复杂概率问题的求解策略

摘要：复杂事件的概率求解问题活跃在高三各类考试中，此类问题的解决一直是师生的难点和痛点.本文以几道考题为例，归纳出此类问题的三条解题策略.

关键词：复杂事件；概率；事件结果；研究对象

复杂事件的概率求解问题活跃在高三各类考试中，对于此类问题的求解总让学生望而生畏.因求解过程复杂不易考虑周全，标准答案的解析又常常难以理解，学生甚至觉得此类问题就是靠智商，不像其他模块有基本的解题策略.笔者结合自己的研究和教学经验，以几道高考试题为例，归纳出三条解题策略.

1化整为零策略

例1^^（2024年广东佛山二模改编题）&&某大学举办对抗赛，竞赛规则如下.两位留学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得-1分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分.对抗赛共设3轮，累计得分为正者将获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响.留学生甲和留学生乙参加对抗赛，根据以往答题经验，每道题留学生甲和留学生乙答对的概率分别为35，12.求留学生甲获得奖品的概率.

分析：事件的复杂源于有三轮比赛，每一轮比赛又有不同结果.解题时只要将每一轮的结果研究好，那么再去看三轮的总结果就清晰了.

解析：每一轮中留学生甲得1分的概率为35×1-12=310.

每一轮中留学生甲得0分的概率为35×12+1-35×1-12=12.

每一轮中留学生甲得-1分的概率为1-35×12=15.

在3轮比赛后，留学生甲得3分的概率为P1=3103=271000.

在3轮比赛后，留学生甲得2分的概率为P2=C233102×12=27200.

在3轮比赛后，留学生甲得1分的概率为P3=C13×310×122+C23×3102×15=2791000.

甲最终获得奖品的概率为P=P1+P2+P3=271000+27200+2791000=4411000.

例2^^（2024年辽宁大连一模改编题）&&有质地、大小均相同的7个小球，其中有4个白球，3个黑球，将这7个球分装在甲乙两个盒子中.甲盒装3个小球，其中有2个白球，1个黑球；乙盒装4个小球，其中有2个白球，2个黑球.采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求Y的数学期望.

分析： 事件的复杂源于甲、乙盒的不同结果，我们只要把甲、乙两盒的不同抽取结果分别研究清楚，那么总抽取次数就是不同结果的叠加.

解析：甲盒抽i次剩白球的概率为P（W1=i），抽j次剩黑球的概率为P（B1=j）.

乙盒抽i次剩白球的概率为P（W2=i），抽j次剩黑球的概率为P（B2=j）.

对于甲盒的抽取方式有P（W1=1）=13，P（W1=2）=2×13×2=13，P（B1=2）=2×13×2=13.

对于乙盒的抽取方式有P（W2=2）=2×14×3=16，P（B2=2）=2×14×3=16，P（W2=3）=C12×C12×A22A34=13，P（B2=3）=13.

Y的取值可能为3，4，5，6.

P（Y=3）=P（W1=1）×P（W2=2）=13×16=118.

P（Y=4）=P（W1=1）×P（W2=3）+P（W1=2）×P（W2=2）+P（B1=2）×P（B2=2）=13×13+13×16+13×16=29.

P（Y=5）=P（W1=1）×［P（B2=2）+P（B2=3）］+P（W1=2）×P（W2=3）+P（B1=2）×P（B2=3）=13×13+16+13×13+13×13=718.

P（Y=6）=P（W1=2）×［P（B2=2）+P（B2=3）］+P（B1=2）×［P（W2=2）+P（W2=3）］=13×13+16+13×13+16=13.

Y的数学期望E（Y）=3×118+4×29+5×718+6×13=5.

解题反思：上面两个例题的复杂源于问题涉及多个事件且每个事件有多种结果.如果一步到位直接求解，就会让我们无从下手或者会而不全.如果在解题时实行化整为零的策略，研究好每一个事件的结果，再去看待事件的重复或者多事件的叠加，就要清晰而简单很多.

