变解题为解决问题的高中数学思维能力培养研究

摘要：教师的教学不仅仅要传授知识，更要将知识技能、能力立意的教学转变为以学生的素养为导向，使学生在遇到问题时能利用思维分析方法解决问题.本文从三个方面阐述了思维能力的培养策略，帮助学生突破思维障碍，提升数学素养.

关键词：解决问题；思维提升；素养导向

课堂教学中，教师不仅要教授学生解题的方法和技巧，更要使学生掌握解决问题的能力.随着新高考综合改革的不断推进，命题越来越突出应用性和创新性，这对学生的问题解决能力要求也逐渐提升.因此，学生机械地做题已经难以应对当前的高考难度，教师在传统教学的基础上需不断反思与改进，在教学过程中注重提升学生解决问题的能力，变解题为解决问题.

1高中数学解题现状分析

1.1学生基础差

部分高中学生基础知识薄弱，课堂学习效率比较低，导致一些基本的知识点和结构掌握不到位，从而对一些数学问题无从下手.久而久之，学生堆积的问题越来越多，就逐渐对数学产生了畏难心理.

1.2学生缺少思维能力的培养

传统式解题教学时，教师不注重对学生思维能力的培养，缺少对题意理解与解题过程的思维引导.长此以往，导致学生在解题时思路单一、机械化.学生在解题时完全依赖教师的解题步骤“灌输”，遇到教师讲过的题型会依葫芦画瓢解决，遇到新题型或者略有变化的题目就无法独立解题，对新题型束手无策.

1.3学生解题技能不足

学生能解决问题，但所运用的解题方法并不是最简最优的.这类学生主观思维被限制，缺乏深度审题和思考能力，灵活性不够.如遇到一些可以特殊化解决的单选题时，也需要花费大量的时间去计算.

2高中数学解题教学转变的意义

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养.”［1］数学高考试题聚焦学科核心素养，加强关键能力考查，突出展现思维过程，对学生思维的灵活性和创造性有较高的要求.因此，新高考背景下的高中数学教学要注重培养学生的思维能力以及解决问题的能力.

教师的解题教学不应只包括简单地讲解题过程，应注重教授学生解决问题的思路、技巧和方法，在解决实际问题的过程中不断提升学生的思维能力.数学学科的每一个知识点都能衍生出不同的数学问题，培养学生的数学解题能力也并不是一朝一夕就能够完成的，需要教师通过长期的、持续性的思维方式培养，才能帮助学生在解题过程中掌握具有自身思维特点的解题方式.［2］

3变解题为解决问题的高中数学思维能力培养的具体方法和策略

3.1选好典型例题，夯实解题基础

课堂教学中，例题既是学生思想顿悟的起点，又是丰富学生认知结构的源泉，也是发展学生学科核心素养的途径.教师可以通过典型例题精练的方式帮助学生打好解题基础，鼓励学生参与典型例题的分析和解答中.这样不仅调动了学生的积极性与参与性，也发挥了学生学习的主体性，使学生的解题能力在此过程中稳步提高.

案例：在苏教版《普通高中教科书数学选择性必修第二册》的《空间向量与立体几何》章节教学中，空间角的计算较为常见.教师在引导学生用向量方法研究线线、线面以及面面夹角问题时，选取的课堂典型例题不求量多，但要有代表性.教师通过典型例题剖析，帮助学生厘清用向量法求角的常规思路：“基底法”和“建系法”.

例1在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.

解法1：以CA，CB，CD作为基底，则MA=CA-12CB，CN=12（CA+CD）.

设向量CN与MA的夹角为θ，则直线AM和CN夹角的余弦值等于｜cosθ｜.

CN·MA=12（CA+CD）·CA-12CB=12·|CA|2-14CA·CB+12CD·CA-14CD·CB=12.又△ABC和△ACD均为等边三角形，所以MA=CN=32.

cosθ=CN·MACNMA=1232·32=23，即直线AM和CN夹角的余弦值为23.

