巧设参数形变数 优化思维难化易

摘要：基于解题教学的理念，结合初中数学解题教学的实际案例，本文从“教”与“学”两方面探究教学实践中的反思活动.通过模型提炼、变式训练、迁移运用等活动，教师引导学生构建前后一致、逻辑连贯的学习路径，帮助学生理解通性通法，充分激发学生发现问题、探究问题、解决问题的活力和潜能.

关键词：引参法；双角平分线；数形结合

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“数学课程要培养的学生核心素养，主要包括以下三个方面.①会用数学的眼光观察现实世界；②会用数学的思维思考现实世界；③会用数学的语言表达现实世界.”［1］本文通过一道“双角平分线问题”的解题探究，帮助学生实现探究思维、解题能力、核心素养的全面提升.

1问题背景

在几何学中，“双角平分线”是一个重要的概念，它指的是一道题目中出现两个甚至更多的角平分线.角平分线不仅具有独特的几何特性，还有相等的代数特性.当几何题中出现“双角平分线”时，引入参数来表示相等的角是一个有效的解题策略.这样做可以帮助我们找到等量关系，将几何问题转化为代数问题.引参法作为一种有效的解题方法，在解决“双角平分线”问题时展现出了显著的优势.

2问题初探

笔者在一节习题课上，给出了以下关于“双角平分线”的几何问题.

已知点B，D分别在AK和CF上，且CF平行AK.

（1）如图1所示，若∠CDE＝22°，∠DEB＝75°，则∠ABE的度数为.

（2）如图2所示，BG平分∠ABE，GB延长线与∠EDF的平分线交于点H，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数.

（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3所示，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由.

在教学过程中，笔者发现，大部分同学做到第（2）问就感到困惑，不知道如何下手.笔者按照几何推理的方式逐步推导.

（2）解析：设DH交AK于点N.延长DE，交AB于点M，则∠DEB＝∠EMB＋∠EBM.

∵CF∥AK，BG平分∠ABE，

∴∠EMB＝180°-∠MDF，∠EBM＝2∠ABG＝2∠HBN，∠MDH＝∠HDF＝∠HNK＝12∠MDF.

∵∠HBN＋∠DHB＝∠HNK，

∴∠DEB＝（180°-∠MDF）＋2∠HBN＝180°-∠MDF＋2×12∠MDF-∠DHB.

∴∠DEB＝180°-∠MDF＋∠MDF-2∠DHB＝180°-2∠DHB.

∵∠DEB-∠DHB＝60°，

∴∠DEB＝180°-2（∠DEB-60°）.

∴3∠DEB＝300°，即∠DEB＝100°.

这道题目图形复杂，图形中涉及的角比较多，数量关系不易厘清，所以有部分同学看不懂推导过程，从而不能真正掌握这个问题的解题方法.

3方法优化

有没有更有利于学生理解的思维方式呢？班级一位同学的解法，让大家豁然开朗.他提出第（2）问中有两个角平分线，即BG是∠ABE的平分线，DH是∠EDF的平分线.还有两个数量关系，即∠DEB比∠DHB大60°，以及第（1）问模型的数量关系.第（2）问涉及的角比较多，而且它们之间存在某种确定的数量关系，可以设字母表示相关联的角.这其实就是“引参法”，解题思路如下.

第一步，设定参数.设∠ABG＝∠GBE＝α，∠EDH＝∠FDH＝β.

第二步，建立等量关系.由（1）的模型结论得∠DEB＝180°-2β＋2α，又由四边形内角和整理得∠DHB＝β-α.

第三步，解代数方程.由于∠DEB比∠DHB大60°，所以180°-2β＋2α-（β-α）＝60°，解得β-α＝40°.

第四步，转化为几何解.∠DHB＝40°，所以∠DEB＝100°.

通过这种方法，可以将涉及角平分线的几何问题转化为代数问题，从而更容易找到解决方案.

4解题类比

第（3）问用纯几何方法也很抽象.过程如下.

