高中数学解题的转化策略与案例

摘要：转化策略是数学解题的基本策略.高中数学解题经常用到转化策略，常见的转化策略有数与形、特殊与一般、减元和增元、降次与升次、相等与不等、方程与函数、定点与动点、有限和无限等之间的转化，本文结合具体案例对这些转化策略进行探究.

关键词：高中数学；转化策略；案例分析

1数与形的转化

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”数与形的转化是指代数和几何之间的相互转化，在代数题中，寻找目标的几何意义，目标可以转化为截距、距离、斜率等.［1］在几何题中，通过建立直角坐标系，把几何问题转化为代数问题予以解决.

例1已知x，y满足x2＋y2=23y-1，则2x-2yx2＋y2的最大值为.

解析：由x2＋y2=23y-1想到圆O1的标准方程，x2＋y2可以转化为两点之间距离，即点A（x，y）到原点O（0，0）距离，2x-2y可以转化为直线l1的标准形式y=22x，经过计算可以得知y=22x也就是圆O1的切线方程.如图1所示，过点A作直线l1的垂线，垂足为N.直线l1，l2为圆O1的两条切线.｜AN｜=66（2x-2y），2x-2yx2＋y2=6·｜AN｜｜AO｜=6sin∠AON.

由题可知，l1，l2的夹角为90°，所以∠AON∈0，π2，所以最大值为6.

2特殊与一般的转化

特殊与一般的转化指的是在一般情况与特殊情况之间的转化，条件是一般情况时，可以考虑其特殊情况，如几何图形中特殊的位置、特殊的图形（点、直线、平面、空间几何体等），函数中的特殊函数和函数的特殊值，数列中的特殊数列等.条件是特殊情况时，由于一般情况具有普遍性，解题时可以找出其一般情况并发现一般结论，从而解决问题.

2.1特殊向一般转化

例2（2020年高考数学Ⅱ卷改编）证明22022-22024＜3-2022-3-2024.

解析：可将原不等式转化为22022-3-2022＜22024-3-2024.令f（t）=2t-3-t，易知f（t）

在R上是增函数，所以22022-3-2022＜22024-3-2024，所以22022-22024＜3-2022-3-2024.

评注：本题从特殊值2022、2024直接比较大小难以入手，可考虑一般的情况，去构造一个一般的函数，使特殊问题一般化，从而使问题更简单.

2.2一般向特殊转化

例3在△ABC中，角A，角B，角C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，那么cos A＋cos C2cos B＋3cos A=.

解析：取等比数列公比q=1，则a=b=c，从而cos A=cos B=cos C=12，代入原式可得结果为25.

3减元与增元的转化

减元和增元转化法则是通过减少未知数个数或引入新的参数，将问题进行转化.在条件含未知数较多的情况下，通过加减、代入、整体代换、换元、不等式等方式进行消元，减少未知数的个数.在仅含的未知数解题困难时，可以考虑引入参数，将问题转化，从而解决问题.

3.1减元（消元）

例4如图2所示，在△ABC中，D为BC边的中点，AG=2GD，过点G作一直线EF分别交AB，AC于点E，F，若AE=mAB，AF=nAC，则m＋3n的最小值是.

解析：AG=xAE＋yAF，其中x＋y=1.易知，AG=23AD=23（12AB＋12AC）=13AB＋13AC=13mAE＋13nAF.

由平面向量基本定理可得x=13m，

y=13n，即m=13x，

n=13y.

m＋3n=13x＋1y（x＋y）=43＋y3x＋xy≥43＋2y3x·xy=43＋233.

所以m＋3n的最小值是43＋233.

3.2增元（引参数）

例5已知实数x，y满足2x2-y2-xy=1，则2x2＋y2的最小值为.

解析：因为2x2-y2-xy=1，所以（2x＋y）·（x-y）=1，令a=x-y，b=2x＋y.

x=a＋b3，y=b-2a3，且ab=1.

2x2＋y2=2a2＋2b2＋4ab9＋4a2＋b2-4ab9=6a2＋3b29≥2·6a·3b9=223，

当且仅当a2=22，

b2=2时，等号成立.故2x2＋y2的最小值为223.

4降次与升次的转化

降次和升次的转化是通过对方程变量次数增加或减少来解决问题，常用于解方程和三角恒等变换等.在次数较低的题中，可以利用倍角公式、配方等方法进行降次的转化；在次数较高的题中，可以利用同角三角函数公式、平方等方法进行升次转化.

例6已知函数f（x）=sin6 x＋cos6 x＋32·sin xcos xcos 2x，下列说法正确的是（）.

A. f（x）的最大值为28

B. f（x）在π8，π4上单调递增

C. f（x）图象的一条对称轴为x=π16

D. f（x）的最小正周期T=π2

解析：因为sin6 x＋cos6 x=（sin2 x＋cos2 x）·（sin4 x-sin2 xcos2 x＋cos4 x）=（sin2 x＋cos2 x）2-3sin2 xcos2 x=1-3sin2 xcos2 x=58＋38cos 4x，所以f（x）=58＋38cos 4x＋38sin 4x=328

sin4x＋π4＋58，f（x）的最大值为32＋58，所以A选项错误.当x∈π8，π4时，令t=4x＋π4，t∈3π4，5π4，y=328sin t＋58在t∈3π4，5π4上单调递减，故B选项错误.y=328sin t＋58图象的对称轴为t=π2＋kπ（k∈Z），t=4x＋π4=π2＋kπ（k∈Z），x=π16＋kπ4（k∈Z），当k=0时，x=π16，故C选项正确.T=2π4=π2，所以D选项正确.故选CD.

