深挖题目变式 提升应用意识

摘 要：在建立函数模型解决实际问题的活动中，关键是从现实情境中抽象出核心变量，分析变量之间的数量关系. 以一道中考模拟题为例，引导学生分析二次函数表达式中各项系数与图象之间的关系，通过自编题目构建各种变式，帮助学生建立这些系数与现实问题的联系，让学生理解实际问题背后的数学本质，培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.

关键词：二次函数；系数与图象的关系；模型观念

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）09-0042-04

引用格式：曹自由，李婷. 深挖题目变式，提升应用意识：以一道中考模拟题为例［J］. 中国数学教育（初中版），2024（9）：42-45.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求以结构化数学知识主题为载体，发展学生的空间观念、几何直观、抽象能力和推理能力，在解决问题特别是跨学科问题中发展学生的模型观念、数据观念、应用意识和创新意识. 因此，在二次函数应用的教学中，教师应该引导学生理解二次函数表达式中各项系数的几何意义，进一步在实际情境中解释各项系数的现实意义，帮助学生理解实际问题中蕴含的数学本质，提升学生应用二次函数解决实际问题的能力. 下面以北京市朝阳区一道模拟题为例，对二次函数应用的教学进行思考.

一、原题呈现

题目 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作抛物线的一部分. 安装后，通过测量获得如表1所示的数据，喷头高出湖面3米，在距离立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米.

试解决以下问题.

（1）如图1，在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接.

（2）结合表1中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度.

（3）求h关于d的函数表达式.

（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为 1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米. 工人想通过只调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，通过计算说明应如何调整.

二、原题解读

此题是在已知函数类型是二次函数的前提下，根据实际问题中的数据进行描点、画图，求出函数表达式，再放置于现实的情境中，引导学生思考并解决问题. 对于第（1）小题，在网格中建立平面直角坐标系，描点，用平滑的曲线连接即可；对于第（2）小题，结合图象与数据，可以得出最高点的坐标为[1，4]，进而得出结论；对于第（3）小题，可以设顶点式[h=ad-12+4]，代入点[3，0]，即可求出该二次函数的表达式；对于第（4）小题，可以设平移后的函数表达式，根据题意，根据当d = 3时，h ≥ 2，即可求出所需调整的最小值. 此题考查了二次函数的三种表达方式及二次函数的应用，考查了学生的模型观念和运用所学知识解决实际问题的能力.

此题依托教材中的喷泉素材，从喷泉喷水及改造这一生活场景出发（如图2），将函数模型融入其中，展现了数学与生活的紧密联系，综合考查了学生的推理能力和获取信息的能力.

三、有关喷泉问题的变式思考

教师要将课堂上的数学知识延伸到实际生活中，呈现给学生一个五彩缤纷的数学世界. 数学中的函数模型与现实生活及其他学科都有着十分密切的联系. 当利用函数来建立数学模型并解决问题时，涉及的变化过程成为了解决问题的关键. 在九年级中考备考冲刺阶段，该题的创新点为将二次函数应用于实际问题中. 我们可以将此类函数模型的题目分成两大类：第一类是在未知函数类型的前提下，根据实验得出数据，绘制图象，并拟合函数进行预测；第二类是在已知函数类型的情况下，对函数表达式进行求解，并能将其灵活应用于实际问题的解决中. 其中，第一类可以通过“刹车距离问题”“茶水的最佳饮用时间问题”等在教学中渗透. 本文主要针对如何把第二类函数模型问题融入课堂教学中进行思考，结合该题进行变式，与读者分享.

