巧“一题多解”，妙“一题多变”

摘要：曲线的公切线问题，是近年高考中频繁出现的一类热点考题，它涉及知识面广，融合度高.本文从一道两个函数的公切线问题入手，探寻解决此类问题的技巧与方法，并进行合理变式探究，深挖问题的内涵与实质，旨在引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：函数；曲线；公切线；导数

曲线的切线问题是基于导数的几何意义与平面解析几何等相关知识的融合，符合高考命题“在知识交汇点处设题”的原则，一直是高考中比较常见的一类重点与热点问题.涉及两条及以上曲线的公切线问题，新颖度高，创新性强，背景简单易懂，形式复杂多变，求解形式多样，能够有效考查学生的“四基”，突出学生的“四能”等，凸现试题的选拔性与区分度，倍受各方关注.

1问题呈现

（多选题）已知函数f（x）=ln x，g（x）=xa（x>0，a≠0），若存在直线l，使得l是曲线y=f（x）与曲线y=g（x）的公切线，则实数a的取值可能是（）.

A. 13

B. 12

C. 2

D. 3

2解题策略

涉及两条曲线的公切线问题，最为常用的方法就是利用导数法.［1］利用导数法解答两条曲线的公切线问题的基本步骤如下.

（1）运用求导法则和公式对两条曲线的方程y=f（x），y=g（x）进行求导.

（2）若公切线在两曲线y=f（x），y=g（x）上的切点坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则y1=f（x1）①，y2=g（x2）②.

（3）根据导数的几何意义得出两曲线的切线斜率的关系式为f′（x1）=g′（x2）③.

（4）根据①②③建立关于x1，x2的方程组.

（5）根据直线的点斜式方程为求得公切线的方程y-y1=f′（x1）（x-x1）或y-y2=g′（x2）·（x-x2）.

3问题破解

方法1：直接法1.

设直线l为曲线f（x）=lnx在点（x1，f（x1））处的切线，由f（x）=lnx，可得f′（x）=1x，则f′（x1）=1x1 ，可得直线l的方程为y-lnx1=1x1（x-x1），即y=1x1 x+lnx1-1.

设直线l为曲线g（x）=xa（x>0，a≠0）在点（x2，g（x2））处的切线，由g（x）=xa，可得g′（x）=axa-1，则g′（x2）=axa-12，可得直线l的方程为y-xa2=axa-12（x-x2），即y=axa-12x+（1-a）xa2.

由题意可知1x1=axa-12，

ln x1-1=（1-a）xa2，由x1>0，x2>0，可知a>0.

由1x1 =axa-12，可得ln x1=-lna-（a-1）·ln x2，将其代入ln x1-1=（1-a）xa2，整理可得（a-1）·（ln x2-xa2）+ln a+1=0.

令函数h（x）=（a-1）（lnx-xa）+lna+1，则函数h（x）在（0，+∞）上有零点.

令函数m（x）=lnx-xa，a>0，x>0，则m′（x）=1x-axa-1=1-axax.令m′（x）>0，解得0<x<1a1a ；令m′（x）<0，解得x>1a1a ，所以函数m（x）在0，1a1a上单调递增，在1a1a ，+∞上单调递减.

所以当a>1时，函数h（x）在0，1a1a上单调递增，在1a1a ，+∞上单调递减，且h1a1a=（a-1）·1aln1a-1a+lna+1=1a（1+lna）>0，而当x→+∞时，h（x）→-∞，故h（x）在（0，+∞）上恒有零点，从而a>1恒成立.

当a=1时，h（x）=1，无零点，不成立.

当0<a<1时，h（x）在0，1a1a上单调递减，在1a1a ，+∞上单调递增，且当x→+∞时，h（x）→+∞，则h1a1a=（a-1）1aln1a-1a+lna+1=1a（1+ln a）≤0，解得0<a≤1e.

综上所述，实数a的取值范围是（0，1e］∪（1，+∞），结合选项可知，实数a的取值可能是13，2，3，故选择ACD.

方法2：直接法2.

以上部分同方法1，消去x1并整理，可得（a-1）（ln x2-xa2）+ln a+1=0.

两边同除以a-1，可得ln x2-xa2+1+ln aa-1=0①.

令函数h（x）=ln x-xa+1+ln aa-1，x>0，a>0且a≠1，则h′（x）=1x-axa-1=1-axax，令h′（x）=0，解得x=1a1a ，所以h（x）max=h1a1a=1a·ln1a-1a+1+ln aa-1=-1+ln aa+1+ln aa-1=1a-1-1a（1+ln a），且x→0+时，h（x）→-∞.

方程①有解，等价于h（x）max=1a-1-1a·（1+ln a）≥0，解得0<a≤1e或a>1.

所以实数a的取值范围是（0，1e］∪（1，+∞），结合选项可知，实数a的取值可能是13，2，3，故选择ACD.

