解题教学的任务：教思考、教思维及教反思

摘要：本文将批阅试卷时发现的一些典型“错解”或优秀解法收集整理，以便在试卷讲评环节，作为重要的“生成性资源”或讲评“学材”加以呈现，并在解题教学过程中追求“教思考、教思维、教反思”.

关键词：解题教学；试卷讲评；考题批阅

解题教学是初中数学教学的重要任务之一.对于一些较难题的解题教学往往更具有挑战性，因为学生甚至连看懂题意都有困难，这时教师要在组织审读题意、想清问题这个环节“慢下来”，让更多学生看懂问题，并带领学生“迎难而上”，贯通解题思路.解题教学的最后，教师还要引导学生学会回顾反思，积累解题经验.本文从海安市九年级上学期期中考试的最后一题的阅卷说起，并围绕该题的解题教学，谈谈应该如何体现“教思考、教思维以及教反思”.

1一道九上期中考试较难题的批阅展现

考题呈现（2023年11月海安市九年级上学期期中考试压轴题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2-2ax-3a2（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，OC＝3OA.若点P在抛物线的对称轴上，当直线BC上有且只有一个点Q满足∠AQP＝45°时，分析符合要求的点P的个数，并说明理由.

解题思路：结合“题干信息”不难求出二次项系数a为1，抛物线函数解析式为y＝x2-2x-3.随后直线BC也被确定，其解析式为y＝x-3.进一步将问题简化表述如下，如图1所示，点A（-1，0），点P在直线x＝1上，当直线y＝x-3上有且只有一个点Q满足∠AQP＝45°时，求符合要求的点P的坐标.

阅卷记录：由于该题是全卷最后一题的最后一问，能完整解答出来的学生极少.当看到有些学生能写满答题卡时，阅卷教师要认真阅读，仔细辨别解答过程中的步骤与细节.

考生解法1：如图2所示，设以AP为弦，∠AQP为圆周角的圆的圆心为M，则∠AMP＝90°，MA＝MP.

对图2的局部“放大”，如图3所示，过点M作GH∥x轴，过点A作AG⊥GM，过点P作PH⊥GM，垂足分别为G、H.可得△AMG≌△MPH，则AG＝MH，GM＝HP.设M（a，b），P（1，t），可得-b＝1-a，a＋1=t-b，解得

a＝t2，b＝t-22，

即点Mt2，t-22.

故点M（圆心）在直线y＝x-1上运动.要想在直线BC上有且仅有一个点Q，使得∠AQP＝45°，只要让⊙M与直线BC相切就可以.直线y＝x-1与直线y＝x-3间的距离为2，则⊙M的半径为2，MA＝2，可得关于t的方程t2＋12＋t-222＝（2）2，解得t＝0，即P（1，0）.

考生解法2：（同上思路）先分析出点M（圆心）在直线y＝x-1上运动.由点Mt2，t-22，Q（p，p-3），借助坐标平面内两点之间距离公式或者构造直角三角形运用勾股定理分别表示出AM2＝12t2＋2，MQ2＝12t2-2tp+2t-4p＋4＋2p2，由半径AM＝MQ，可得t、p的等式12t2＋2＝12t2-2tp+2t-4p＋4＋2p2，视p为主元，整理得p2-（t＋2）·p＋t＋1＝0.结合直线BC上仅有一个点Q满足要求，得根的判别式Δ＝（t＋2）2-4（t＋1）＝0，显然，只有当t＝0时，关于p的一元二次方程有两个相等的实数根，对应着“直线BC上仅有一个点Q满足∠AQP＝45°”，即P（1，0）.

简评：需要指出，以上两种解法都是不完整的.由于并没有注意到点P为直线x＝1上任意一点，随着点P位置的变化，所构造的图形也会相应变化，特别是解法中提到的圆M的位置也发生了变化，需要考虑以AP为弦的两个等圆与直线BC的公共点的情形.借助几何画板将点P变换不同位置，对应不同位置的图形演示，如图4～图9所示.

