渗透数学文化 发展几何直观

摘 要：数学文化体现了数学的人文价值和科学价值，在培养学生数学核心素养的教育中起着重要作用. 以一道蕴含数学文化的几何题为例，从特色解读、解法赏析、教学导向分析等方面阐述该题的价值.

关键词：数学文化；几何直观；核心素养；基本图形

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）09-0056-04

引用格式：李清强. 渗透数学文化 发展几何直观：一道几何题的解法赏析与教学思考［J］. 中国数学教育（初中版），2024（9）：56-58，64.

在以落实核心素养为教育导向的今天，如何赏析、解读以数学文化为背景的试题，从而更好地调整教师自身的教学，是一线教师应该做的功课. 下面以一道蕴含数学文化的几何题为例，谈一些自己的思考.

一、题目呈现

题目 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图1，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分），则图中AB的长应是________.

二、特色解读

1. 立足数学文化，培育人文情怀

数学文化体现了数学的人文价值和科学价值，在培养学生数学核心素养的教育中起着重要作用. 该题以数学名著中记载的故事为素材，以熟悉的正方形为背景命制，形似于传统的七巧板问题，让学生有种似曾相识的感觉. 题中巧妙的构图，使学生既能感受到几何构图的优美与神奇，又能领略到我们祖先的智慧. 这也使得数学学习过程成为文化传播的过程和培育人文情怀的过程.

2. 探寻图形关联，培养创新意识

对于此题，学生需要灵活利用这些分割图形之间所蕴含的数量关系和位置关系，提取有用信息进行有效重组，然后转化为常见的数学解题模型，从而正确解题. 学生可以从不同角度提炼几何图形中的有用信息，得到有效的解答方法. 通过对基本图形的灵活运用培养了学生的创新意识和应用意识.

3. 聚焦核心素养，发展几何直观

数学核心素养是学生在数学学习过程中逐渐形成和发展的，它具有整体性、一致性和阶段性. 几何直观是数学核心素养的行为表现之一. 此题以类似于传统七巧板问题的基本几何图形为背景，呈现了较多的已知条件. 线段间的数量关系和位置关系在此题中若隐若现. 因此，发挥几何直观能力，提炼有用信息，构造基本图形是解决此题的突破口. 此题的解题过程，不仅有对常见几何图形基础知识的积累，而且有方法的掌握和数学思想的内化，是培养学生几何直观的有效载体.

三、解法赏析

为了便于下文表述，先在图1上添加关键点的字母，如图2所示.

解此题的关键一步便是根据图形拼接中的等积变形，求出小正方形的边长. 如图2，已知AD = DE = 1，故可求得正方形DFHG的面积为[13]，从而可得DG = DF =[33]. 所以CD =[3]. 现提供以下几种解题方法.

解法1：如图2，在Rt△ACD中，AD = 1，CD =[3]，由勾股定理可求得AC =[2].

易得BE∥CD，BC∥DE.

所以四边形BCDE为平行四边形.

所以BC = DE = 1.

所以AB = AC - BC =[2-1].

解法2：如图2，由已知易得△EDG ∽ △EMD.

因此[EGED=DGMD].

因为DE = 1，DG =[33]，

且在Rt△DEG中，由勾股定理可得EG =[63].

所以[631=33MD].

解得MD =[22].

所以AM = 1 -[22].

由△ABM ∽ △DEM，

可得chY4SnOzp6LAWBhTO0641A==[ABAM=DEMD=2].

所以AB =[2]AM =[2-1].

解法3：如图2，易得Rt△DEG ∽ Rt△DCA.

因此[EDCD=EGAC].

由解法2，知EG =[63]，

所以[13=63AC].

解得AC =[2].

由图2可知，△EDG和△BCK均由图形①②拼成，

因此△BCK ≌ △EDG.

所以BC = ED = 1.

所以AB = AC - BC =[2-1].

解法4：如图2，易知△EDG ≌ △BCK.

所以EG = BK.

所以EB = GK = CD =[3].

又因为EN = AN = AD = 1，

所以在Rt△ENB中，由勾股定理，得NB =[2].

所以AB = NB - AN =[2-1].

此题还有多种解法，但思路均大同小异. 此题作为填空题，应用以上四种解法均可以获得正确答案. 但以上四种解法均存在漏洞. 那就是∠BAD一定是直角吗？A，B，C三点共线吗？这两点在解题中往往是被忽略的. 图形的直观感受让我们默认∠BAD是直角，并且A，B，C三点是共线的. 这是该题的深层次考查意图，但由于题型的设置，无法体现出区分度.

