基于高考真题研究 探寻高考命题方向

摘要：以高考真题为研究对象，有的放矢地进行高考复习是教学中的重点.本文以高中数学“函数的概念与性质”为例，精选近几年高考真题进行分析研究，探寻高考命题方向，把握重要考点，并提出高考复习建议，以期夯实学生的基础知识，提升学生的综合应用能力.

关键词：真题研究；命题方向；教学建议

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）实施以来，如何科学备战新高考是当前教师需要重点关注的内容.教学中应以“一核、四层、四翼”的高考评价体系为指导，并以新课标规定的新高考试卷的考试范围为重点，剖析高考典型例题，以考情为目标，探寻高考命题方向，注重对学科知识的深入理解与灵活运用，注重问题性、真实性、探究性的任务情境设置，注重对学科核心素养的培养.本文以“函数的概念与性质”为例，在研究高考真题的基础上，探寻高考命题方向，把握核心考点，提升学生的能力和核心素养.

1探寻命题方向：考查函数的相关概念

例1（2023年全国新高考Ⅰ卷）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），则（）.

A. f（0）=0

B. f（1）=0

C. f（x）是偶函数

D. x=0为f（x）的极小值点

思路分析：本题考查抽象函数的应用，解题的关键在于取特殊值.对于选项A、B，求当x=0，x=1时对应的函数值，只需要令x=y=0，x=y=1，代入f（xy）=y2f（x）+x2f（y）中计算即可求得函数f（x）的值.对于选项C，要证f（x）是偶函数，即证f（-x）=f（x），通过取特殊值，先求出f（-1）=0，再经过变形求得目标式.对于选项D，取满足条件的特殊函数f（x）=0即可判断.

解答过程：选项A，令x=y=0，则f（0）=0×f（0）+0×f（0），则f（0）=0，故A正确.

选项B，令x=y=1，则f（1）=1×f（1）+1×f（1），则f（1）=0，故B正确.

选项C，令x=y=-1，则f（1）=（-1）2×f（-1）+（-1）2×f（-1），则f（-1）=0.

再令y=-1，则f（-x）=（-1）2f（x）+x2·f（-1），即f（-x）=f（x），故C正确.

选项D，不妨设f（x）=0为常函数，且满足原函数f（xy）=y2f（x）+x2f（y），常函数没有极值点，故D错误.故选ABC.

回顾与反思：函数是高中数学中最基本的概念之一，贯穿整个高中数学的学习.函数可以理解为两个集合的对应关系或映射.对应法则、定义域、值域是函数的三要素，其中起决定作用的是对应法则和定义域.函数的表示法有解析法、列表法与图象法，其中解析法是最基本、最重要的方法，按分类的方法不同，函数的类型各异.结合近年的高考试题来看，主要的考点有求函数的定义域和值域以及求函数的解析式.函数的定义域是讨论函数性质的前提，值域表明了函数值的取值范围，它们都是函数最基本的要素，解析式是函数的表示方法里最重要的一种，使得函数形式化、显性化.

教学建议：在高三数学复习中，首要任务是立足教材，围绕核心概念重构函数的知识体系，让学生查漏补缺，将知识条理化、完整化、系统化.教师结合重要考点有针对性地选择模拟试题和真题，让学生在有效的训练中加深对知识的理解，提升综合运用能力和思维能力.

2探寻命题方向：考查函数的性质

例2（2019年浙江卷）已知a，b∈R，函数f（x）=x，x<0，

13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（）.

A. a<-1，b<0

B. a<-1，b>0

C. a>-1，b<0

D. a>-1，b>0

思路分析：本题主要考查判断分段函数的零点个数问题，需要对x和参数a的范围进行分类讨论，利用导数研究函数单调性，判断零点个数，画出函数图象的简图.在求解时，首先对x分段讨论，当x<0时，所求的方程是关于x的一元一次方程，最多只有一个解，所以函数y=f（x）-ax-b最多只有一个零点.当x≥0时，函数y=f（x）-ax-b=13x3-12（a+1）x2-b是一个三次函数，因此需要运用导数研究函数的单调性，又导函数含有参数a，则需进一步对a进行分类讨论，确定函数的单调性，并根据单调性画出简图.

