

当且仅当时等号成立，A错误；

对于B选项，由得，

，

的面积，当且仅当时等号成立，B正确；

对于C选项，设，则，，

故直线的斜率，C正确；

对于D选项，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，

则。

又点和点在椭圆上，

①，②，①②得，

易知，则，得，

，，D错误。

故选BC。

与几何问题的最值有关的问题，难度较大，综合性较强，但在高考数学试题中又经常涉及，故须加以重视，希望本文能为广大学子提供有益的参考。