链接初、高中知识，发散数学基本思维

摘要：模块融合一直是高考中常见的考查形式，解三角形问题的创设可以巧妙融合初、高中阶段中的不同知识与思想方法，以及高中阶段中的不同知识模块，形成良好的知识交汇与综合应用.本文结合一道模拟题，从初、高中阶段的不同思维视角切入，发散思维，多点突破，变式拓展，引领并指导复习备考与解题研究.

关键词：解三角形；平面几何；向量；变式

在新教材中，解三角形知识是平面向量模块中的一类基本应用问题，它能够串联起初中与高中阶段的数学基础知识，构建初中与高中阶段不同知识模块之间的联系.在教学过程中，教师应将平面几何与立体几何、函数与方程、三角函数、平面向量、不等式等相关知识融合起来，落实《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中“在知识交汇点处设题”的指导思想.［1］解三角形是高考命题中的一个基本考点，在选择题、填空题与解答题中均有出现，备受各方关注.

1问题呈现

问题1^^［2024年广东省佛山市普通高中教学质量检测（一）高三数学试卷第16题］&&已知△ABC中，AB=2BC=2，边AB上的高与边AC上的中线相等，则tanB=.

此题以三角形为问题场景，利用三角形中两边的确定，以及对应边上的高与中线的相等关系求三角形中两边的夹角的正切值.该题的题目简单易懂，难度比较适中.

在解决具体问题时，学生应合理剖析题目所给条件，由“数”转“形”，“数”与“形”结合，利用平面几何图形的直观性，合理运用相关的基础知识，有目的地、有方向地分析与解决问题.

这个过程中，学生可以借助平面几何思维、解析几何思维、平面向量思维以及解三角形思维等进行思考.其中平面几何思维的应用，基本维持在初中知识阶段就可以实现问题的突破，这也是回归初中阶段知识，链接高中阶段知识的一个重要知识点.［2］

2问题破解

2.1平面几何思维

方法1：面积法.

解析：如图1所示，设边AC上的中线为BD，边AB上的高为CE=h.

依题知，S△ABC=2S△ABD=2S△BCD，则有12×AB×h=2×12×AB×BD×sin∠ABD=2×12×BC×BD×sin∠CBD.

结合AB=2BC=2，BD=CE=h，可得1=2×sin∠ABD=sin∠CBD，则有∠ABD=30°，∠CBD=90°.

所以∠ABC=120°，则tanB=tan120°=-3.故答案为-3.

解后反思：学生根据题设条件中三角形的高，合理联想到三角形的面积公式；根据条件中三角形的中线，合理联想到三角形的面积相等，从而利用三角形的面积公式进行计算.

方法2：相似法.

解析：如图2所示，设边AC上的中线为BD，边AB上的高为CE，延长AB至点F，使得BF=AB，连接CF.

因为D为AC的中点，BF=AB，所以BD是△ACF的中位线，可得CF=2BD.

由CE=BD，可知CF=2CE，则有∠ECF=60°.

由于AB=BF=2BC，CF=2CE，故△BCF∽△CEF，从而∠CBF=∠ECF=60°.

tanB=tan120°=-3.故答案为-3.

解后反思：学生根据题设条件中三角形的中线，与中点相对应，合理联想到三角形的中位线，通过构建两个三角形中对应边长的比例关系，借助三角形相似的判定与性质来确定对应角的值，从而得到答案.

方法3：勾股定理法1.

解析：

如图3所示，

设边AC上的中线为BD，边AB上的高为h，取AB的中点E，连接DE，过点D作DH⊥AB，垂足为H，结合边AB上的高与AC边上的中线相等，可得BD=h.

由三角形的中位线性质可知DE=12，结合比例性质可知DH=12h.

在Rt△DHB中，BD=h，DH=12h，可得HB=32h，∠ABD=30°.

在Rt△DHE中，利用勾股定理，有EH=14-14h2.

EH+HB=14-14h2+32h=1，解得h=32，则有DE2+BD2=EB2，则知∠EDB=90°.

∠DBC=∠EDB=90°，所以tanB=tan120°=-3.故答案为-3.

方法4：勾股定理法2.

解析：如图1所示，设边AC上的中线为BD，边AB上的高为CE=h，设BE=x.

在Rt△CEB中，利用勾股定理，有x2+h2=12①.

在Rt△CEA中，利用勾股定理，有（2+x）2+h2=AC2.

利用三角形的中线定理，可得AC2+4BD2=2（AB2+BC2），即（2+x）2+h2+4h2=10 ②.

由①和②消去参数h并整理，可得4x2-4x+1=0，解得x=12，可得h=32.

则有

∠CBE=60°，可得∠ABC=120°，则tanB=tan120°=-3.故答案为-3.

解后反思：学生根据题设条件中三角形的中线、三角形的高，利用中位线定理以及直角三角形中的勾股定理等，构建对应的关系式，通过对应角的求解来确定对应的角的值，从而得到答案.

2.2解析几何思维

方法5：坐标法.

解析：如图4所示，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨设点C在x轴上方.

B（0，0），A（-2，0），C

（-cosB，sinB），此时边AB上的高为sinB.

因为D为AC的中点，所以D-1-12cosB，12sinB.

结合边AB上的高与边AC上的中线相等，可得sin2B=-1-12cosB2+12sinB2.