解答过程：由题意可知，当x<0时，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b=0，当a=1时，y=-b，若b=0显然不符合题意，若b≠0，则无零点；当a≠1时，解得x=b1-a，所以y=f（x）-ax-b最多有一个零点.

当x≥0时，y=f（x）-ax-b=13x3-12（a+1）x2+ax-ax-b=13x3-12（a+1）x2-b，所以y′=x2-（a+1）x.

当a+1≤0时，即a≤-1时，y′≥0，y=f（x）-ax-b在［0，+∞）上单调递增，y=f（x）-ax-b最多一个零点.不符合题意.

当a+1>0，即a>-1时，令y′>0，解得x∈［a+1，+∞），此时函数单调递增；令y′<0，解得x∈［0，a+1），此时函数单调递减，所以函数最多有两个零点.

如图1所示，要使函数y=f（x）-ax-b恰有三个零点，则函数y=f（x）-ax-b在（-∞，0）上有一个零点，在［0，+∞）上有两个零点.

所以x=b1-a<0，

-b>0，

13（a+1）3-12（a+1）2-b<0.

解得b<0，

-1<a<1.故答案为C.

回顾与反思：函数的性质主要有奇偶性、单调性、周期性、对称性、连续性等，是高考中的重要考点之一，结合近年的高考试题可以看出，其主要考查方式有判断分段函数的零点个数，渗透分类讨论思想，要求学生利用导数研究函数的单调性，有时辅以图象，考查学生对幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质的运用.运用函数性质，解决新定义型函数问题重在考查学生的迁移能力和创新能力.利用函数的单调性、奇偶性和周期性等性质解决函数综合性问题往往是压轴题，综合考查导数、不等式、数列等知识，难度大，对学生的能力提出了更高的要求，是拉分题.

教学建议：在高三数学复习中，函数性质作为函数的重点内容，教师不仅要回归教材，梳理知识，熟练掌握各个性质来龙去脉、具体含义，同时要增强学生运用性质的意识.以函数的单调性为例，教师可以从三个方面来复习.①什么是函数的单调性.通过回归教材，落实概念的学习.②如何判断和证明一个函数在区间内的单调性.这是综合性问题，主要是利用单调性的定义、基本初等函数的单调性、不等式的性质和导数进行判断和证明.③函数单调性的应用有哪些.主要的应用是求函数的最值，此外还有不等式、比较大小等问题.通过追根溯源的方式，多角度展开复习，提升学生对知识的理解能力和综合应用能力.

3探寻命题方向：考查利用图象变换等方法解决函数问题

例3（2021年浙江卷）已知函数f（x）=x2+14，g（x）=sinx，则图象为如图2所示的函数可能是（）.

A. y=f（x）+g（x）-14

B. y=f（x）-g（x）-14

C. y=f（x）g（x）

D. y=f（x）g（x）

思路分析：本题根据图象确定函数解析式，采用排除法，首先由图象判断出该复合函数为奇函数，然后根据奇函数和偶函数的性质，分别判断每个选项解析式的奇偶性，选项A、B的解析式直接根据奇函数的性质f（x）=-f（-x）进行判断.选项C的解析式，借助导数可以判断函数为单调递增函数，所以排除C，因此选择D选项，从而避免了选项D中的分式函数的复杂运算过程.

解答过程：由图2可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数.

因为f（x）=x2+14为偶函数，g（x）=sinx为奇函数.

所以函数y=f（x）+g（x）-14=x2+sinx为非奇非偶函数，故选项A错误.

所以函数y=f（x）-g（x）-14=x2-sinx为非奇非偶函数，故选项B错误.