下面就证明∠BAD是直角，且A，B，C三点共线.

证法1：如图3，过点B作BP⊥ED，交ED的延长线于点P.

由拼图可知△EDG ≌ △BCK.

所以EG = BK.

所以BE = GK = CD.

又因为BE∥CD，

所以四边形BCDE是平行四边形.

所以BC∥ED，且S▱BCDE = S矩形DCKG = S正方形ADEN.

所以BP = AD，且BP∥AD，∠BPD = 90°，

所以四边形ADPB为矩形.

所以∠BAD = 90°，且A，B，C三点共线.

证法2：如图2，阴影部分图形③与图形④一直角边重合，由拼图可知AM = RQ.

根据原正方形ADEN的分割，图形③与图形⑤⑥的一边重合，可知CQ = BM.

又因为∠AMB = ∠DMG = ∠RQC，

所以△ABM ≌ △RCQ.

所以∠BAM = ∠CRQ = 90°.

又因为∠KBC = ∠RCQ = ∠ABM，

所以A，B，C三点共线.

证法3：由解法2可求得DG =[33]，MD =[22]，AM = 1 -[22]，BK = EG =[63].

如图2，在Rt△DMG中，由勾股定理，得GM =[66].

所以BM = GK - GM - BK =[3]-[66]-[63]=[3]-[62].

所以[AMMD=1-2222=2-1]，

如图2，在Rt△DME中，由勾股定理，得EM =[62].

[BMEM=3-6262=2-1].

所以[AMMD=BMEM].

又因为∠AMB = ∠DME，

所以△AMB ∽ △DME.

所以∠BAM = ∠EDM = 90°，∠ABM = ∠DEM = ∠KBC.

所以A，B，C三点共线.

当然解法2也可以不用证明∠BAM为直角，以及A，B，C三点共线，就可以求得AB的长. 解法2中，由△AMB ∽ △DME，可得[ABDE=AMMD=2-1]. 所以AB =[2-1]DE =[2-1].

以上解法与证法，无外乎从图形分割与拼接中寻找线段之间的位置关系与数量关系，从而寻找基本图形求解线段长度. 能否灵活利用题中给出的已知条件，既取决于学生对基本图形的熟悉程度，又取决于学生的几何直观和创新意识等数学核心素养. 因此，该题以类似七巧板的图形为载体命制，立足传统数学文化，着眼于核心素养的培养，很好地传播了数学文化，诠释了题目的价值.

四、教学导向分析

1. 渗透数学文化，培育人文情怀

中国五千年的文明历史中，蕴含着灿烂的数学文化，出现过刘徽、祖冲之等伟大的数学家，以及《九章算术》《周髀算经》等经典的数学传世之作. 浙教版《义务教育教科书·数学》在每章节都安排了“阅读材料”栏目. 这些阅读材料蕴含着丰富的数学文化价值，特别是体现了我国古代在数学方面取得的成就.

该题实质上是七巧板问题，而七巧板在小学数学教材中已经出现过，很多学生也拼玩过. 在初中阶段，如果教师以七巧板问题为背景设置综合与实践活动课，让学生进一步探究传统七巧板问题的内涵，并延伸到七巧板相关问题，如日本七巧板问题、沈康身教授著作中的“地毯分割问题”及四巧板问题等，那么不仅可以让学生不再惧怕这类背景的题目，更重要的是可以激发学生的探究热情，发展学生的思维能力，陶冶学生的情操，使学生进一步感受数学文化的价值，受到深刻的人文教育.

2. 提高识图能力，培养几何直观

识图能力是求解几何问题的基本功. 几何直观是学生解决几何问题的必备能力. 文献［3］指出，几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力. 例如，该题中蕴含的直角三角形、相似三角形、平行四边形、图形之间的全等关系、线段之间的等量关系及位置关系等，都需要学生有直观的感受和直观的预判. 在平时的教学中，教师不仅要让学生观察、分析图形各元素之间的关系，更要鼓励学生多画图，强调基本图形和几何直观的重要性，培养学生的直观意识和识图能力，多给学生提供训练和纠错的机会，注重总结和提炼几何图形的特征和使用条件，为学生迁移知识和后续发展奠定认知基础，积累解题经验.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］李清强. 渗透数学文化 活用基本图形［J］. 中学数学教学参考（中旬），2019（11）：45-47.

［3］孔凡哲，史宁中. 关于几何直观的含义与表现形式：对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识［J］. 课程·教材·教法，2012，32（7）：92-97.