结合sin2B+cos2B=1，整理可得cos2B+cosB+14=0，解得cosB=-12.

结合B∈（0，π），得B=2π3，所以tanB=tan2π3=-3.故答案为-3.

解后反思：学生根据题目结论所求的三角形对应角的三角函数值，回归三角函数定义，合理联想到平面直角坐标系以及对应点的坐标，利用线段的中点以及线段之间的距离相等等知识，构建关系式来求解三角函数方程，从而得以确定对应的角以及对应的三角函数值.

2.3平面向量思维

方法6：向量法.

解析：设边AC上的中线为BD，则有BD=12BA+12BC，可得|BD|2=12BA+12BC2=14|BA|2+14|BC|2+12BA·BC=54+cosB.

边AB上的高h=BCsinB=sinB，结合边AB上的高与边AC上的中线相等，可得sin2B=54+cosB.

结合sin2B+cos2B=1，整理可得cos2B+cosB+14=0，解得cosB=-12.

结合B∈（0，π），可得B=2π3，所以tanB=tan2π3=-3.故答案为-3.

解后反思：教材中解三角形问题是平面向量的一个基本应用，学生根据题设条件，构建关于中点的向量表达式，利用向量的平方和数量积公式加以变形与转化，成为求解三角函数方程，进而得以确定对应的角以及对应的三角函数值.向量法的应用，也为问题的进一步拓展与提升提供条件.

2.4解三角形思维

方法7：余弦定理法.

解析：设边AC上的中线为BD，由余弦定理，可得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB=5-4cosB.

利用三角形的中线定理，可得AB2+BC2=2·（AD2+BD2），即214AC2+BD2=5，整理可得BD2=54+cosB.

边AB上的高h=BCsinB=sinB，结合边AB上的高与边AC上的中线相等，可得sin2B=54+cosB，结合sin2B+cos2B=1，整理可得cos2B+cosB+14=0，解得cosB=-12.

结合B∈（0，π），可得B=2π3，tanB=tan2π3=-3.故答案为-3.

解后反思：学生根据题设条件中三角形的两边与所求的夹角的三角函数值，合理联想到解三角形中的余弦定理，利用余弦定理构建对应的关系式；通过三角形的中线定理进一步构建关系式，得到对应中线的表达式；利用两线段相等的条件，构建关系式来求解三角函数方程，进而得以确定对应的角以及对应的三角函数值.

3问题改进

分析问题1的解析过程可以发现，条件只要满足“AB=2BC”即可进行变形、解题.新的问题如下.

问题2已知△ABC中，AB=2BC，边AB上的高与边AC上的中线相等，则tanB=.

答案为-3.具体的解析过程与问题1的解答过程基本一致.

4变式拓展

4.1同阶变式

根据问题1的解析过程，可以对问题的设问方式加以不同层面的设置，得到对应的同阶变式问题.

变式1已知△ABC中，AB=2BC，边AB上的高与边AC上的中线相等，则角B=.

答案为120°.

变式2已知△ABC中，AB=2BC，边AB上的高与边AC上的中线相等，则sinB=.

答案为32.

变式3已知△ABC中，AB=2BC，边AB上的高与边AC上的中线相等，则cosB=.

答案为-12.

以上三个变式问题，虽然设问的方式不同，但与问题1的内涵基本吻合，考查的知识点与思想方法也基本相同.

4.2高阶变式

进一步对问题进行一般化处理，由特殊问题转化为一般性问题，得到对应的高阶变式问题.

变式4已知△ABC中，AB=λBC（λ>1），边AC上的中线长是边AB上的高的λ2倍，则tanB=.

解析：设AB=λBC=λt（λ>1），设边AB上的高为h，则边AC上的中线BD=λh2.

所以2BD=BA+BC，4|BD|2=（BA+BC）2=|BA|2+|BC|2+2BA·BC，即λ2h2=（λ2+1）t2+2λt2cosB.

边AB上的高h=BCsinB=tsinB，代入上式，有λ2t2sin2B=（λ2+1）t2+2λt2cosB.

结合sin2B+cos2B=1，整理可得λ2cos2B+2λcosB+1=0，解得cosB=-1λ.

结合同角三角函数基本关系式，可得sinB=λ2-1λ.

tanB=sinBcosB=-λ2-1.故答案为-λ2-1.

该变式中，当λ=2时，就是原来的问题2，此时tanB=-λ2-1=-3，与原问题相吻合.

5教学启示

5.1“数”与“形”的融合，化归与转化应用

解三角形问题的情境应用，结合了初、高中阶段中的不同数学基础知识，自然融入了不同数学思想方法与技巧策略等.教师引导学生借助“数”的内涵，进行数学运算，回归“形”的实质，通过“数”与“形”的融合形成统一的数形结合的综合体.

5.2回归平面几何，拓展思维方式

在解三角形问题中，教师应引导学生借助已学的定理、公式等实现三角形中对应边与对应角的转化与应用，同时巧妙回归平面几何图形的直观表达，在解题中链接起初中的平面几何知识与高中的解三角形知识，利用数形结合思想来处理解三角形问题，实现初、高中知识间的交汇与融合，全面拓展学生的数学思维方式与解题策略.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］张晓丹.回归平面几何，实现完美突破——一道解三角形题的解决［J］.数学之友，2023（15）：65-66+70.