方法3：数形结合法.

当a>1时，结合x>0，可得xa>x>x-1≥ln x，结合此时函数f（x）=ln x，g（x）=xa（x>0，a≠0）的图象可知两曲线没有交点，如图1所示，显然两曲线有公切线，故选项CD正确.

当a=1时，如图2所示，显然两曲线没有公切线，其实本题中可以不用考虑a=1的情况，这是因为四个选项中没有相应的a=1.

当0<a<1时，如图3所示，根据两函数图象的特征，只要两函数图象有交点，两曲线就有公切线；两函数图象没有交点，两曲线就没有公切线.

只需要方程xa=ln x>0有解即可，则知x>1，对方程两边取自然对数有aln x=ln ln x，令ln x=t>0，则只需a=ln tt有解.

令函数g（t）=ln tt，t∈（0，+∞），则知g′（t）=1-ln tt2 .由g′（t）=0解得t=e，当0<t<e时，g′（t）>0，则函数g（t）在（0，e）上单调递增；当t>e时，g′（t）<0，则函数g（t）在（e，+∞）上单调递减.所以g（t）max=g（e）=1e，且当t→0时，g（t）→-∞；当t→+∞时，g（t）→0，

所以0<a≤1e.

综上所述，实数a的取值范围是0，1e∪（1，+∞），结合选项可知，实数a的取值可能是13，2，3，故选择ACD.

4变式拓展

4.1题型变式

变式1已知函数f（x）=ln x，g（x）=xa（x>0，a≠0），若存在直线l，使得l是曲线y=f（x）与曲线y=g（x）的公切线，则实数a的取值范围是.

答案为0，1e∪（1，+∞）.

4.2深入变式

变式2^^（2024年四川省成都市高中毕业班摸底测试题）&&若一条直线与函数y=ln x和y=ex的图象分别相切于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），则（1-ey1）·（1+x2）的值为.

解析：设f（x）=ln x，g（x）=ex，则有f′（x）=1x，g′（x）=ex.

利用导数的几何意义，可知函数y=ln x的图象在点P（x1，y1）处的切线方程为y-ln x1=1x1（x-x1），即y=1x1x+ln x1-1，函数y=ex的图象在点Q（x2，y2）处的切线方程为y-ex2=ex2（x-x2），即y=ex2x+ex2（1-x2）.

由于这两条切线为同一条直线，则有1x1=ex2，

lnx1-1=ex2（1-x2），所以-x2-1=1x1（1-x2），解得x1=x2-1x2+1，又y1=ln x1，得1-ey1=1-elnx1=1-x1=1-x2-1x2+1=2x2+1.

（1-ey1）（1+x2）=2x2+1×（1+x2）=2，故填答案2.

变式3若函数f（x）=aln x（a≠0），g（x）=x2的图象存在公切线，则实数a的取值范围是.

解析：设与函数f（x）=alnx相切的切点为（m，alnm），m>0，由f′（x）=ax，可得切线的斜率为f′（m）=am，a≠0，则切线的方程为y-alnm=am（x-m），即y=amx-a+alnm.

又切线y=amx-a+alnm与g（x）=x2也相切，则方程x2-amx+a-alnm=0有两个相等的实数根，即有Δ=a2m2 -4（a-alnm）=0，分离参数有a=4m2（1-lnm），m>0.

设函数h（m）=4m2（1-lnm），m>0，则h′（m）=4［2m（1-lnm）-m］=4m（1-2lnm），由h′（m）=0，解得m=e，则当0<m<e时，h′（m）>0，函数h（m）单调递增；当m>e时，h′（m）<0，函数h（m）单调递减，所以可得m=e时，h（m）取得极大值，且为最大值，最大值为2e，则有a≤2e.

实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，2e］，故填答案（-∞，0）∪（0，2e］.

5教学启示

5.1归纳技巧方法

涉及多曲线（主要是两个曲线）的公切线问题，其核心就是相应的切点坐标，利用导数的几何意义知切点处的导数就是对应切线的斜率.对于公切线问题，应根据两个函数的图象在切点处的斜率相等，同时满足切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点的横坐标的方程（组），通过解方程（组）或恒等变形等来分析与求解.［2］

5.2提升变式效应

在高中数学课堂教学与学习中，教师要适时地将一些典型问题进行深入变形与拓展，借助“一题多解”“一题多变”等形式，实现“一题多得”，逐步培养学生灵活多变的数学思维，发散开拓的数学思想，以及创新应用的探索精神与创新意识，从而真正把对数学能力的培养落到实处，全面提高数学核心素养.

参考文献

［1］韩雅雅.用导数法求解两条曲线的公切线问题的思路［J］.语数外学习（高中版上旬），2023（11）：50-51.

［2］李宁，唐盛彪.例析涉及公切线的导数压轴小题［J］.数学通讯，2018（5）：1-3.