该题的第（4）小题具有很大的灵活性，因此在控制难度的情况下，结合实际对该问进行变式，目的是让学生体会将实际问题转化为数学问题的过程，并能在解决问题的过程中学会如何合理地建立函数模型. 在二次函数的应用中常常要借助数形结合的方法解决问题. 首先明确二次函数表达式中系数的几何意义与现实意义的转化，才能在后续变式的思考上更加全面，有针对性，有创新性. 对于二次函数[y=ax2+bx+c][a≠0]，系数a确定了二次函数的形状（抛物线的开口方向与开口大小），a和b共同确定了二次函数的对称轴，决定了二次函数图象的左右移动，c确定了二次函数与y轴的交点，决定了二次函数图象的上下移动. 基于以上，可以从以下几个视角来思考变式：调整喷头的位置，调整船的规格，判断方案是否可行.

变式1：公园希望在立柱的右侧设立一个观景台，已知这个平行于水面放置的长方体观景台高度为1米，底部距离水面2米，左边缘离立柱的水平距离为3米，从安全的角度考虑，要求观景台到水柱的水平距离不小于1米（观景台在水柱的外侧）. 现将一个支架安装在立柱的顶部，通过移动支架可以达到移动喷头的目的，工人想通过调整喷头的水平位置（不考虑其他因素）就能满足上述要求，通过计算说明应如何调整.

变式2：公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的最大宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米. 工人想只通过调整喷头喷射的角度（不考虑其他因素），使水柱在距立柱水平距离为1.5米处达到最高点且最大高度不变，则游船此时能否从拱门下穿过？

变式3：公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的最大宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米. 工人想通过调整喷头喷射的角度，同时调整喷头的位置，使水柱仍然在原位置处达到最高点，并且水柱能在水平方向上比原来多喷射1米，则游船此时能否从拱门下穿过？

变式4：若距离原水柱在湖面落地外1米的位置处有一个高于水面2米的小雕塑，则喷头应该调整到什么位置（不考虑其他因素），才能使调整后的水柱恰好可以落在小雕塑的顶部，且喷头始终保持在小雕塑的左侧.

以上四个变式，要先关注学生对于长段文字的阅读理解能力. 对于变式1，不用关注观景台是否为悬空的这个细节，在利用函数模型解决问题时有些无关的要素可以舍弃. 教师通过引导学生逐句阅读和画图，启发学生用形象化的方法将文字语言转化为数学语言.“工人想通过调整喷头的水平位置（不考虑其他因素）”指的是喷泉水柱的形状不变，只是形的特征，对应二次函数的表达式就是a不变，c不变. 若转化为顶点式[y=ax-d2+h]，则顶点的纵坐标h不变. 经过上述分析，学生就会对二次函数表达式中系数的几何意义和现实意义的联系有清晰的认识.

对于变式2，学生可能会认同“只调整喷头喷射角度的条件下，抛物线的水柱仍能在原位置达到最高点”这一错误的观点，出现此问题的主要原因是学生的实际生活经验较少，所以可以利用家里的可调节角度水龙头做演示，让学生体会到“在只调整喷头喷射角度的情况下，若喷头与水平面的角度变大，则达到最高点的水平距离会缩短，水柱的最大高度会增大；若喷头与水平面的角度变小，则变化方式与上述相反”这一结论，从而根据水柱的变化情况建立正确的二次函数模型.

变式2展现了一个全新的思路，旨在考查学生对二次函数性质的灵活运用. 对于此变式，如果依然是先设二次函数的顶点式进行求解，会发现有3个变量，但是只能列出两个方程；如果只通过字母之间的关系来求解，会十分复杂和困难. 所以对题目进行深入分析，尝试转变思路. 变式2中，如果二次函数的系数a不确定，那么就可以用二次函数的性质来解决问题，这里用到了二次函数图象的对称性，由最高点的水平位置可以得出对称轴，再抓住题目中的关键“喷头的高度”对应的点的坐标为[0，3]，得到对称后的点的坐标为[3，3]，其意义为当水平距离为3米时，水柱的高度为3米. 由题意可知，当水平距离为3米时，竖直高度只要不小于2米即可，所以得出结论是游船能够从拱门下穿过，从而巧妙地解决问题.