函数y=f（x）g（x）=x2+14sinx，y′=2xsinx+x2+14cosx>0对x∈0，π4恒成立，此时函数为单调递增函数，故选项C错误，由排除法，故选D.

回顾与反思：函数图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，是函数整体性质的一种几何呈现方式，通过图象可以更直观地了解函数的特点，如奇偶性、对称性、极值点以及周期性等，有利于学生的理解和应用.涉及的考点有函数图象及图象变换.

教学建议：在高考复习中，要求学生熟练掌握基本初等函数的图象以及图象的平移变换、对称变换、伸缩变换，在训练中强调以下三点.①作图.应注意在定义域内依据函数的性质选取关键的一部分点.②识图.在观察分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，以及解析式与图象的关系.③用图.函数的图象形象地显示了函数的性质，充分利用图象提供的信息可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等问题，利用函数y=f（x）与y=g（x）的图象交点个数判断f（x）=g（x）解的个数及不等式的解集等.

4探寻命题方向：考查函数实际应用问题

例4（2020年上海卷）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v=qx，x为道路密度，q为车辆密度，交通流量v=f（x）=100-135·1380x，0&lt;x<40，

-k（x-40）+85，40≤x≤80.

（1）若交通流量v>95，求道路密度x的取值范围.

（2）已知道路密度x=80时，测得交通流量v=50，求车辆密度q的最大值.

思路分析：第（1）问，由于是分段函数，需要在不同的定义域内进行分类讨论.另外，结合实际的情况，需要对函数的单调性进行判断，这是学生容易忽视的.第（2）问，其本质是利用函数的单调性求分段函数的最大值，进一步细化问题，即是求复合指数函数的最大值和二次函数的最大值，结合具体的知识不难解出.

解题过程：（1）按实际情况而言，交通流量v随着道路密度x的增大而减小，故v=f（x）是单调递减函数，所以k>0.

当40≤x≤80时，v的最大值为85，不符合题意.

当0<x<40时，由100-135·1380x>95，解得x<803.所以x∈0，803.

综上所述，道路密度x的取值范围为0，803.

（2）把x=80，v=50代入v=f（x）=-k（x-40）+85中，得50=-k×40+85，解得k=78.所以q=vx=100x-135·1380xx，0<x<40，

-78（x-40）x+85x，40≤x≤80.

当0<x<40时，v=100-135·1380x<100，q=vx<4000.

当40≤x≤80时，q=-78x2+120x，q′=-74x+120.

当q′>0时，40≤x<4807，此时q=-78x2+120x为单调递增函数；

当q′≤0时，4807≤x≤80，此时q=-78x2+120x为单调递减函数.

当x=4807时，q有最大值，qmax=-78×48072+120×4807=288007>4000.

综上所述，车辆密度q的最大值为288007.

回顾与反思：函数是数学建模的核心概念，也是解决实际问题的重要工具.函数的实际运用一直以来都是高考的重点和热点，通过设置情境化试题，要求学生在新颖或陌生的情境中主动思考，获取有效信息，分析新问题，并与所学的知识建立关联，迁移应用，解决问题，体现了数学的应用性，有利于培养学生应用数学的意识、解决实际问题的能力和创新能力.

教学建议：尽管考题的形式千变万化，考点却始终不变，在高三数学复习中，教师要以不变应万变，让学生熟练掌握函数的概念与性质这些核心知识点，然后引导学生面对各种新情境要精准审题，提取有用的信息，并有效关联所学的知识，顺利实现迁移应用.

5结语

从对近年的高考试题分布来看，重要的考点是函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性，指数函数与对数函数、函数的图象、分段函数、函数与方程有关零点问题等.从函数考查情况来看，试题中规中矩，这与考纲相符合没有偏、难、怪试题.因此，数学教学要回归教材，重视基础知识，重视基本技能的培养.在训练中，从偏基础性题目开始，循序渐进，过渡到综合性、应用性、创新性题型，重在函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想的渗透，着重培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模素养.