2合理分类策略

例3^^（2024年第二学期天域全国名校协作体联考改编题）&&甲、乙两人进行知识问答比赛，共有3道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为12和13，各题答题相互独立.比赛规则为初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得-1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.求甲获胜的概率.

分析：在解题过程中，大部分学生试图列举甲得分的所有情况，由于情况太多，学生解对的很少.标准答案是按照甲抢到的题数进行分类求解，解题过程如解法1.事实上，如果我们抓住研究对象，也就是得分的差来研究每道题的结果，就可以分成两类.一类是甲胜乙，即甲比乙多一分（甲抢到答对，乙抢到答错）；另一类是乙胜甲，即乙比甲多一分（乙抢到答对，甲抢到答错），那么最终甲获胜即甲胜乙的题数多，2题或者3题，解题过程如解法2.

解法1： 记甲获胜为事件A，甲抢到3道题为事件A3，甲抢到2道题为事件A2，甲抢到1道题为事件A1，甲抢到0道题为事件A0.

P（A3）=123=18，P（A2）=C23123=38，P（A1）=C13123=38，P（A0）=123=18.

P（A|A3）=123+C231221-12=12，P（A|A2）=122+C12121-121-13=712，

P（A|A1）=12×23×23+2×23×13+1-12×23×23=23，P（A|A0）=233+C13×13×232=2027.

P（A）=P（A3）P（A|A3）+P（A2）·P（A|A2）+P（A1）P（A|A1）+P（A0）P（A|A0）=18×12+38×712+38×23+18×2027=539864.

解法2： 每道题甲胜乙的概率为12×12+12×23=712，则甲获胜的概率为7123+C135127122=539864.

解题反思： 此类问题解题复杂主要是因为所求事件情况多，如果在解题时没有合理的分类标准就会造成分析过程既繁琐又无序.解题时抓住一个标准来分类就不会杂乱无章.更进一步，解题时根据研究对象合理优化分类标准，就能实际简化解题步骤，提高解题效率的目标.

3优化样本空间

例4^^（2021年北京高考改编题）&&在疾病检测中，“k合1” 混采检测是指先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染疾病，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束.如果这k个人中有人感染疾病，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行检测，假设其中只有2人感染疾病，并假设每次检测结果准确.将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采检测.设Y是检测的总次数，求Y的概率分布列.

分析：这是一道古典概型题，解法的不同源于样本空间的选取方式不同.由题意，Y的可能取值为25，30，设两名感染者在同一组的概率为P1，不在同一组的概率为P2，则P（Y=25）=P1，P（Y=30）=P2.解法1是以100个人分成20组的不同分组方法为样本空间；解法2依据两种不同的样本点，求P1时要保证两名阳性在一组，就以此组的选取方式为样本空间，P2以两组的选取方式为样本空间；解法3假设已经随机分成20组，然后每组5个位置，让两名阳性人员去选择位置.相应的解法呈现如下.

解法1：P1=C22C598C593C588…C513C5819！C33C5100C595C590…C515C510C5520！=499.

P2=C12C598C593C588…C51318！·C48C442！C5100C595C590…C515C510C5520！=9599.

解法2： P1=C120C398C5100=499.

P2=C220C12C498C494C5100C595=9599.

解法3： P1=C120C25C2100=499，P2=C220C15C15C2100=9599.

Y的概率分布列如下.

Y2530

P4999599

解题反思：在解决古典概型问题时，我们应抓住古典概型的特点合理地选取样本空间来进行计算.学生一开始大多都选择了解法1，这也是我们在计数原理中遇到的一个基本问题，即平均分组问题.在后面的运算中也检测了学生对于组合数运算的基本功，这些可以在讲解中具体展开，以加强学生的基本知识和方法.教师应引导学生对解法2和解法3的感悟和理解，从而提升学生的思维水平和对样本空间的认识.