学生在掌握用基底法解决求夹角问题之后，教师可继续引导学生思考是否可以用建系法解决此题.若能建系，向量就可坐标化，运算量就会大大减小.让学生在图形中探寻两两垂直的三条直线作为空间直角坐标系的坐标轴.在课堂实践中，学生自主探索得出了以下建系的思路.

解法2：过点M作直线ME与平面BCD垂直，连接MD.分别以MC，MD，ME为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.建系之后易得到以下各点坐标.M（0，0，0），C12，0，0，D0，32，0.在求点A的坐标时，教师可以引导学生用点A在平面BCD内的射影位置来获取点A的坐标.过点A作底面BCD的垂线，记射影为F，连接BF，CF，DF，可以证得△ABF，△ADF以及△ACF两两全等，进而得出BF=DF=CF，即射影F是△BCD的外心.又△BCD是等边三角形，所以点F也是△BCD的重心，MF=13MD=13×32=36.在Rt△AMF中，MA=32 ，所以AF=MA2-MF2=63 ，得点A0，36，63.N是AD的中点，所以N0，33，36.进一步通过向量坐标运算得到直线AM和CN夹角的余弦值为23.

通过运算发现，这样的建系似乎并没有运算优势，在求解点A的坐标时不少学生受阻.那么是否有更合适的建系方法能快速得出相关点的坐标.这时候比较灵活的学生会想到在正方体中构造正四面体.利用正方体建系求得正四面体的各个顶点坐标就简便许多了.

解法3：设正方体边长为1，建立如图2所示的空间直角坐标系.在正方体中选取如图所示的四个顶点A，B，C，D，构造出正四面体.

易得AM=-12，-1，-12，CN=-12，1，12，则cosθ=CN·AMCNAM=132·32=23.

课堂教学过程中，教师选择经典案例并对其深度剖析，激发并活跃学生的思维.课堂上师生互动探索，让学生在探究问题的过程中逐步掌握解决问题的基本方法和策略.通过不同的方法分析提升学生解题的素养和能力.

3.2优化审题训练，培养审题习惯

审题是学生展开数学解题学习活动的第一步，也是最为关键的一步，对学生解题思路的明确、解题方法的选定起到举足轻重的作用.教师需要引导学生在理解题意过程中运用多样化的审题技巧，厘清题目当中所展现的逻辑关系，挖掘题目的隐藏条件，这样才能提高学生解题的针对性和正确率.［3］

例2PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是多少？

学生对没有图象辅助，题目条件又少的问题往往犯难.解决此类题需要学生有一定的审题能力.本题通过画出从点P出发的三条射线，利用立体几何中点、线、面的位置关系可知PA，PB两条相交的射线可以确定一个平面，所以平面PAB的位置与PA，PB的长度无关.直线PC与平面PAB所成角的大小也与PC的长度无关.所以通过仔细审题分析，此题可以对PA，PB，PC特殊化赋值，进而构造出空间立体图形，然后求解.

取PA=PB=PC=1，构造的立体图形是学生熟悉的正四面体，此题就迎刃而解了.

3.3培养解题向解决问题转变的能力，提升数学素养

解题教学不仅仅是单纯的知识复习和巩固，更需要教师引导学生探索问题，并在问题解决过程中归纳知识，使其结构化、系统化.有效的思维方式能给学生提供明确的思考方向，使学生在大脑中形成数学概念与命题等表征结构，进而凝练成学习范式，使知识结构在归纳中丰盈完善，方法在总结中清晰明了，思维在发散中有效提升，实现知识向学科素养的实质性转变.［4］

在日常的解题教学中，教师除了培养学生的基本知识和基本技能之外，还要不断培养学生主动思考和勇于探究的精神.从精选例题夯实解题基础出发，通过优化审题训练，变解题为解决问题，从而提升学生数学素养与思维能力.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］黄春光.如何培养学生的数学解题能力［J］.读写算，2023（29）：38-40.

［3］黎超妍.高中数学教学中培养学生解题能力的实践探究［J］.中学教学参考，2023（27）：62-64.

［4］毋晓迪，陈辉坤，刘彬芳.指向“问题解决”的高考试题研究及教学启示——以2023年高考乙卷理科数学第12题为例［J］.理科考试研究，2023（23）：2-6.