解题关键：从上面图4～图9的演示可以发现，本题的几何直观是以AP为对角线构建一个正方形，该正方形的另外两个顶点E1、E2所在轨迹分别是两条直线，即直线y＝x-1和直线y＝-x＋1，然后以正方形另外两个顶点为圆心、正方形边长为半径分别作两个圆与直线BC的公共点情况，需要注意的是，如图8中，两圆与直线BC的4个公共点中点Q1、Q3并不符合题意（此时∠AQP＝135°），应舍去；在图8中，满足条件的公共点只有点Q2、Q4.可见，随着点P在直线x＝1上的变化，当且仅当点P位于（1，0）时，如图5所示，只有一个点Q满足题意.

2在解题教学中发展学生数学思维的几点认识

2.1在解题教学中要重视“教思考”

涂荣豹教授指出，数学解题教学的主要任务并不是解题，而是“学解题”［1］，并在此过程中教学生学会思考.对于上文提到的全卷最后一题最后一问来说，笔者所在农村初中的考场上很少有学生能完整解答出来.那么，试卷讲评时，该如何帮助学生“学解题”“教思考”呢？笔者以为，首先要组织学生弄清题意，简化问题，突出问题本质，然后引导学生突破关键步骤，必要时要通过预设铺垫式问题引导学生复习回顾，再破解问题难点.对照答案“照本宣科”式的讲评不利于学生学会思考、学会解题.这也对教师的备课提出了较高的要求，即教师应当想清辨明较难问题的难点与关键步骤，特别是从学情研判的视角出发，预设铺垫问题、启发式问题，帮助学生更好地理解题意、贯通思路.

2.2在解题教学中要重视“教思维”

众所周知，数学教学要重视思维教学.宁连华教授针对学生在高考答题中表现出来的“想得不深，变得不当，算得不好，写得不精”等现状，建议数学教学要重视“教深度思考，教合理变换，教运算思维，教精准表达”.［2］以上文提到的较难题为例，教师可以将该题设计出“一题一课”，带领学生深度思考，通过条件将原问题简化、转化为等价问题，促进学生掌握合理变换的解题能力.在解题思路贯通之后，教师组织解题教学过程时，要重视教精准表达，学会简化过程，减少“非必要表达步骤”的书写.具体来说，上文题例的解题关键是构造图形分析思路，突破构图这一难点，关键是引导学生联想到圆周角的性质，同时还要注意运动变化与分类讨论等数学思想的灵活运用.当然，以上这些都对学生的数学思维提出了较高的要求.

2.3在解题教学中要重视“教反思”

解题教学的最后要重视解题回顾与反思环节.教学生学会思考应当成为数学教育的根本目标和不懈追求［3］，并且要“教在起始点，教在类比处，教在反思时”.对于上文提到的较难考题来说，教师在回顾反思环节时可从以下几个方面提出一些问题，帮助学生学会回顾反思.例如，这道题的求解过程中，你觉得哪一步是最难想到的；你在初次思考时，有没有出现思考不严谨的现象，导致出现漏解；你之前有没有遇到过类似的问题；通过这道题的学习，你积累了哪些解题经验.课后教师还可鼓励学生用数学写作、解题随笔的方式，对这道较难题的思路、解题步骤、解题反思进行整理.对整理得好的学生随笔，教师可以利用“班级园地”“班报”“班级公众号”等方式进行展示、推介，激发学生学习兴趣，培养学生解题自信.

参考文献

［1］涂荣豹.数学教学设计原理的构建——教学生学会思考［M］.北京：科学出版社，2018.

［2］宁连华.指向核心素养的数学高考评价及教学转向审思［J］.中学数学月刊，2022（11）：1-4.

［3］顾锋，宁连华.于无疑处教有疑——高中数学课堂“教思考”质量提升策略探索［J］.数学通报，2022（7）：35-38.