变式3中的关键信息是“工人想通过调整喷头喷射角度，同时调整喷头的位置”和“使水柱仍然在原位置处达到最高点”，明确了抛物线的形状发生改变，但顶点仍为[1，4]，可以利用顶点式来表示二次函数的表达式. 在解决上述问题的过程中，学生也感受到建模不仅仅是先猜想模型再验证，还有很多时候是要通过理性分析得到模型，这个环节是不可或缺的. 同时，教师也要鼓励学生敢于质疑，并能通过各种方法寻求真理.

变式4仍然是抛物线的形状不变，通过对小雕塑位置的描述得出坐标，调整喷头的方式主要有两种，左、右平移或者上、下平移.

由以上四个变式，从数形结合的角度来看，对于一个二次函数[y=ax2+bx+c][a≠0]：若a确定，可以运用二次函数图象的平移解决问题；若a不确定，则可以运用二次函数的性质来突破问题.

综上，改变喷头位置的情境已经较为全面，本质上就是对函数的图象与性质的应用，在此过程中提升学生的抽象能力、运算能力和模型意识. 此情境中有两个研究对象，分别是喷泉和游船. 前面四个变式都是对喷泉进行调整，那么如果对游船加以限制，又将如何解决问题呢？尝试解决变式5.

变式5：游船从喷泉下穿过，游船的平顶棚到湖面的高度为1米，要求游船到立柱和水柱的水平距离均不小于0.5米，顶棚到水柱的垂直距离不小于1米，问游船最宽为多少米？（结果保留小数点后一位.）

另外，还可以综合多种变化方式进行变式，如变式6.

变式6：对于第（4）小题，有如下三种方案，哪种方案是可行的？

甲：喷射角度不变，将喷头向上移动2米；

乙：喷射角度不变，将喷头向下移动3米；

丙：将喷头向下移动3米，改变喷射角度使水柱仍然在原位置处达到最高点.

变式6中，甲、乙方案是保持抛物线的形状不变（a不变），上下平移抛物线（b不变，c变），丙方案是抛物线的形状改变（a变），最高点的位置不变（顶点不变）. 变式6引导学生对问题情境进行灵活分析，对二次函数表达式中系数的几何意义和现实意义进行流畅转化，重视数形结合思想方法，从而顺利解决问题.

解决问题的过程是教师引导学生思考问题的一种思维方式. 在面对实际问题时，应该培养学生灵活地处理问题，并将其转化为数学问题的综合能力，深入分析实际问题的情境，并将必要的外界因素作为解题条件，经过一系列的数学运算后得到数学解答，最终联系实际情境将数学解答重新转换为实际方案应用于生活实践中，使学生在解题思路和解题方法上清晰透彻，在思维上形成闭环.

教师要适应时代的发展，转变教育观念，创设能够启发学生学习、掌握和应用数学知识的情境，设置能够启发学生主动探究和讨论，并能在后续学习中不断反思的问题，培养学生的创新意识和抽象能力，发展其模型观念，达到培养创新型人才的目的.

四、结束语

建立二次函数模型解决实际问题的过程是：分析模型（文字语言转化为数学语言）—建立模型（选择合适的方法）—求解模型（符合实际情况）. 喷泉、投篮、滑雪等是生活中的常见现象. 为了研究其中的运动变化过程，我们需要把握主要因素，忽略次要因素，将其简化和抽象成数学问题. 总而言之，将实际问题转化为数学问题并求解的过程是复杂的. 一方面，教师应该引导学生关注影响事物发展的主要因素，并提出合理的猜想建立数学模型；另一方面，教师要引导学生检验反思模型的可行性，并用于正视模型的不足，尝试提出修改方案. 通过这样的数学学习，使学生逐步会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界，使数学模型能够更好地帮助我们解决实际生活中的问题，真正做到数学中处处有生活，生活中处处是数学.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］徐淑辉. 让生活中的数学走进课堂［J］. 中国职业技术教育，2010（5）：70-72.