由一道题谈立体几何中动点问题的解法

立体几何问题侧重于考查同学们的空间想象和逻辑推理能力.立体几何中动点问题的难度通常较大，很多同学在解题时无法确定动点的位置和运动轨迹，导致解题失败.下面结合一道题目，探究一下这类问题的两种解法.

题目：已知正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 3 ，点 M 是该正方体的内切球 O 球面上的一动点，点 N为线段 B 1 C 1 上的一点， NC 1 =2B 1 N ， DM⊥BN ，求动点 M 运动路线的长度.

要求动点 M 运动路线的长度，关键是要明确动点 M 的运动轨迹和方程是什么.一般来说，解答这类问题可以从几何和代数两种角度来寻找解题的思路.

一、几何法

运用几何法求立体几何中的动点问题，需先仔细研究几何图形，根据几何体的特征分析点、直线、平面之间的位置关系，灵活运用相关的定义、公理和定理，如二面角的定义、直线与平面平行的判定定理、平面与平面垂直的性质定理等判断出动点的可能位置以及轨迹；然后在动点的轨迹所在的平面内添加合适的辅助线，将问题转化为平面几何问题，根据圆、三角形、平行四边形的性质求解.