5相等与不等的转化

相等与不等的转化是把问题中的相等情况和不等情况进行转化，常见于等式的证明、求范围、求最值等问题中.解题时通过配方、不等式的性质等进行放缩，将相等与不等进行转化，解决问题.［2］

例7（2020年新高考Ⅰ卷改编）已知m＞0，n＞0，且m＋n=4，则（） .

A. m2＋n2≥8

B. 4m-n＞14

C. log4m＋log4n≤1

D. m＋n≤22

解析：m2＋n2≥（m＋n）22=8，当且仅当m=n=2时，等号成立，所以A选项正确.因为m-n=m-4＋m=2m-4＞-4，所以4m-n＞4-4=144＜14，故B选项错误.log4m＋log4n=log4mn≤log4m＋n22=log44=1，当且仅当m=n=2时，等号成立，所以C选项正确.因为（m＋n）2=4＋2mn≤4＋m＋n=8，所以m＋n≤22，当且仅当m=n=2时，等号成立，所以D选项正确.故选ACD.

评注：通过对相等的条件进行放缩、配方、构造、不等式等方法，将相等转化为不等.

例8（1972年匈牙利竞赛题改编）x，y，z∈Z，14x2＋y2＋3z2＋5＜2x＋2yz＋4z，求满足不等式的x，y，z的值.

解析：因为x，y，z∈Z，所以一定存在一个正整数A，使得14x2＋y2＋3z2＋5＋A=2x＋2yz＋4z.

即x2-22＋（y-z）2＋2（z-1）2＋（A-1）=0成立.

因为x2-22＋（y-z）2＋2（z-1）2≥0，

A-1≥0，所以x2-22＋（y-z）2＋2（z-1）2=0，

A-1=0.

解得x=4，y=1，z=1.

评注：本题是将不等转化为相等，通过巧妙配方解决问题.

6方程与函数的转化

方程和函数的转化实际上就是把待解决的问题转化为函数或方程问题，常见于求函数极值问题、求解方程的根等问题中.

例9若函数f（x）=lnx＋mx（m∈R）在（0，＋∞）有一个零点，则实数m的值为.

解析：函数f（x）=lnx＋mx（m∈R）在（0，＋∞）有一个零点，则问题可以转化为方程lnx＋mx=0（m∈R）在（0，＋∞）有一个实根，也就是h（x）=lnxx与g（m）=-m在（0，＋∞）有一个交点.对h（x）求导可得，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）单调递减.所以h（e）max=1e.又limx→＋∞h（x）=limx→＋∞lnxx=0，即h（x）=lnxx的一条渐近线是x轴，所以m=-1e.

7定点与动点的转化定点与动点的转化常见于解析几何和立体几何中.若问题含有多个动点，难以下手，则可先观察点的运动规律，明确动点和定点，由此观察动点和定点的关系，找到其特殊关系或位置，实现动点向定点的转化，从而解决问题.

例10已知点N是直线y=x上的一动点，点A是圆O1：（x-3）2＋y2=19上的一动点，点B是圆O2：x2＋（y-2）2=19上的一动点，求｜NA｜-｜NB｜的最大值.

解析：这是一个动点问题，可以将其转化为定点问题，在找定点时可以取或找特殊的点.

由于|NA|-|NB|=|NO1|-13-|2K4B4VQ/HvFB0ws/GtfWSg==NO2|-13=|NO1|-|NO2|，所以欲求解|NA|-|NB|的最大值可以转化为找|NO1|-|NO2|的最大值.

根据“三角形两边之差小于第三边”，可以转化为找O2关于直线y=x对称的点（2，0）到O1（3，0）的距离，即|NO1|-|NO2|的最大值为1，所以|NA|-|NB|的最大值为1.

评注：解决本题的关键是分析图形，运用几何性质将到动点的距离转化为到定点的距离.

8有限与无限的转化

有限与无限的转化是指把有限的条件转化为无限，或者是无限的条件转化为有限.数学学习中最早涉及有限与无限的转化是求圆的面积.将一个有限的圆转化成由无限的三角形拼成的长方形，从而求圆的面积，除此之外，还比较常见于导数的求解、数学归纳、数列计算等.

例11在数列｛an｝中，an=3n-1，a1＋a2＋a3+a4+…＋an=bn2＋cn（n∈N*），其中b，c为常数，则limn→∞bn＋cnbn-cn=.

解析：由an=3n-1知，｛an｝是首项为2，公差为3的等差数列.

a1＋…＋an=2n＋n（n-1）2×3=32n2＋12n，从而b=32，c=12.

limn→∞bn＋cnbn-cn=limn→∞1＋cbn1-cbn=limn→∞1＋13n1-13n=1.

评注：通过求出具体数值，将无限转化为有限.

例12在正n棱台中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是.

解析：当正n棱台的上底面无限趋近于下底面时，此时棱台相邻两侧面所成的二面角趋近于π.当棱台无限高时，正n棱台是另一种极限状态，棱台相邻两侧面所成的二面角趋近于n-2nπ.所以在正n棱台中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是n-2nπ，π.

评注：从正n棱台的两个极限状态入手，分析相邻两侧面所成的二面角的取值范围，把有限转化成无限.

参考文献

［1］庞燕.数学“解题”的本质：转化、化归——以“条件最值的转化和化归”为例［J］.数学教学通讯，2016（33）：54-55+62.

［2］李昭平.“转化与化归思想”破解数学题“十法”［J］.广东教育（高中版），2014（4）：17-20.