（3）解析：如图4所示，过点E作EQ∥DN，则EQ∥DN∥BP.

由（1）得，∠DEB＝∠CDE＋∠ABE.

∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，

∴∠DEB＝2∠NDE＋180°-2∠EBM.

∵∠DEB＝100°，

∴∠EBM-∠NDE＝40°.

∵EQ∥DN，

∴∠DEQ＝∠NDE.

∴∠EBM＝40°＋∠DEQ，

∵EQ∥DN，DN∥BP，

∴EQ∥BP.

∴∠EBM＋∠PBM＋∠BEQ＝180°.

∴40°＋∠DEQ＋∠PBM＋∠BEQ＝180°.

∴40°＋∠DEB＋∠PBM＝180°.

∴∠PBM＝180°-100°-40°＝40°.

学生发现第（3）问中也同样有两个角平分线，即BM平分∠EBK，DN平分∠CDE.还有BP平行于DN，这样第（1）问模型的数量关系就有两个.引参法解题思路如下.

第一步，设定参数.设∠CDN＝∠EDN＝x，∠EBM＝∠KBM＝y.

第二步，建立等量关系.由（1）的模型结论得∠DEB＝180°-2y＋2x，又由（1）的模型结论得∠DEB＝x＋180°-y-∠PBM.

第三步，解代数方程.由第（2）问求出的∠DEB＝100°，所以100°＝180°-2y＋2x，解得y-x＝40°，同样100°＝180°-（y-x）-∠PBM.

第四步，转化为几何解.∠PMB＝40°.

通过以上解题过程，总结出引参法的解题步骤如下.

步骤1：设定参数.

为两个角平分线所分的角设定参数.假设第一个角被分为两个α，第二个角被分为两个β.

步骤2：利用已知条件建立等量关系.

根据题目的其他已知条件（平行、角度的和差等），建立关于这些参数的等量关系.

步骤3：解代数方程.

解这些代数方程，找出参数的具体值或参数的整体关系.解代数方程需要使用基本的代数技巧，如移项、合并同类项等.

步骤4：将代数解转化为几何解.

将找到的参数值或整体关系代回原几何问题中，得出几何解.这可能涉及角度的计算等.

这样通过巧设参数，直接将抽象的几何问题转化成具体的代数问题，优化思维，将看似复杂的难题简单化，就能很轻松地解决这类问题.

5课堂反思

通过本次教学案例分析，可以看到引参法在解决双角平分线几何问题中的显著优势.首先，通过引参法将复杂的几何问题转化为代数问题，降低了问题的难度.这样，学生可以更加轻松地理解和解决这类问题.其次，增强了解题灵活性.引参法允许学生在解题过程中根据问题的特点选择合适的参数和方程，从而提高了解题的灵活性.这有助于培养学生的创新思维和解决问题的能力.最后，提高了解题效率.通过引参法，学生可以系统地整理思路，更加快速地找到解题的突破口，减少在问题中迷失方向的可能性，提高解题的效率.

在日常教学中，教师应该注重引导学生掌握和运用引参法，帮助他们更好地理解和解决几何问题.同时，也应该注意到，引参法并不是万能的，它也有其适用范围和局限性.在运用引参法时，教师需要根据问题的特点和学生的实际情况进行选择和调整，确保其能够发挥最大的价值.

数学教学是基于问题的教学，也是反思性教学，是师生、生生交往互动，共同发展，共同成长的过程.这个过程是积极的、活跃的、主动的、有思维价值的.本次教学案例通过模型提炼、变式训练、迁移运用，引导学生构建前后一致、逻辑连贯的学习路径，帮助学生理解通性通法，充分激发其发现问题、探究问题、解决问题的活力和潜能，实现其探究思维、解题能力、核心素养的全面提升.这样一个过程，使学生通过不断反思、体验、创造性地解决问题，真正抓住了数学的本质，展示了学生思维的过程，落实了以学生为主体、教师为主导的课堂生态环境，实现了教学相长的目标.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.